Монотонно стремится к нулю что значит

Четыре самых часто встречавшихся мне математических заблуждения

Раз уж я зарегистрировался, то попробую не только комментарии писать.

«Лобачевский доказал, что параллельные пересекаются».

Скорее всего, это искажённая формулировка «в геометрии Лобачевского две прямые, порознь параллельные третьей, могут пересекаться».

Если вероятность события равна 0, событие невозможное. Если вероятность события равна 1, событие достоверное.

Определение достоверного и невозможного событий никак не связаны с вероятностью. Событие достоверно не тогда, когда его вероятность равна 1, а тогда, когда никаких других вариантов нет, и событие обязательно произойдёт. Аналогично, событие является невозможным тогда, когда оно ни при каких условиях не может произойти. Вероятность любого достоверного события в самом деле равна 1, но не любое событие с вероятностью 1 достоверно. Аналогично с невозможным событием.

Вот пример события, имеющего вероятность 0, но не являющегося невозможным.

У нас есть игральная кость. Мы будем подбрасывать её до выпадения первой шестёрки. Как только выпадет шестёрка, мы остановимся.

Пример события вероятности 1, не являющегося достоверным, придумайте сами.

Люди плохо различают прямые и обратные утверждения и временами видят эквивалентность там, где её на самом деле нет. Вероятно, это именно такой случай.

«Вероятность этого стремится к нулю!»

Более того, выражение «x стремится к A» в математике само по себе не имеет смысла. Смысл имеет только полная формула: «y(x) стремится к А при x стремящемся к B«.

Если 1 разделить на 0, то результат равен бесконечности.

Здесь сразу две ошибки. Во-первых, операция деления на 0 не имеет смысла, поэтому у такого «деления» нет никакого результата. Во-вторых, символ «бесконечность» не является числом и поэтому не может являться результатом какой бы то ни было аримфметической операции.

Для знатоков подчеркну, что неархимедов анализ не спасёт: в поле гипердействительных чисел по-прежнему нельзя делить на 0.

Вероятно, из записи пределов, означающих неограниченный рост. Люди видят запись «предел равен бесконечности» и начинают использовать этот символ так, как его нельзя использовать.

У тебя в заблуждении 2 прибежало заблуждение 3. Вероятность невыпадения шестерки таки не равна нулю, она просто очень близка к нему. )

Вероятность 1 означает, что в условиях учтено всё, если событие не произойдёт в ходе какого-то «непредвиденного» фактора, то это значит, что в учёте вероятности не было учтено влияние всех вероятностоформирующих факторов.

Это не значит, что это событие с вероятностью 1, которое не произошло, это значит, что не были учтены ВСЕ возможные факторы, могущие повлиять на исход игры.

«Вероятность этого стремится к нулю» вполне может иметь смысл. Например, если берется не одно событие, а их последовательность. Пример из твоего же второго пункта: событие An означает «в первых n бросках не выпало шестерки». Тогда P(An)→0 при n→∞.

А в расширенной комплексной плоскости делить на ноль можно. И там 1/0=∞.

И откуда ты взял эти заблуждения? У меня такое чувство, что сам придумал практически на пустом месте.

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Записки репетитора. История одной ученицы. Часть первая. Знакомство.

Всем привет! Что же, снова бросаю репетиторство, поэтому можно подвести некий промежуточный итог. Всё-таки, оглядываясь на события своей практики, я думаю, что был как минимум неплохим репетитором. Со мной любили заниматься, обо мне почти всегда оставляли отличные отзывы, сарафанное радио работало просто здорово. Но, увы, в моей практике были и неудачные случаи. Об одном таком случае, когда я потерпел сокрушительное поражение, мне и хочется поведать.

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

И вот однажды этой осенью Анна очень сильно попросила позаниматься с дочкой своей лучшей подруги. Она меня очень и очень просила, так как дочка подруги, будем звать эту девочку Викой, совсем лыка не вязала в математике.

-Понимаешь, Рогволд, обычная школа ей не нравится. Да и мне тоже. Она не понимает математику. Особенно геометрию. А здесь всего 5 человек в классе и учительница по-любому объяснит ей материал!

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Чтобы понять весь масштаб звездеца, свалившегося на Вику, надо понимать, что геометрию ВЕСЬ седьмой класс она пропустила, а алгебру всего-лишь наполовину. А учебники у неё интересные. Теория множеств, теория делимости, примеры с параметрами. Это не математическая школа. У неё нет уклона. Жалко только, что учебник, по которому учатся, предназначен для углублённого изучения алгебры.

