Монотонно стремится к нулю что значит

Четыре самых часто встречавшихся мне математических заблуждения

Раз уж я зарегистрировался, то попробую не только комментарии писать.

«Лобачевский доказал, что параллельные пересекаются».

Скорее всего, это искажённая формулировка «в геометрии Лобачевского две прямые, порознь параллельные третьей, могут пересекаться».

Если вероятность события равна 0, событие невозможное. Если вероятность события равна 1, событие достоверное.

Определение достоверного и невозможного событий никак не связаны с вероятностью. Событие достоверно не тогда, когда его вероятность равна 1, а тогда, когда никаких других вариантов нет, и событие обязательно произойдёт. Аналогично, событие является невозможным тогда, когда оно ни при каких условиях не может произойти. Вероятность любого достоверного события в самом деле равна 1, но не любое событие с вероятностью 1 достоверно. Аналогично с невозможным событием.

Вот пример события, имеющего вероятность 0, но не являющегося невозможным.

У нас есть игральная кость. Мы будем подбрасывать её до выпадения первой шестёрки. Как только выпадет шестёрка, мы остановимся.

Пример события вероятности 1, не являющегося достоверным, придумайте сами.

Люди плохо различают прямые и обратные утверждения и временами видят эквивалентность там, где её на самом деле нет. Вероятно, это именно такой случай.

«Вероятность этого стремится к нулю!»

Более того, выражение «x стремится к A» в математике само по себе не имеет смысла. Смысл имеет только полная формула: «y(x) стремится к А при x стремящемся к B«.

Если 1 разделить на 0, то результат равен бесконечности.

Здесь сразу две ошибки. Во-первых, операция деления на 0 не имеет смысла, поэтому у такого «деления» нет никакого результата. Во-вторых, символ «бесконечность» не является числом и поэтому не может являться результатом какой бы то ни было аримфметической операции.

Для знатоков подчеркну, что неархимедов анализ не спасёт: в поле гипердействительных чисел по-прежнему нельзя делить на 0.

Вероятно, из записи пределов, означающих неограниченный рост. Люди видят запись «предел равен бесконечности» и начинают использовать этот символ так, как его нельзя использовать.

У тебя в заблуждении 2 прибежало заблуждение 3. Вероятность невыпадения шестерки таки не равна нулю, она просто очень близка к нему. )

Вероятность 1 означает, что в условиях учтено всё, если событие не произойдёт в ходе какого-то «непредвиденного» фактора, то это значит, что в учёте вероятности не было учтено влияние всех вероятностоформирующих факторов.

Это не значит, что это событие с вероятностью 1, которое не произошло, это значит, что не были учтены ВСЕ возможные факторы, могущие повлиять на исход игры.

«Вероятность этого стремится к нулю» вполне может иметь смысл. Например, если берется не одно событие, а их последовательность. Пример из твоего же второго пункта: событие An означает «в первых n бросках не выпало шестерки». Тогда P(An)→0 при n→∞.

А в расширенной комплексной плоскости делить на ноль можно. И там 1/0=∞.

И откуда ты взял эти заблуждения? У меня такое чувство, что сам придумал практически на пустом месте.

Записки репетитора. История одной ученицы. Часть первая. Знакомство.

Всем привет! Что же, снова бросаю репетиторство, поэтому можно подвести некий промежуточный итог. Всё-таки, оглядываясь на события своей практики, я думаю, что был как минимум неплохим репетитором. Со мной любили заниматься, обо мне почти всегда оставляли отличные отзывы, сарафанное радио работало просто здорово. Но, увы, в моей практике были и неудачные случаи. Об одном таком случае, когда я потерпел сокрушительное поражение, мне и хочется поведать.

И вот однажды этой осенью Анна очень сильно попросила позаниматься с дочкой своей лучшей подруги. Она меня очень и очень просила, так как дочка подруги, будем звать эту девочку Викой, совсем лыка не вязала в математике.

-Понимаешь, Рогволд, обычная школа ей не нравится. Да и мне тоже. Она не понимает математику. Особенно геометрию. А здесь всего 5 человек в классе и учительница по-любому объяснит ей материал!

