Колебания груза, подвешенного на нити, с течением времени затухают, поскольку в системе действуют силы трения и сопротивления воздуха. При каких условиях механические колебания не затухают? Можно ли добиться увеличения амплитуды колебаний, используя внешнее воздействие?
Силы взаимодействия тел системы называют внутренними. Тела, не входящие в систему, называются внешними телами. Силы, которые действуют на тела системы со стороны внешних тел, называют внешними силами.
Колебания, происходящие с постоянной во времени амплитудой, называются незатухающими колебаниями (рис. 23, а). Незатухающие колебания, которые совершает система около положения устойчивого равновесия под действием внутренних сил после того, как она была выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе, называются свободными (собственными) колебаниями.
Примерами таких колебаний могут служить колебания математического и пружинного маятников, происходящие в отсутствие сил трения.
Амплитуда свободных колебаний определяется начальными условиями, т. е. тем начальным отклонением или толчком, который приведет в движение маятник или груз на пружине. Свободные колебания являются самым простым видом колебаний.
В любой реальной колебательной системе всегда присутствуют силы трения (сопротивления), поэтому механическая энергия системы с течением времени уменьшается, переходя во внутреннюю энергию. Убыль механической энергии приводит к уменьшению амплитуды колебаний.
Колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потери энергии колебательной системой, называются затухающими колебаниями (рис. 23, б).
При малых потерях энергии колебания можно считать периодическими и пользоваться такими понятиями, как период и частота колебаний, считая периодом промежуток времени между двумя последовательными максимумами смещения х(t) (рис. 24, а).
Колебания в любой реальной системе рано или поздно затухают. Чтобы колебания не затухали, необходимо воздействие внешней силы. Однако не всякая внешняя сила заставляет систему двигаться периодически. Например, невозможно раскачать качели, если действовать на них постоянной силой.
Проведем следующий эксперимент. Соединим математический маятник с метрономом тонким легким стержнем (рис. 25, а). Изменяя частоту колебаний метронома (рис. 25, б), добиваемся увеличения амплитуды колебаний математического маятника. Оказывается, что его амплитуда будет максимальной при совпадении собственной частоты колебаний маятника и метронома.
Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешней силы, действующей на колебательную систему, к частоте собственных колебаний системы (рис. 26). Подвесим на упругой нити (АВ) четыре математических маятника с одинаковыми грузами, три из которых имеют различную длину, а длина четвертого равна длине второго (рис. 27). Сначала посмотрим, что будет с маятниками, если раскачать первый или третий маятник.
Наблюдения показывают, что через некоторое время начнут качаться и остальные маятники. Но амплитуда их колебаний мала и вскоре колебания затухают. А вот если раскачать второй маятник, то амплитуда колебаний четвертого будет возрастать, пока не достигнет достаточно большого значения.
Это происходит потому, что частота внешней силы, действующей на четвертый маятник, совпадает с частотой его собственных колебаний (т. к. длины второго и четвертого маятников равны). Мы наблюдаем явление резонанса. Подчеркнем, что при резонансе создаются оптимальные условия для передачи энергии от внешнего источника к колебательной системе.
Вспомним также процесс раскачивания на качелях. Если их раскачивать с очень малой или очень большой частотой, то эффект будет крайне мал. Раскачивание будет очень эффективным, если подобрать частоту толчков, равную частоте собственных колебаний качелей. Большинство сооружений и механизмов способно совершать свободные колебания. При внешних периодических воздействиях с частотой, близкой к резонансной, в них могут возбуждаться колебания большой амплитуды, что может привести к разрушительным последствиям. В связи с этим, например, при прохождении по мостам войсковых частей солдатам дают команду идти вольным шагом (не в ногу). По той же причине поезда движутся по мостам либо очень медленно, либо на максимальной скорости.
В 1850 г. цепной мост через реку Мен вблизи г. Анжер (Франция) разрушился во время прохождения по нему отряда солдат, так как частота их шага совпала с частотой свободных колебаний моста. 7 ноября 1940 г. сильный порывистый ветер вызвал резонансные колебания висячего Такомского моста (США), что привело к его разрушению (рис. 29). Заметим, что современные висячие мосты — это устойчивые конструкции, которые выдерживают сильные порывистые ветры и прочие нагрузки благодаря новым инженерным решениям.
Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.
Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.
Свободные колебания
Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.
Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.
Вынужденные колебания
А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.
Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.
Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.
Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.
Автоколебания
Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.
У автоколебательной системы есть три важных составляющих:
Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.
Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.
Характеристики колебаний
Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.
Формула периода колебаний
T= t/N
N — количество колебаний [-]
Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.
Формула частоты
ν= N/t = 1/T
N — количество колебаний [-]
Она используется в уравнении гармонических колебаний:
Гармонические колебания
Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:
Уравнение гармонических колебаний
x — координата в момент времени t [м]
t — момент времени [с]
2πνtв этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ
Фаза колебаний
t — момент времени [с]
Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.
На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.
Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.
На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.
Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.
Математический маятник
Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.
Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.
Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).
Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:
Формула периода колебания математического маятника
g — ускорение свободного падения [м/с^2]
На планете Земля g = 9,8 м/с2
Пружинный маятник
Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.
В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости. Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.
Формула периода колебания пружинного маятника
m — масса маятника [кг]
k — жесткость пружины [Н/м]
Закон сохранения энергии для гармонических колебаний
Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.
Рассмотрим его на примере математического маятника.
Амплитуда колебаний (лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.
Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется шарик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.
Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, сантиметрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как максимальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).
Период колебаний.
Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.
Другими словами, период колебаний (Т) — это время, за которое совершается одно полное колебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.
За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четырем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).
Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющейся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармонических колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяющихся величин, например, для затухающих колебаний.
Частота колебаний.
Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.
Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v) равна 1Гц, то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:
.
В теории колебаний пользуются также понятием циклической, или круговой частотыω. Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:
.
Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.
Гармонические колебания. Амплитуда, период и частота колебательного движения
Урок 24. Физика 9 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Гармонические колебания. Амплитуда, период и частота колебательного движения»
В рамках прошлой темы говорилось о новом виде механического движения – колебательном движении.
Механическое колебательное движение —это движение, при котором состояния тела с течением времени повторяются, причем тело проходит через положение устойчивого равновесия поочередно в противоположных направлениях.
Если колебания происходят в системе только под действием внутренних сил, то такие колебания называют свободными.
Колебательной системой называют такую физическую систему, в которой при отклонении от положения равновесия возникают и существуют колебания.
Маятник – это твердое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или вокруг оси.
В рамках данной темы будет рассмотрен простейший вид колебательного движения — гармонические колебания.
Гармонические колебания — это колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
Смещение от положения равновесия при гармонических колебаниях описывается уравнениями вида:
Эти уравнения называют кинематическим законом гармонического движения.
Покажем, что гармонические колебания действительно подчиняются закону синуса или косинуса. Для этого рассмотрим следующую установку.
Возьмем нитяной маятник, а в качестве груза к нему выберем небольшой массивный сосуд с маленьким отверстием снизу и насыплем в него песок.А под полученную систему положим длинную бумажную ленту.
Если ленту перемещать с постоянной скоростью в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний, то на ней останется волнообразная дорожка из песка, каждая точка которой соответствует положению колеблющегося груза в тот момент, когда он проходил над ней. Из опыта видно, что след, который оставляет песок на листе бумаги, есть некая кривая.
Она называется синусоидой. Из курса математики старших классов вы узнаете о том, что аналогичные графики имеют функции типа
Значит, графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается синусоидой или косинусоидой.
Через точки, соответствующие положению равновесия маятника, проведена ось времени t, а перпендикулярно ей — ось смещения икс. График дает возможность приблизительно определить координату груза в любой момент времени.
Теперь разберемся с величинами, входящими в уравнение колебательного движения.
Смещение — величина, характеризующая положение колеблющейся точки в некоторый момент времени относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в данный момент времени.
Амплитудаколебаний — максимальное смещение тела от положения равновесия.
Циклическая, или круговаячастота, показывающая, сколько колебаний совершает тело за 2p секунд.
j0 — это начальная фаза колебаний.
Фаза колебаний — это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
Промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называется периодомколебаний.
Период колебаний обычно обозначается буквой Т и в системе СИ измеряется в секундах.
Число колебаний в единицу времени называется частотойколебаний. Обозначается частота буквой ν. За единицу частоты принято одно колебание в секунду. Эта единица названа в честь немецкого ученого Генриха Герца.
Период колебания и частота колебаний связаны следующей зависимостью:
Т.е. частота — это величина обратная периоду и равная числу полных колебаний, совершаемых за 1 секунду.
Циклическая частота также связана с периодом колебаний или частотой. Эту связь математически можно записать в следующем виде:
Таким образом, любое колебательное движение характеризуется амплитудой, частотой (или периодом) и фазой колебаний.
При совершении телом гармонических колебаний не только его координата, но и такие величины, как сила, ускорение, скорость, тоже изменяются по закону синуса или косинуса.
Это следует из известных вам законов и формул, в которых указанные величины попарно связаны прямо пропорциональной зависимостью, например законом Гука или вторым законом Ньютона. Из этих формул видно, что сила и ускорение достигают наибольших значений, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение наиболее велико, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия.
Что же касается скорости, то она, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия достигает наибольшего значения.
Колебания, практически близкие к гармоническим, совершает тяжелый шарик, подвешенный на легкой и малорастяжимой нити, длина которой значительно больше диаметра шарика. Такую колебательную систему называют математическим маятником.
Математическиймаятник — это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести.
Также гармонические колебания может совершать груз подвешенный на пружине, совершающий колебания в вертикальной плоскости. Такую колебательную систему называют пружинным маятником — это система, состоящая из материальной точки массой m и пружины.
– Гармонические колебания — это колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
– Любое колебательное движение характеризуется амплитудой, частотой (или периодом) и фазой колебаний.
– Амплитуда колебаний — максимальное смещение тела от положения равновесия.
– Промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.
– Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний.
– Фаза колебаний — это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
– Математический и пружинный маятники — это простейшие идеализированные колебательные системы, подчиняющиеся закону синуса или косинуса.
– Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести.
– Пружинный маятник — это система, состоящая из материальной точки массой m и пружины, которая совершает колебания в вертикальной плоскости.
.
.