Вику сложно назвать трудолюбивым человеком. Скорее как, она увлекающийся человек. Если ей предмет нравится, то она будет его изучать. Алгебра, несмотря на объективную сложность, ей более-менее нравилась, а вот геометрия вызывала у неё одно чувство:»УБИВАТЬ. УБИВАТЬ ЛОПАТОЙ«

Я провёл с Викой тестовое занятие, чтобы понять с кем мне предстоит работать, и ужаснулся. По алгебре она могла отличить квадрат разности от деления многочлена на одночлен, что внушило мне оптимизм. А вот геометрия сводилась к одному:»Это равнобедренный треугольник (на квадрат). Тут всё очевидно!». Древние Греки рыдают, что хоть кому-то всё очевидно.

Если бы не Анна, которая мне уже привела человек 5, я бы отказался. Ну его нафиг. Однако, я чувствовал в моральном плане ей обязанным и подумал:»Ну и что, что это полный ноль? И что, предыдущий мой коллега не сумел с ней совладать? Я же лучше! Я же специалист и супер-мега-пупер крутой репетитор!». Поэтому, я сказал:»Екатерина Алексеевна, я буду заниматься с Вашей дочерью».

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Во второй части будет описание наших занятий и как я дошёл до крайнего отчаяния.

Источник

Знакочередующиеся ряды

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Теорема 1 (теорема Лейбница). Если члены ряда (24)по абсолютной величине монотонно убывают:

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

и общий член стремится к нулю:

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

тo ряд (24) сходится.

Доказательство. Частичную сумму Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитможно представить двояко:

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Здесь в каждой круглой скобке разность положительна в силу условия (25). Из (27) следует, что Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значити последовательность Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитмонотонно возрастающая. Из (28) видно, что Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитт.е. Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитограничена. Следовательно (§ 7.3, п. 1, свойство 3), эта последовательность имеет предел:

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитДалее с учетом (29) и (26) имеем:

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Из (29) и (30) следует, что Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитт. е. рад (24) сходится, причем

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример: Ряд

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

сходится, так как условия теоремы Лейбница здесь выполнены.

Теорема 2. Остаток гп знакочередующегося ряда (24), удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, ил*ее/я з/иис своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.

Доказательство. Если Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитчетное, то

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Так как этот ряд удовлетворяет теореме Лейбница, то согласно неравенству (31)

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Если Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитнечетное, то

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 1.

Вычислить с точностью до 0,1 сумму сходящегося ряда

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Решение:

В качестве приближенного значения Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитряда (32) мы должны взять ту частичную сумму Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитдля которой Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитСогласно теореме Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитСледовательно, достаточно положить Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитТогда

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Отсюда 0,7 с точностью до 0,1.

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если любые два последовательных его члена имеют противоположные знаки:

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Теорема Лейбница (признак сходимости). Если члены знакочередующегося ряда (15.4.1), начиная с некоторого, монотонно убывают по абсолютной величине Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значити общий член ряда при Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитос стремится к нулю Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитто ряд сходится.

При этом сумма Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитряда по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого члена, а остаток Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитряда по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого из отбрасываемых членов, т.е.

| Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Это неравенство используют для оценки погрешности, получаемой при замене суммы Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитзнакочередующегося ряда ее приближенным значением Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Так как знакочередующиеся ряды — частный случай знакопеременных рядов, то сходящиеся знакочередующиеся ряды, как и знакопеременные, исследуют на абсолютную и условную сходимость.

Алгоритм исследования знакочередующегося ряда:

1. Составляют ряд из абсолютных величин его членов. Если он сходится, то данный ряд сходится абсолютно.

2. Если ряд из абсолютных величин расходится, то ряд исследуют с помощью признака Лейбница:

Исследование знакочередующегося ряда можно начинать и с признака Лейбница.

В случае сходимости ряда составляют ряд из абсолютных величин и уточняют характер сходимости.
Пример 2

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

а) Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит(плюс, два минуса, плюс, два минуса и т. д.);

б) Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Решение:

а). Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Формула общего члена этого ряда имеет вид

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Применим к ряду из абсолютных величин (ряду с положительными членами) интегральный признак Коили (см. § 15.2): Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Несобственный интеграл сходится, значит, ряд Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значиттоже сходится. Так как сходится ряд из абсолютных величин, то исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

(Сходимость ряда из абсолютных величин можно установить и с помощью признака сравнения, сравнивая полученный ряд со сходящимся рядом обратных квадратов Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

б). Составим ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значити найдем предел его общего члена

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитНеобходимое условие сходимости ряда не выполняется, значит, ни ряд, составленный из абсолютных величин, ни заданный знакопеременный ряд сходиться не могут.

в). Числитель общего члена ряда Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитпринимает как положительные, так и отрицательные значения, в зависимости от того, в какой четверти лежит угол Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитЗначит, заданный ряд — знакопеременный.

Составим ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Ho Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значита ряд Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитсходится. Действительно, в силу предельного признака Даламбера

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Тогда в соответствии с признаком сравнения, ряд из абсолютных величин, как ряд с меньшими членами, сходится подавно.

А это, в свою очередь, означает, что исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример 3.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Решение:

а). Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Полученный гармонический ряд расходится. Значит, абсолютная сходимость знакочередующегося ряда исключается.

Применим к данному знакочередующемуся ряду признак Лейбница:

(1) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

(2) предел общего члена при Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитравен нулю

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Оба условия теоремы Лейбница выполняются, значит, исходный ряд сходится. Однако он сходится условно, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, как показано выше, расходится,

б). Запишем формулу общего члена ряда

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

и составим ряд из абсолютных величин

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

К ряду с положительными членами применим радикальный признак Коши:

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитРяд сходится, значит, заданный ряд сходится абсолютно.

в). Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Применим к этому ряду с положительными членами признак Даламбера:

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

По признаку Даламбера ряд сходится. Следовательно, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 4.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Решение:

а). Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Этот ряд (а с ним и заданный ряд) расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда:

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

б). Составим ряд из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Исследовать этот ряд с положительными членами можно с помощью интегрального признака Коши или признака сравнения. Воспользуемся последним и сравним полученный ряд с гармоническим Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

В соответствии с признаком сравнения оба ряда ведут себя одинаково. Так как гармонический ряд Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитрасходится, то ряд Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значиттоже расходится.

Значит, заданный знакочередующийся ряд может сходиться только условно. Убедимся в этом с помощью признака Лейбница.

Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине. Действительно,

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Оба условия теоремы Лейбница выполняются, значит, исходный ряд сходится. Имеет место условная сходимость, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

в). Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Для анализа сходимости этого ряда сравним его с расходящимся гармоническим рядом Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитЛогарифмическая функция Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитрастет медленнее Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитпоэтому Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитоткуда Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Так как ряд Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитрасходится, то по признаку сравнения ряд

с большими членами Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значиттем более расходится. Значит, об абсолютной сходимости заданного знакочередующегося ряда говорить не приходится.

Проверим его на условную сходимость, применяя признак Лейбница. Так как логарифмическая функция Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитмонотонно возрастает, то функция Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитмонотонно убывает. Значит, члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Оба условия теоремы Лейбница выполняются, значит, ряд Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитсходится, но сходимость только условная.

г). Запишем формулу общего члена ряда

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

и составим ряд из абсолютных величин

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Воспользуемся признаком сравнения. Выберем для сравнения обобщенный гармонический ряд Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитИмеем

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

(Воспользовались эквивалентными бесконечно малыми: Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитпри Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

В данном случае Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значиттак как Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитпри Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Но ряд Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитсходится, так как Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитВ силу признака сравнения заключаем, что ряд Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значиттоже сходится. Значит, заданный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 5.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Решение:

а). Преобразуем заданный ряд к виду

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Сходимость ряда из абсолютных величин установим с помощью интегрального признака.

Так как Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значити

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Несобственный интеграл сходится, значит, исходный ряд сходится абсолютно.

б). Составим ряд из абсолютных величин Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитПрименим к этому ряду интегральный признак Коши (см. § 15.2). Для этого исследуем несобственный интеграл:

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Так как интеграл сходится, то заданный ряд сходится абсолютно.

в). Применяя интегральный признак (см. §15.2), исследуем ряд на абсолютную сходимость: Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитТак как несобственный интеграл расходится, то говорить об абсолютной сходимости данного ряда не приходится. Применяя признак Лейбница, исследуем ряд на условную сходимость. Обозначим Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значити покажем сначала, что Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитДля этого дважды воспользуемся правилом Лопиталя:

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Осталось доказать что функция Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитубывающая. Это легко установить по знаку ее производной

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Так как Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитпри Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитпри Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитЗначит последовательность Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитгде Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитудовлетворяет условия теоремы Лейбница: Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитдля всех Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значитСледовательно, исходный ряд сходится условно.

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть фото Монотонно стремится к нулю что значит. Смотреть картинку Монотонно стремится к нулю что значит. Картинка про Монотонно стремится к нулю что значит. Фото Монотонно стремится к нулю что значит

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *