кодирование в телекоммуникационных системах
Модуляция, кодирование и моделирование в телекоммуникационных системах (2-е изд.)
Современные учебные курсы редко рассматривают комплексно вопросы модуляции и кодирования, а также их сигнально-кодовые конструкции. Мало учебников и для реализации современных модемов и кодеков. Актуальность пособия велика, так как в современных системах связи и телевидения, а также кабельных сетях применяются все более сложные виды модуляции и кодирования, обеспечивающие высокую помехоустойчивость. Методология изучения курса состоит в закреплении теоретических знаний на примерах компьютерной реализации модемов и кодеков современных телекоммуникационных систем.
Методическая новизна состоит в исследовании имитационных моделей модемов и кодеков, а также телекоммуникационных систем, представленных на рынке современной аппаратуры с использованием MATLAB и LabVIEW.
Учебное пособие предназначено для направлений подготовки «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» (ступень — бакалавриат и магистратура), «Радиоэлектронные системы и комплексы» (ступень — специалитет).
Название: Модуляция, кодирование и моделирование в телекоммуникационных системах (2-е издание) Теория и практика
Автор: Голиков А. М.
Издательство: Лань
Год: 2021
Страниц: 452
Формат: pdf (ocr)
Язык: русский
Размер: 11,13 Мб
Скачать Голиков А.М. Модуляция, кодирование и моделирование в телекоммуникационных системах (2-е издание) Теория и практика
Кодирование в телекоммуникационных системах
Курс лекций, компьютерный практикум, задание на самостоятельную работу
Оглавление (содержание)
1. ЦИФРОВЫЕ ВИДЫ МОДУЛЯЦИИ И СИГНАЛЬНОГО КОДИРОВАНИЯ,
ИХ СПЕКТРАЛЬНАЯ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ. 14
1.1. Анализ цифровых методов модуляции. 14
1.2. Модемы сотовой связи FSK, MSK GMSK и численный анализ вероятности
символьной ошибки с использованием ПО LabVIEW. 30
1.3. Модемы спутниковых систем связи M-QAM, M-PSK и численный анализ
вероятности символьной ошибки с использованием ПО LabVIEW. 47
2. ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КАНАЛА СВЯЗИ. КОДИРОВАНИЕ
2.1. Пропускная способность канала связи. Объем сигнала и емкость канала связи,
условия их согласования. 69
2.2. Исследование кодирования источника дискретных сообщений методами
2.4. Фрактальные методы кодирования изображений. 88
2.5.Вейвлет преобразования сигналов и изображений с
3. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ
3.1. Исследование кодов Хемминга, БЧХ (Боуза-Чоудхури-Хоквенгема), Рида-
Соломона на базе MATLAB. 129
3.2. Циклические избыточные коды CRC (Cyclic redundancy check). 159
3.3. Сверточные коды. Декодирование сверточных кодов. 169
3.4. Декодирование сверточных кодов по методу Витерби с использованием ПО
3.5. Турбокодирование. Обобщенная схема турбокодера с параллельным каскади-¬
рованием. Сверточные турбокоды. Декодирование турбокодов. Характеристики
использованием ПО MATLAB. 208
3.6. Низкоплотностные коды. Классификация LDPC-кодов. Методы построения
проверочных матриц. Алгоритмы декодирования низкоплотных кодов.
Оценка сложности алгоритмов декодирования на базе MATLAB и LabVIEW. 222
3.7. Исследование каскадных кодов. 241
4. СИГНАЛЬНО-КОДОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ
4.1. Сигнально-кодовые конструкции на основе Треллис кодовой модуляции
(ТСМ) и их анализ с использованием MATLAB. 264
4.2. Исследование сигнально-кодовой конструкции на базе системы с ортогональным
частотным мультиплексированием и пространственно-временным
кодированием OFDM – MIMO…………………………………. 285
5. ОПТИМИЗАЦИЯ МЕТОДОВ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ
ДЛЯ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМ (ЗАДАНИЕ НА
Кодирование и шифрование информации в радиоэлектронных системах передачи информации
Курс лекций, компьютерные лабораторные работы, компьютерный практикум, задание на самостоятельную работу
Оглавление (содержание)
1. ЦИФРОВЫЕ ВИДЫ МОДУЛЯЦИИ И СИГНАЛЬНОГО КОДИРОВАНИЯ,
ИХ СПЕКТРАЛЬНАЯ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ. 14
1.1. Анализ цифровых методов модуляции. 14
1.2. Модемы сотовой связи FSK, MSK GMSK и численный анализ вероятности
символьной ошибки с использованием ПО LabVIEW. 30
1.3. Модемы спутниковых систем связи M-QAM, M-PSK и численный анализ
вероятности символьной ошибки с использованием ПО LabVIEW. 47
2. ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КАНАЛА СВЯЗИ. КОДИРОВАНИЕ ИСТОЧНИКА. 69
2.1. Пропускная способность канала связи. Объем сигнала и емкость канала связи, условия их согласования. 69
2.2. Исследование кодирования источника дискретных сообщений методами Шеннона-Фано. 71
2.4. Фрактальные методы кодирования изображений. 87
2.5.Вейвлет преобразования сигналов и изображений с использованием. 99
3. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ CИСТЕМАХ. 122
3.1. Исследование кодов Хемминга, БЧХ (Боуза-Чоудхури-Хоквенгема), Рида-Соломона на базе MATLAB. 122
3.2. Циклические избыточные коды CRC (Cyclic redundancy check). 156
3.3. Сверточные коды. Декодирование сверточных кодов. 170
3.4. Декодирование сверточных кодов по методу Витерби с использованием ПО MATLAB. 191
3.5. Турбокодирование. Обобщенная схема турбокодера с параллельным каскадированием. Сверточные турбокоды. Декодирование турбокодов. Характеристики помехоустойчивости сверточных турбокодов. Исследование. 211
3.6. Низкоплотностные коды. Классификация LDPC-кодов. Методы построения проверочных матриц. Алгоритмы декодирования низкоплотных кодов. Оценка сложности алгоритмов декодирования на базе MATLAB и LabVIEW. 225
3.7. Исследование каскадных кодов. 243
4. СИГНАЛЬНО-КОДОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ. 265
4.1. Сигнально-кодовые конструкции на основе Треллис кодовой модуляции (ТСМ) и их анализ с использованием MATLAB. 292
5. ОПТИМИЗАЦИЯ МЕТОДОВ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СВЯЗИ (ЗАДАНИЕ НА САМОСТОЯТЕЛЬНУЮ
6.3. Задания на самостоятельную работу по классическим шифрам. 426
7.1. Теория шифров с секретным ключом. 454
7.2. Компьютерный практикум для шифров с секретным ключом. 552
8. ШИФРОВАНИЕ С ОТКРЫТЫМ КЛЮЧОМ. 610
9.1. Теория шифров с открытым ключом криптографические протоколы в сетях передачи данных. 681
10.1. Безопасность GSM сетей. 723
10.2. Криптографическая защита беспроводных сетей стандартов LTE. 726
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
Корректирующие коды в телекоммуникационных системах
В теории современных телекоммуникационных систем значительное внимание уделяется изучению методов кодирования информации. В технике электрической связи широко используют результаты теории кодирования.
Типичная структурная схема системы передачи дискретной информации (СПДИ) приведена на рис. 3.1. Источник вырабатывает сообщения, которые необходимо передавать по каналу СПДИ. Это могут быть последовательности дискретных сообщений (данные, телеграфные сообщения и т.д.) либо непрерывные сообщения (речь, телевидение, результаты телеизмерений и др.), преобразованные в цифровую форму.
Согласно известных теорем К. Шеннона, в принципе возможно сколь угодно большое повышение верности передачи информации, если скорость передачи по каналу RKan не превышает пропускной способности канала Q. Достигается это применением достаточно длинных корректирующих кодов (КК).
С этой целью в структуру КК вводится избыточность.
Кодек КК (кодер и декодер капала) приведены на рис.3.1. В реальных условиях длина кода ограничена допустимой сложностью устройств кодирования и, прежде всего, декодирования, поэтому эффект от применения корректирующих кодов зависит от параметров кода и ограничений на реализацию кодека канала.
Современная теория предлагает широкий набор корректирующих кодов, различных по структуре, принципам построения и корректирующей способности. В последующих разделах рассмотрены классы кодов, для которых разработаны достаточно простые и эффективные алгоритмы кодирования/декодирования и которые наиболее перспективны для использования в каналах телекоммуникационных систем.
Классификация корректирующих кодов
В теории и технике помехоустойчивого кодирования известно множество корректирующих кодов, которые могут быть классифицированы по различным признакам. Классификация кодов приведена на рис. 3.2.
По способу формирования КК подразделяются на блоковые и непрерывные. Формирование блоковых кодов предусматривает разбиение передаваемых цифровых последовательностей на отдельные блоки, которые подаются на вход кодера. Каждому такому блоку на выходе кодера соответствует блок кодовых символов, работа кодера определяется правилом, или алгоритмом кодирования. Формирование непрерывных кодов осуществляется непрерывно во времени, без разделения на блоки, что и определяет наименование этого класса кодов. Блоковые коды исторически были предложены и изучены ранее, на заре развития теории кодирования.
В классе непрерывных кодов следует отметить сверточные коды, которые по характеристикам превосходят блоковые коды, и, по этой причине, находят широкое применение в телекоммуникационных системах. Многие коды носят имена ученых, которые их предложили и исследовали. Таким примером является непрерывный код Финка- Хагельбаргера, предложенный советским ученым Л.М. Финком и немецким специалистом Р. Хагельбаргером. Длительное время этот код служил в литературе показательным примером непрерывного кода с простым алгоритмом кодирования/декодирования, но после открытия сверточных кодов уступил им место.
Для описания процедур кодирования/декодирования как блоковых, так и сверточных кодов используют адекватный математический аппарат. Для описания линейных кодов используется хорошо разработанный аппарат линейной
алгебры. Формирование нелинейных кодов производится с применением нелинейных процедур. Такой подход позволяет в некоторых случаях получить нелинейные коды с рядом специальных свойств. В теории и технике кодирования важной является проблема сложности реализации процедур кодирования/декодирования и, в особенности, процедур декодирования. Поэтому некоторые классы кодов (коды Хемминга, циклические коды Боуза-Чоудхури- Хоквингема, Рида-Соломона, Файра и др.) были разработаны совместно с алгоритмами декодирования, связанными со структурными свойствами этих кодов. И, наоборот, разработка новых алгоритмов декодирования сверточных кодов (алгоритм А. Витерби, последовательное декодирование, пороговое декодирование) инициировала поиски соответствующих сверточных кодов. Отличительные преимущества корректирующих кодов (как блоковых, так и сверточных) побуждали поиски новых подходов к реализации путей повышения помехоустойчивости и эффективности телекоммуникационных систем. На рис. 3.2 отмечены, соответственно, новые методы кодирования, сигнально-кодовые конструкции, турбокоды, пространственно-временные коды и г.п.
Рис. 3.2. Классификация корректирующих кодов
3.1 Исследование кодов Хемминга, БЧХ (Боуза-Чоудхури-Хоквенгема), Рида- Соломона на базе MATLAB 2015 Код Хэмминга
Наиболее известным линейным кодом является блоковый код Хэмминга. В данном пункте, будет рассмотрен (7,4)-код Хэмминга. Линейный блочный код, для которого выполняется неравенство Хэмминга, является кодом Хэмминга, то есть код (7,4) не единственный код, который является данным кодом.
Введем некоторые обозначения, которые составляют основу помехоустойчивого кодирования:
к — количество информационных бит
п- количество бит на выходе кодера
Вместо к бит информационного вектора в канал передается п бит кодового вектора. В этом случае говорят об избыточном кодировании со скоростью: R =
Чем ниже скорость, тем больше избыточность кода, и тем большими возможностями для защиты от ошибок он обладает. Однако, следует учитывать, что с увеличением избыточности затраты на передачу информацию также возрастают.
В кодировании и декодировании участвуют генераторная и проверочная матрицы, структура которых следующая:
Рис. 3.3. Генераторная и проверочная матрицы Также, код Хэмминга имеет минимальное кодовое расстояние в пространстве равное трем, их этого следует, что данный код умеет обнаруживать любые двукратные ошибки и исправлять любые однократные.
Рассмотрим код Хэмминга (7,4) в теории.
Для этого кода генераторная и проверочная матрицы уже заготовлены и имеют следующий вид:
Рис. 3.4. Структура генераторной и проверочной матрицы для кода (7,4)
Кодирование осуществляется следующим образом:
Кодовое слово п и информационное слово к связаны соотношением:
где G — порождающая матрица, структура которой была описана выше.
Например, информационный вектор к = (1010) отобразится в кодовый вектор следующим образом:
Рис. 3.5. Кодирование кода (7,4)
Легко заметить, что последние четыре разряда кодового вектора совпадают с информационным вектором. Это свойство называется систематичностью кода.
Здесь первые три бита последовательности являются проверочными (избыточными).
Декодирование осуществляется на получении синдрома и производится это все следующим образом:
Система проверочных уравнений выглядит:
Вектор s принято называть синдромом. Таким образом, ошибка будет обнаружена, если хотя бы одна из компонент S не равна нулю.
При передаче информационного слова а = (1010) по каналу без шумавыходной вектор был п = (0011010). Можем убедиться, что в этом случае синдром равен 0.
Рис. 3.6. Получение синдрома для кода (7,4)
Если, например, в кодовом слове произошла одиночная ошибка на четвертой позиции (/• = (0010010)), то синдромом является четвертая строка транспонированной проверочной матрицы.
Рис. 3.7. Нахождение ошибочного бита для кода (7,4)
Проведение эксперимента и обработка результатов в МАТЬЛВ 2015
При коде (7,4) в параметрах кодера и декодера MessagelengthK, or М- degreeprimitivepolynomial: устанавливается gfprimfd(3,’min’), а при коде (15,11) gfprimfd(4,’min’).
В рабочем поле необходимо собрать схему для работы кода Хэмминга (7,4). Схема представлена на рисунке 3.8.
Рис. 3.8. Линия передачи с применением кода Хэмминга
В состав линии с кодированием входят:
Устанавливаем характеристики блоков для кода (7,4)
Рис. 3.9. Параметры Bernoulli Binary Generator
Рис. 3.10. Параметры Hamming Encoder
Рис. 3.11. Параметры Binary Symmetric Channel
Рис. 3.12. Параметры Hamming Decoder
Рис. 3.13 Параметры Error Rate Calculation
Рис. 3.14. Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на выходе, Ошибки (вероятность ошибок равна 0,2)
Анализируя рисунок выше, можно сделать вывод, что комбинация на входе совпадает с комбинацией на выходе, таким образом, передача осуществилась удачно. Что качается ошибок, то их частота равна 0,25, число обнаруженных ошибок равно 3, общее количество символов по сравнению равно 12. Кодирование и декодирование здесь осуществляется методом описанном в выше.
Рис. 3.15. Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на выходе, Ошибки (вероятность ошибок равна 0,4)
Рис. 3.16. Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на
выходе, ошибки (вероятность ошибок равна 0,6)
Рис. 3.17. Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на
Рис. 3.18. График зависимости числа ошибок (OY) от вероятности ошибки (ОХ) для
Устанавливаем характеристики блоков для кода (15,11)
Рис. 3.19. Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на выходе, Ошибки (вероятность ошибок равна 0,2)
Рис. 3.20. Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на выходе, Ошибки (вероятность ошибок равна 0,4)
Рис. 3.21. Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на
Рис. 3.22. Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на выходе, Ошибки (вероятность ошибок равна 0,8)
В результате проверки построена схема линии передачи с кодированием Хэмминга в среде Simulink. Построены графики зависимостей числа ошибок на выходе декодера от вероятности ошибки в канале связи для кодов (7,4) и (15,11).
Из графиков (рисунок 3.18 и рисунок 3.23) видно, что число ошибок увеличивается с ростом вероятности ошибок.
Код БЧХ (Боуза-Чоудхури-Хоквенгема)
Код БЧХ является циклическим кодом. С циклическим кодом Хэмминга у них много чего общего, а именно алгоритм кодирования, который отличается только нахождением генераторного полинома, а процесс декодирования полностью
схож.Необходимо начать с небольшого введения в код
БЧХ.Многочлен g(x) степени называется примитивным, если + 1 делится на g(x) без остатка для j = 2 k — 1 и не делится ни для какого меньшего значения (где к — количество информационных бит).Например, многочлен 1 + х 2 + х 3 примитивен: он делит х 7 + 1, но не делит х* + 1 при j 3 + х 4 — он делит х 15 + 1, но не делит X s + 1 при j q — 1 илиц > log2(n + 1).Пусть а -корень этого многочлена, тогда рассмотрим
= 1 + X + X 2 + X 4 + X 8
Степень полученного многочлена равна 8, построенный БЧХ-код будет (7,15) кодом. Слово 1000100 или а(х) = х 4 + 1будетзакодировано кодовым словом a(x)g(x) = х 12 + х 6 + х 5 + х 2 + х + 1 или 111001100000100. На практике будет рассмотрен код БЧХ (15,7) и БЧХ (15,11).
Декодирование производится путем деления закодированной последовательности на генераторный полином, который использовался при кодировании. Полученная последовательность при делении и будет декодированной последовательностью. В лучшем случае, остатка при делении не будет, это значит, что ошибок не выявлено.
Если же остаток есть, называется он не иначе как синдром, в таком случае ошибки присутствуют в закодированной последовательности. В этом случае поступают так. Закодированную последовательность складывают с вектором ошибок по модулю два, и исправляют ошибочный бит. Вектор ошибок формируется с помощью специальных схем, которые анализируя закодированную последовательность, формируют данный вектор.
Еще одним способ исправления ошибок является следующий метод. На основании полученного генераторного полинома строится схема и на каждом такте ее работы определяется синдром. В данном случае необходимо получить два синдрома, один из них это остаток, от деления полученный при декодировании, а второй это комбинация 100. Далее производится вычитание номера такта комбинации 100 и номера такта остатка. Полученная разность и является номером бита в закодированной комбинации.
Проведение эксперимента и обработка результатов
В рабочем поле необходимо собрать схему для работы кода БЧХ (15,7). Схема представлена на рисунке 3.24.
Рис. 3.24. Линия передачи с применением кода БЧХ (15,7) В состав линии с кодированием входят:
Устанавливаем характеристики блоков для кода (15,7)
Рис. 3.25. Параметры Bernoulli Binary Generator
Рис. 3.26. Параметры BCH Encoder
Рис. 3.27. Параметры Binary Symmetric Channel
Рис. 3.28 Параметры BCH Decoder
Рис. 3.29. Параметры Error Rate Calculation Представим полученные результаты
Рис. 3.30. Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на выходе, Ошибки (вероятность ошибок равна 0,2)
Можно сделать вывод, что комбинация на входе совпадает с комбинацией на выходе, таким образом, передача осуществилась удачно. Что качается ошибок, то их частота равна 0,2143, число обнаруженных ошибок равно 3, общее количество символов по сравнению равно 14. Кодирование и декодирование здесь осуществляется методом описанном выше.
Рис. 3.31. Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на выходе, Ошибки (вероятность ошибок равна 0,4)
Рис. 3.32. Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на выходе, Ошибки (вероятность ошибок равна 0,6)
Рис. 3.33. Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на выходе, Ошибки (вероятность ошибок равна 0,8)
Устанавливаем характеристики блоков для кода (15,11)
Рис. 3.34. Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на выходе, Ошибки (вероятность ошибок равна 0,2)
Рис. 3.35. Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на
Рис. 3.36 Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на выходе, Ошибки (вероятность ошибок равна 0,6)
Рис. 3.37. Комбинация на входе, Закодированная последовательность, Комбинация на
Рис. 3.38. График зависимости числа ошибок от вероятности ошибки для
Рис. 3.39. График зависимости числа ошибок от вероятности ошибки для кода БЧХ
В результате практической работы построена схема линии передачи с кодированием БЧХ в среде Simulink. Построены графики зависимостей числа ошибок на выходе декодера от вероятности ошибки в канале связи для кодов (15,7) и (15,11). Из графиков (рисунок 3.38 и рисунок 3.39) видно, что число ошибок увеличивается с ростом вероятности ошибок. При этом код (15,7) оказался лучше по способности обнаружения ошибок.
Кодировщик Рида-Соломона берет блок цифровых данных и добавляет дополнительные «избыточные» биты. Ошибки происходят при передаче по каналам связи или по разным причинам при запоминании (например, из-за шума или наводок, царапин на CD и т.д.). Декодер Рида-Соломона обрабатывает каждый блок, пытается исправить ошибки и восстановить исходные данные. Число и типы ошибок, которые могут быть исправлены, зависят от характеристик кода Рида-Соломона.
Свойства кодов Рида-Соломона
Это означает, что кодировщик воспринимает к информационных символов по s битов каждый и добавляет символы четности для формирования п символьного кодового слова. Декодер Рида-Соломона может корректировать до t символов, которые содержат ошибки в кодовом слове, где 2t = п-к.
Диаграмма, представленная ниже, показывает типовое кодовое слово Рида-Соломона:
Рис. 3.40. Кодовое слово для кода Р-С
Популярным кодом Рида-Соломона является RS (255, 223) с 8-би гными символами. Каждое кодовое слово содержит 255 байт, из которых 223 являются информационными и 32 байтами четности. Для этого кода п = 255, к = 223, s = 8, 2t = 32, t = 16.
Декодер может исправить любые 16 символов с ошибками в кодовом слове: то есть ошибки могут быть исправлены, если число искаженных байт не превышает 16.
Например, максимальная длина кода с 8-битными символами (s=8) равна 255 байтам.
Коды Рида-Соломона могут быть в принципе укорочены путем обнуления некоторого числа информационных символов на входе кодировщика (передавать их в этом случае не нужно). При передаче данных декодеру эти нули снова вводятся в массив.
Код (255, 223), описанный выше, может быть укорочен до (200, 168). Кодировщик будет работать с блоком данных 168 байт, добавит 55 нулевых байт, сформирует кодовое слово (255, 223) и передаст только 168 информационных байт и 32 байта четности.
Объем вычислительной мощности, необходимой для кодирования и декодирования кодов Рида-Соломона, зависит от числа символов четности. Большое значение t означает, что большее число ошибок может быть исправлено, но это потребует большей вычислительной мощности по сравнению с вариантом при меньшем t.
Одна ошибка в символе происходит, когда 1 бит символа оказывается неверным или когда все биты неверны.
Код RS(255,223) может исправить до 16 ошибок в символах. В худшем случае, могут иметь место 16 битовых ошибок в разных символах (байтах). В лучшем случае, корректируются 16 полностью неверных байт, при этом исправляется 16 * 8 = 128 битовых ошибок.
Коды Рида-Соломона особенно хорошо подходят для корректировки кластеров ошибок (когда неверными оказываются большие группы бит кодового слова, следующие подряд).
Алгебраические процедуры декодирования Рида-Соломона могут исправлять ошибки и потери. Потерей считается случай, когда положение неверного символа известно. Декодер может исправить до t ошибок или до 2t потерь. Данные о потере (стирании) могут быть получены от демодулятора цифровой коммуникационной системы, т.е. демодулятор помечает полученные символы, которые вероятно содержат ошибки.
Когда кодовое слово декодируется, возможны три варианта.