Чтобы понять весь масштаб звездеца, свалившегося на Вику, надо понимать, что геометрию ВЕСЬ седьмой класс она пропустила, а алгебру всего-лишь наполовину. А учебники у неё интересные. Теория множеств, теория делимости, примеры с параметрами. Это не математическая школа. У неё нет уклона. Жалко только, что учебник, по которому учатся, предназначен для углублённого изучения алгебры.

Вику сложно назвать трудолюбивым человеком. Скорее как, она увлекающийся человек. Если ей предмет нравится, то она будет его изучать. Алгебра, несмотря на объективную сложность, ей более-менее нравилась, а вот геометрия вызывала у неё одно чувство:»УБИВАТЬ. УБИВАТЬ ЛОПАТОЙ«

Я провёл с Викой тестовое занятие, чтобы понять с кем мне предстоит работать, и ужаснулся. По алгебре она могла отличить квадрат разности от деления многочлена на одночлен, что внушило мне оптимизм. А вот геометрия сводилась к одному:»Это равнобедренный треугольник (на квадрат). Тут всё очевидно!». Древние Греки рыдают, что хоть кому-то всё очевидно.

Если бы не Анна, которая мне уже привела человек 5, я бы отказался. Ну его нафиг. Однако, я чувствовал в моральном плане ей обязанным и подумал:»Ну и что, что это полный ноль? И что, предыдущий мой коллега не сумел с ней совладать? Я же лучше! Я же специалист и супер-мега-пупер крутой репетитор!». Поэтому, я сказал:»Екатерина Алексеевна, я буду заниматься с Вашей дочерью».

Во второй части будет описание наших занятий и как я дошёл до крайнего отчаяния.

Источник

Знакочередующиеся ряды

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

Теорема 1 (теорема Лейбница). Если члены ряда (24)по абсолютной величине монотонно убывают:

и общий член стремится к нулю:

тo ряд (24) сходится.

Доказательство. Частичную сумму можно представить двояко:

Здесь в каждой круглой скобке разность положительна в силу условия (25). Из (27) следует, что и последовательность монотонно возрастающая. Из (28) видно, что т.е. ограничена. Следовательно (§ 7.3, п. 1, свойство 3), эта последовательность имеет предел:

Далее с учетом (29) и (26) имеем:

Из (29) и (30) следует, что т. е. рад (24) сходится, причем

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример: Ряд

сходится, так как условия теоремы Лейбница здесь выполнены.

Теорема 2. Остаток гп знакочередующегося ряда (24), удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, ил*ее/я з/иис своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.

Доказательство. Если четное, то

Так как этот ряд удовлетворяет теореме Лейбница, то согласно неравенству (31)

Если нечетное, то

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 1.

Вычислить с точностью до 0,1 сумму сходящегося ряда

Решение:

В качестве приближенного значения ряда (32) мы должны взять ту частичную сумму для которой Согласно теореме Следовательно, достаточно положить Тогда

Отсюда 0,7 с точностью до 0,1.

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если любые два последовательных его члена имеют противоположные знаки:

Теорема Лейбница (признак сходимости). Если члены знакочередующегося ряда (15.4.1), начиная с некоторого, монотонно убывают по абсолютной величине и общий член ряда при ос стремится к нулю то ряд сходится.

При этом сумма ряда по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого члена, а остаток ряда по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого из отбрасываемых членов, т.е.

|

Это неравенство используют для оценки погрешности, получаемой при замене суммы знакочередующегося ряда ее приближенным значением

Так как знакочередующиеся ряды — частный случай знакопеременных рядов, то сходящиеся знакочередующиеся ряды, как и знакопеременные, исследуют на абсолютную и условную сходимость.

Алгоритм исследования знакочередующегося ряда:

1. Составляют ряд из абсолютных величин его членов. Если он сходится, то данный ряд сходится абсолютно.

2. Если ряд из абсолютных величин расходится, то ряд исследуют с помощью признака Лейбница:

Исследование знакочередующегося ряда можно начинать и с признака Лейбница.

Пример 2

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

а) (плюс, два минуса, плюс, два минуса и т. д.);

б)

Решение:

а). Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

Формула общего члена этого ряда имеет вид

Применим к ряду из абсолютных величин (ряду с положительными членами) интегральный признак Коили (см. § 15.2):

Несобственный интеграл сходится, значит, ряд тоже сходится. Так как сходится ряд из абсолютных величин, то исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

(Сходимость ряда из абсолютных величин можно установить и с помощью признака сравнения, сравнивая полученный ряд со сходящимся рядом обратных квадратов

б). Составим ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда и найдем предел его общего члена

Необходимое условие сходимости ряда не выполняется, значит, ни ряд, составленный из абсолютных величин, ни заданный знакопеременный ряд сходиться не могут.

в). Числитель общего члена ряда принимает как положительные, так и отрицательные значения, в зависимости от того, в какой четверти лежит угол Значит, заданный ряд — знакопеременный.

Составим ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда

Ho а ряд сходится. Действительно, в силу предельного признака Даламбера

Тогда в соответствии с признаком сравнения, ряд из абсолютных величин, как ряд с меньшими членами, сходится подавно.

А это, в свою очередь, означает, что исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример 3.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

Решение:

а). Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

Полученный гармонический ряд расходится. Значит, абсолютная сходимость знакочередующегося ряда исключается.

Применим к данному знакочередующемуся ряду признак Лейбница:

(1) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине

(2) предел общего члена при равен нулю

Оба условия теоремы Лейбница выполняются, значит, исходный ряд сходится. Однако он сходится условно, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, как показано выше, расходится,

б). Запишем формулу общего члена ряда

и составим ряд из абсолютных величин

К ряду с положительными членами применим радикальный признак Коши:

Ряд сходится, значит, заданный ряд сходится абсолютно.

в). Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда

Применим к этому ряду с положительными членами признак Даламбера:

По признаку Даламбера ряд сходится. Следовательно, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 4.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

Решение:

а). Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

Этот ряд (а с ним и заданный ряд) расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда:

б). Составим ряд из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда

Исследовать этот ряд с положительными членами можно с помощью интегрального признака Коши или признака сравнения. Воспользуемся последним и сравним полученный ряд с гармоническим

В соответствии с признаком сравнения оба ряда ведут себя одинаково. Так как гармонический ряд расходится, то ряд тоже расходится.

Значит, заданный знакочередующийся ряд может сходиться только условно. Убедимся в этом с помощью признака Лейбница.

Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине. Действительно,

Оба условия теоремы Лейбница выполняются, значит, исходный ряд сходится. Имеет место условная сходимость, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

в). Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

Для анализа сходимости этого ряда сравним его с расходящимся гармоническим рядом Логарифмическая функция растет медленнее поэтому откуда

Так как ряд расходится, то по признаку сравнения ряд

с большими членами тем более расходится. Значит, об абсолютной сходимости заданного знакочередующегося ряда говорить не приходится.

Проверим его на условную сходимость, применяя признак Лейбница. Так как логарифмическая функция монотонно возрастает, то функция монотонно убывает. Значит, члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине

Оба условия теоремы Лейбница выполняются, значит, ряд сходится, но сходимость только условная.

г). Запишем формулу общего члена ряда

и составим ряд из абсолютных величин

Воспользуемся признаком сравнения. Выберем для сравнения обобщенный гармонический ряд Имеем

(Воспользовались эквивалентными бесконечно малыми: при

В данном случае так как при

Но ряд сходится, так как В силу признака сравнения заключаем, что ряд тоже сходится. Значит, заданный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 5.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

Решение:

а). Преобразуем заданный ряд к виду

Сходимость ряда из абсолютных величин установим с помощью интегрального признака.

Так как и

Несобственный интеграл сходится, значит, исходный ряд сходится абсолютно.

б). Составим ряд из абсолютных величин Применим к этому ряду интегральный признак Коши (см. § 15.2). Для этого исследуем несобственный интеграл:

Так как интеграл сходится, то заданный ряд сходится абсолютно.

в). Применяя интегральный признак (см. §15.2), исследуем ряд на абсолютную сходимость: Так как несобственный интеграл расходится, то говорить об абсолютной сходимости данного ряда не приходится. Применяя признак Лейбница, исследуем ряд на условную сходимость. Обозначим и покажем сначала, что Для этого дважды воспользуемся правилом Лопиталя:

Осталось доказать что функция убывающая. Это легко установить по знаку ее производной

Так как при при Значит последовательность где удовлетворяет условия теоремы Лейбница: для всех Следовательно, исходный ряд сходится условно.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник