как математический склад ума влияет на характер
Склад ума – что это такое, описание разных видов, как определить и выбрать подходящую профессию?
Склад ума – виды
Психологи выделяют два типа человеческого мышления. В первую группы включен гуманитарный склад ума, во вторую – математический или аналитический. В последнем случае люди мыслят технически, рассматривая определенные предметы во времени и пространстве. Такие личности выполняют операции поэтапно, опираясь на установленные правила и алгоритмы.
Гуманитарный склад ума
Люди с таким способом мышления отличаются глубоким восприятием мира. В отличие от технарей, им не нужно разбираться в сути явления, раскладывать целое на составляющие части. Гуманитарии способны прочувствовать ситуацию и проникнуть в ее суть. Такие личности глубоко переживают происходящие с ними события, эмоционально выражают чувства.
Гуманитарный склад ума – это способность фиксировать большое количество новой информации и фрагменты ярких событий, не связанных друг с другом.Таким личностям легче даются дисциплины, при изучении которых важна «зрительная память»:
Практический склад ума
О таком типе мышления говорят реже, чем о техническом или гуманитарном. У людей с практическим складом ума есть свои преимущества, которые пригодились бы каждому человеку. Практики могут найти применение любой вещи, получить выгоду из происходящих событий. Они умеют успешно вести бизнес и неплохо проявляют себя в политической сфере, но не склонны к фантазиям и мечтательности. Считается, что это больше мужской склад ума.
Черты, по которым можно определить людей-практиков:
Математический склад ума
Личностям с аналитическим мышлением хорошо даются такие науки, как алгебра, арифметика. Человеку с математическими способностями трудно в тех сферах, где необходимо проявить фантазию и воображение. Взрослые люди с подобным типом мышления кажутся не чуткими, строгими и не романтическими натурами. Аналитический склад ума – это мышление, основой которого является разум, расчет и жизненный опыт. Люди с подобными способностями сосредоточены, надежны и исполнительны. Математикам не чужды чувства и эмоции, но действовать они любят, опираясь на логику и здравый смысл.
Отличительные черты рассматриваемого склада ума:
Художественно-образный склад ума
Помимо математического, практического и гуманитарного мышления, существуют и другие типы способностей. Рассмотрим подробнее, какими бывают нестандартные склады ума. Реже всего среди людей встречаются личности с художественным восприятием мира. Им трудно усвоить и изложить информацию без использования образов. Из-за этого им тяжело общаться с окружающим и объяснять им что-то при помощи слов. В их речи присутствует множество сравнительных оборотов, прилагательных. Из личностей с художественно-образным складом ума получаются талантливые фотографы, дизайнеры.
Признаки человека с художественно-образным мышлением:
Синтетический склад ума
Индивиды рассматриваемого типа отличаются способностью разрабатывать новые правила и установки, полагаясь на жизненный опыт. Они отличаются хорошими аналитическими способностями и природной наблюдательностью. Описывая, какие склады ума существуют, синтетический тип можно отнести к аналитическому (математическому). Люди с подобными способностями являются прекрасными организаторами, они умеют предсказывать события, основываясь не на внутренние ощущения, а на практический опыт и исследования.
Личности с синтетическим складом ума часто встречаются:
Человек с синтетическим складом ума может:
Аутический склад ума
Лица с подобным мировоззрением отличаются:
Тип мышления нельзя отнести к какому-то складу ума традиционного типа. Человек с аутизмом отстраняется от внешней жизни. Он очень скуп в проявлении эмоций, чувств. Самый главный признак, который отличает таких индивидов– отсутствие контакта с окружающими. Другие отличительные признаки аутистов:
Люди с аутическим складом ума нередко наблюдаются у психиатров и неврологов. Многие из них не способны стать самостоятельными во взрослой жизни. При этом отдельные индивиды могут обладать уникальными способностями. Из них вырастают настоящие профессионалы своего дела и компетентные специалисты в какой-то одной отрасли.
Универсальный склад ума
К этой категории принадлежат люди с особыми способностями. Им без проблем даются как математические, так и гуманитарные науки. Существует несколько способов, как узнать склад ума универсального типа. Прежде всего, необходимо обратить внимание на то, что люди с подобным типом мышления умеют:
Персоны с универсальным складом ума могут реализовать себя в любой сфере. Они справляются с разноплановыми заданиями и быстро продвигаются по карьерной лестнице. Зачастую возможности таких людей распределяются неравномерно. У одних проявляются феноменальные способности к математике и иным точным наукам, а у других – к гуманитарным.
Презентация: «Аналитическое мышление»
Учитывая эту особенность, многие психологи говорят о так называемых «проклятиях» аналитиков:
Как определить склад ума?
Определить тип мышления можно без помощи психологов. Рассмотрим алгоритм, как понять, какой у тебя склад ума:
По некоторым критериям можно определить типы склада ума других людей. Если во время беседы и описания событий он уделяет больше внимания деталям (обстановке в помещении, ценам), то это означает, что у него левое полушарие мозга доминирует над правым. Личности с гуманитарными способностями будут акцентировать внимание собеседника на полученных эмоциях и переживаниях.
Основные черты
Распознать синтетика можно по следующим чертам:
Раскроем суть термина
Простыми словами, это природный дар, но его можно развивать. Только сначала стоит определиться, нужно ли это вам. Как правило, аналитический склад ума необходим людям, которые занимаются наукой, писательской деятельностью, медициной, различными расследованиями, адвокатам, бухгалтерам, политологам и так далее. Продукт их труда будет исследоваться другими людьми, поэтому результат должен быть безупречным и безошибочным.
Таким образом, мы приоткрыли занавес в вопросе, что означает аналитический склад ума. Допустим, вы решили развить эти способности, разберемся, как это сделать. А, может, они уже есть? Как их распознать?
Практические рекомендации
Как же ее улучшить? Советы специалистов:
Все эти рекомендации помогут развить ваши аналитические способности. Но, главное, как и в любом деле, не переусердствуйте: нужно всегда находить время на отдых.
Пища для мозга
В ходе развития аналитического мышления важно обратить внимание и на питание. Существует пища для мозга, которая помогает работе главного органа организма, стимулирует его работу. Тем более, что умственный труд всегда требует немало затрат энергии, а эти затраты важно восполнять правильно. Мозгу требуется много глюкозы. К другим продуктам, которые улучшают работу мозга, относятся:
разные виды орехов; шоколад, но только горький; сухофрукты; ягоды (черника, клюква); лимон; свекла; шпинат; рыбы из семейства лососевых; белокочанная капуста.
Кроме того, для нормальной работы организма, и мозга в том числе, требуются минералы и витамины. В первую очередь, нам нужны: бор, кальций, магний, цинк, железо. Важно следить за питанием, соблюдать баланс. Это поможет мозгу правильно работать и воспринимать информацию. Замените сахар полноценными углеводами, употребляйте больше белка, как можно меньше жиров.
Что такое «математический склад ума» и почему наглядность в математике может быть вредной
Теории и практики
Математика — та область, в которой, пожалуй, наиболее ярко проявляется водораздел между «у меня нет способностей» и «меня неправильно учили». Хотя на самом деле все гораздо сложнее: важны не только «математический склад ума» и «наглядность преподавания», но и навыки коммуникации и даже язык, на котором ведется обучение. Все это изучает профессор Иллинойского университета Норма Пресмег, которая выступит на конференции «Психология и технологии в математическом образовании». По просьбе T&P директор по исследованиям «Яндекс.Учебник» Наталья Чеботарь поговорила с профессором Пресмег о пользе и опасностях математических визуализаций, правильном подходе к преподаванию и этноматематике.
— Давайте сразу внесем ясность: вы изучаете не математику, а тех, кто изучает математику…
— Есть большая разница между тем, чем занимаются математики, и тем, чем занимаются исследователи математического образования. Иногда математики думают, что они занимаются исследованиями, потому что они преподают математику, но часто они просто не знают о том, что математическое образование — это вот уже более 50 лет как совершенно отдельная область исследований. Всего 50 лет, хотя самой математике тысячи лет.
Большая часть моих работ основываются на работах советского психолога Крутецкого. Он проделал большую работу, которая, на мой взгляд, до сих пор не получила достаточного внимания. Сейчас я занимаюсь тем, чтобы показать, насколько его научные работы опередили свое время.
— Да, образование как область научных исследований часто упускают из виду.
— Вообще-то я сама считаю себя преподавателем математики, я 12 лет преподавала математику в старшей школе. И хотя у меня есть диплом математика, ученую степень я получала в Кембридже именно в области исследований математического образования. И исследование тех лет стало одной из самых потрясающих вещей, которые мне довелось сделать в жизни.
Это исследование началось прямо в классе: когда я преподавала математику в школе в ЮАР, я обратила внимание на нескольких учеников в моем классе. Они мечтали быть архитекторами, инженерами, для карьеры в этих областях им нужна была математика, но была одна проблема. Во время летних каникул они сдавали профориентационные тесты, и так получилось, что я была в комиссии проверяющих. И вот что я обнаружила: эти дети были невероятно одаренными в области пространственного мышления, всего 4% от всех сдававших экзамен могли показать такой уровень. Однако они полностью провалили математику, хотя многие разделы математики связаны с пространственным мышлением — и это не только геометрия, но и тригонометрия и даже алгебра (в работе с равенствами и формулами есть и визуальный компонент).
До этого я исследовала особенности креативного мышления Эйнштейна. Он любил думать картинками и вообще был отличным визуализатором. Я увидела связь: значит, все-таки возможно использовать визуальные образы для понимания математического материала. Но в ЮАР на тот момент не было никого, кто бы мог направить меня в моих исследованиях. Поэтому я отправилась в Кембридж, где нашла поддержку: коллеги считали, что вопрос, который меня беспокоил, нуждается в исследовании. Три года я пыталась понять, почему школьники, обладающие пространственным мышлением, не могут справиться с математикой.
— Удалось найти ответ?
— Да, и он был довольно неожиданным. Пришлось исследовать не только учеников, но и их учителей. На основе работ Крутецкого, который тоже изучал визуализацию как способ математического мышления у математически одаренных ребят, я разработала тесты — для учеников и учителей, и после того, как эти тесты были проверены на валидность, мы провели полевые исследования в выпускных классах школ. А затем я провела целый год, наблюдая за работой в классе, интервьюируя учителей и учеников.
Среди учащихся явно выделялись 54% «визуализаторов», тех кто предпочитает картинки, — но, выбирая стратегии для работы с классом, учителя редко ориентировались на них. Однако нашлось пять учителей, которые очень активно использовали визуализации в своей работе, — но корреляции между тем, насколько активно учитель использует визуальный материал в работе, и тем, какие результаты показывают его ученики-«визуализаторы», не обнаружилось.
Конечно, на уроках без визуализаций дети просто запоминают материал без глубокого понимания. Но и с визуальным подкреплением дела шли не лучше. Оказалось, что
дело не в визуализации, а в абстрактном мышлении, умении делать обобщения на основе этих визуализаций. Можно дать ученикам очень четкую картинку, прототип — и он просто не оставит места для анализа, додумывания.
— И как преподавать математику тем, кому она не дается?
— Среди всех участников исследования самым эффективным учителем оказался тот, кто использовал много визуализаций, но всегда вместе с заданиями на абстрактное обобщение этого визуального материала, додумывание. То есть — да, используйте цвет, линии и т. д., но если уж говорите о треугольнике, то задавайте вопросы и заставляйте думать. Важно не только представлять математику наглядно, но и иметь в виду трудности, которые сопровождают визуальное мышление.
Есть такое понятие — паттерны. Развивайте паттерное мышление. Скажем, если шахматиста-новичка попросить описать шахматную доску, он в деталях расскажет о шахматных фигурах. Опытные шахматисты видят вертикали, горизонтали, диагонали — паттерны, по которым перемещаются фигуры.
Именно паттерны, визуальные обобщения помогают в математике, в то время как конкретные изображения могут быть помехой на пути к пониманию математических понятий.
— И : существует такое явление, как талант к математике? Или математика подвластна всем?
— Вернусь к работам Крутецкого. Он работал в школах в конце 1930-х — тогда не было школьных тестов, не было данных. Если ученик не мог освоить математику, это однозначно была вина учителя. Так вот, Крутецкий и его коллега-исследователь Наталья Менчинская задались вопросом: как возможно, что дети одних родителей, которые учатся в одной школе у одного учителя, учатся по-разному? В своих исследованиях Крутецкий выдвинул гипотезу, что есть такая вещь, как математический склад ума. И если он присутствует, то он помогает ребенку видеть математику во всем. В те времена такая гипотеза — разделение детей на неспособных, способных и одаренных — не была популярной. Но результаты исследований показывали, что одни дети рассматривали каждую задачу как совершенно новую, а другие легко видели общее, находили параллели с тем, что они когда-то раньше решали, выделяли принципы решений.
Математический склад ума — это некоторый способ думать, который одним дается проще, а другим сложнее. Если ребенку сложно с математикой — возможно, стоит поискать другие области, где ему легче. Тем не менее внимательный учитель должен помочь каждому увидеть общее в разных задачах и научить не страдать над ними, а получать удовольствие от решения.
Математические культуры
— Вы ведь еще занимаетесь этноматематикой. Что это такое?
— Как я говорила, я работала в ЮАР. В Дурбанском университете около трети студентов были европейцами, треть — местное население, и треть — эмигранты из Индии. Это было еще в 1980-х, ситуация была напряженной, и было особенно важно учитывать разные культурологические нюансы. В университете я занималась обучением учителей и тогда поняла, насколько важно исследовать культуру, особенно в связи с обучением математике.
Многие считают математику предметом, независимым от культурных кодов, но это только так кажется.
Меня заинтересовали математические идеи, созданные в национальных культурах, и люди, которые этими идеями пользуются на практике.
Например, у австралийских аборигенов есть довольно сложная монархическая система. Она накладывает множество ограничений на браки с людьми за пределами сообщества, но также, естественно, и на браки с близкими родственниками. Чтобы определить, кому на ком можно жениться, у них придумана система, в которой участвуют диэдральные группы четвертого порядка — это довольно сложное математическое построение. Естественно, сами аборигены ничего такого не высчитывают, они просто проживают свою культуру. И вот именно такими вещами занимается этноматематика — cмотрит на культуры через математические очки. Даже здесь, в США, некоторые из моих студентов увлекаются шитьем традиционных пледов из лоскутов, а ведь узоры, которые передаются из поколения в поколение, — это тоже этноматематика.
— Изучает ли этноматематика влияние определенной культуры на математические способности?
— Я бы не сказала, что принадлежность к культуре дает детям определенные преимущества в математике. А вот что точно помогает, так это когда язык, на котором говорят с детьми дома, совпадает с тем, на котором говорят в классе. Когда эти языки различаются, дети действительно испытывают трудности в классе.
И, конечно, сам язык оказывает влияние.
Есть языки, которые вообще лучше приспособлены к математике
— например, японский, где «11» передается через слова «десять» и «один». В английском это будет отдельное слово «eleven» — что?! А во французском вообще считают двадцатками! Чтобы cказать «81», вам придется произнести «четырежды двадцать и один» — вы только представьте себе, как дети этому учатся.
— А насколько математические способности зависят от общего культурного уровня?
— Австралийский ученый Ллойд До исследовал влияние языковых барьеров на обучение: если ребенок мог преодолеть языковой барьер, он мог продвинуться в математике, но для тех, кто не смог овладеть языком свободно, сам язык оказывался препятствием. Была и гипотеза Сепира — Уорфа, которая говорила, что язык определяет способ мышления, но в дальнейшем многочисленные исследования опровергли некоторые ее утверждения.
Математика дается людям всех культур. Но есть разница между двумя типами «окультуривания» — культура, которую ты принимаешь от родителей, и культура, отличная от твоей родной, которую ты изучаешь. Если ребенок способен воспринимать новую для себя культуру, у него все получится.
Не можете решить задачу — поговорите об этом
— Вы выступаете на конференции, которая называется «Психология и технологии в математическом образовании». Несколько лет назад у многих было ощущение, что индивидуальные траектории в обучении — это вопрос нескольких лет, что совсем скоро современные онлайн-сервисы смогут научить, скажем, математике тех, кого не могли научить раньше. Кажется, эта задача намного сложнее, и сложности находятся скорее на стороне науки: мы до сих пор не очень хорошо понимаем, как разные люди учатся.
— Важно осознать, насколько важную роль в обучении играет хороший учитель. Я думаю, что хорошего учителя никакая машина никогда не заменит. Мои исследования ясно показывают: чтобы добиваться результата, преподаватели подстраиваются под разных учеников. И чаще всего это происходит на интуитивном уровне. Важнее всего понять, почему учащийся дает тот или иной ответ на задачу, — ответ может быть неправильным, но только преподаватель может определить причину неверного ответа. Есть трудноуловимые связи между людьми, вряд ли в ближайшие 20 лет компьютеры смогут их воспроизвести.
— Часто говорят, что учитель больше не источник знания, а человек, который создает образовательное пространство. Но из того, что вы говорите, следует, что роль учителя больше похожа на роль врача, который способен точно диагностировать причины ошибок, которые совершает ученик.
— Мне нравится ваша метафора. Учитель и диагностирует, и выдает лекарство. И неважно, насколько замысловатыми будут компьютерные решения, — компьютер никогда не сможет обеспечить такой уровень согласованности между людьми, не сможет точно диагностировать причину неудачи ученика в конкретном примере. Но это проблема, потому что одно дело — гипотетический учитель, который работает с учащимся один на один, и совсем другое — класс, в котором разные ученики думают и воспринимают информацию по-разному.
Мои исследования — тесты на предпочтительный вид мышления — показывают нормальное гауссовское распределение. Большая часть людей находится в центральной части «холма»: иногда им нужно больше визуального подкрепления, иногда оно не требуется. Это зависит от трех факторов — от самого задания, от инструкций к заданию, которые могут требовать выполнять задание только определенным образом, и от индивидуальных особенностей человека. Но вот по краям распределения как раз хорошо видны различия: с одной стороны находятся люди, которым всегда нужны картинки (они сами их нарисуют, если не получат от преподавателя), а с другой — те, кому картинки не нужны, они на них вообще внимания не обращают. Так вот представьте: у вас в классе такое вот распределение, а вы пытаетесь (вынуждены) всех учить одним способом.
Я верю, что помочь в этой ситуации могут несколько практик — обсуждения заданий в небольших группах и возможность ученика рассказать о своем решении всему классу, чтобы другие могли узнать о другом способе мышления. Важно оставлять в классе место для коммуникаций, развивать умение выражать словами математические идеи.
Привычки людей с математическим складом ума
Привет, Geektimes! На днях разработчикам Wirex, финтех-стартапа, предоставляющего услуги платежей и денежных переводов без банковского посредничества, на глаза попался весьма интересный материал. Его автор проанализировал некоторые особенности, присущие людям с математическим складом ума, рассказал, какие навыки действительно могут пригодиться в жизни и обозначил преимущества математического подхода при оценке событий. Для того чтобы данная публикация не осталась лишь в поле зрения аудитории зарубежных медиа, мы решили сделать ее перевод, которым спешим поделиться со всеми пользователями Geektimes.
Далее мы приводим оригинальный перевод статьи с блог-платформы Medium, посвященной привычкам, которыми обладает каждый математик.
Один из самых популярных вопросов, которые студенты задают преподавателям математики, звучит так: «Где вообще мне это пригодится?». Немногим учителям удается сразу дать резонный ответ, выходящий за рамки общепринятой точки зрения. Обычно они дают стандартное объяснение на тему полезности развития «критического мышления» и на этом конкретика заканчивается. В то же время эти же учителя должны уметь с невозмутимым видом рассказать своим студентам о важности знания производной арккосинуса.
Предлагаю вам свой список. В него я включил реальные, четко сформулированные навыки, которые, будучи хорошенько освоены студентами, пригодятся им на практике и будут полезны в жизни за рамками их математической деятельности. Некоторые из них имеют прикладной характер: математики используют каждый день для рассуждения о сложных, разносторонних задачах. Другие полезны в социальном плане и позволяют вам натренировать свой эмоциональный интеллект, столь необходимый каждому, кто хочет преуспеть в сфере деятельности, где почти все свое время приходится проводить в попытках понять то, чего в действительности не существует. Все они изучаются в своем чистейшем виде в рамках математики.
А вот и сам список:
Умение четко формулировать определения
Главный навык, который вырабатывается у математиков в ходе их профессиональной деятельности — гибкость и эффективность в работе с понятийным аппаратом. И навык этот имеет гораздо большее значение, нежели это может показаться на первый взгляд. Этим я хочу сказать, что математики буквально помешаны на поиске лучших и наиболее полезных значениях каждого используемого ими слова. Они нуждаются в логической точности потому, что работают в мире понятий, которые можно однозначно подтвердить или опровергнуть. И если какое-либо понятие имеет «смысловую завершенность», то оно обязательно должно быть определено.
Позвольте начать с математического примера, имеющего некоторое отношение к реальному миру. Поговорим о «случайном». Концепция случайности мозолила глаза математикам на протяжении почти всей новейшей истории науки, поскольку дать точное определение тому, какое событие может называться случайным, довольно сложно. Ученые-статистики решают эту головоломку, считая случайными не вещи, а процессы и, соответственно, полагая, что вычислить вероятность события можно, опираясь на результаты процессов. Так можно вкратце охарактеризовать понятие, которое, несмотря на свою простоту, лежит в основе едва ли не всей статистики.
Тем не менее это не единственное определение случайности. Возьмем, например, ситуацию с подбрасывание монетки. Последовательность ОРООРОООРРРОРООРООРО покажется нам вполне случайной, тогда как двадцать одинаковых «орлов» подряд мы ни за что не захотим признать случайным стечением обстоятельств. Математики посмотрели на эту ситуацию и решили, что статистического определения случайности недостаточно и изобрели второе определение под названием «сложность по Колмогорову». Грубо говоря, событие называется «случайным по Колмогорову», если самая короткая воспроизводящая его компьютерная программа по сути состоит из этого события. Сразу замечу, что определение «компьютера» здесь используется чисто математическое, т. е. речь идет не о современных компьютерах, а о том понятии, с которым оперировал еще Алан Тьюринг. Говоря более простым языком, можно представить, что случайное по Колмогорову событие требует, чтобы вы описали его целиком в исходном коде воспроизводящей его компьютерной программы.
Из колмогоровской сложности выросла отдельная замечательная область математики и вычислительной теории, но на этом наша история не заканчивается. Изучая и развивая это направление, математики вскоре обнаружили, что для многих событий колмогоровская сложность расчету не поддается и поэтому использовать ее для решения практических задач бывает очень трудно. Требовалось определение, способное описать числа, которые выглядели бы случайно и были достаточно случайны для практического применения, даже несмотря на свою фактическую неслучайность в колмогоровском смысле. Результатом этих поисков было применяемое сегодня определение криптографически безопасной случайности.
Упрощенное определение случайности с точки зрения криптографии предполагает, что ни одна эффективная компьютерная программа, ставящая своей целью определить различие между псевдослучайными и истинно случайными событиями (в статистическом понимании), не будет иметь в этом деле значительного преимущества по сравнению с попыткой угадать результат с вероятностью 50 на 50. Такой подход гарантирует, что ваша последовательность чисел будет достаточно случайной, чтобы ваши враги оказались неспособны определить, какие числа вы будете использовать, потому что их попытки сделать точные вычисления будут сопоставимы по времени со сроком их жизни. Это и есть основа современной криптографии, взяв на вооружение которую, инженеры спроектировали системы, поддерживающие безопасность и конфиденциальность наших интернет-коммуникаций сегодня.
Итак, математики потратили немало времени, размышляя над определениями, что в конечном счете повлияло на то, как мы используем математику в реальном мире. Тем не менее я не считаю это аргументом в пользу необходимости обучать математике всех.
Как же размышление над определениями может помочь людям в реальном мире? Давайте рассмотрим конкретные примеры. Первым будет случай Кейта Девлина, математика и консультанта, помогавшего оборонным ведомствам США улучшить анализ данных после событий 11 сентября. Описание своей первой презентации он начинает с того, что оказался в помещении с большой группой представителей военных подрядчиков и начал свою беседу с попытки разобраться с определением слова «контекст». Далее я привожу вам основные выдержки из его рассказа.
Я готовил свой PowerPoint-проект… и был уверен, что присутствующие остановят меня на половине презентации, попросят перестать тратить их время и посадят на ближайший самолет до Сан-Франциско.
Дальше одного слайда дело не зашло. Но не потому, что меня выпроводили из кабинета. Просто оставшаяся часть сессии была проведена в обсуждении содержимого того самого слайда… Как мне сказали уже потом: «Всего лишь один этот слайд оправдал твое участие в проекте».
Так что же такого я сказал? На мой взгляд, ничего особенного. Моей задачей было найти способ проанализировать то, как контекст влияет на анализ данных и принятие решений в крайне сложных сферах деятельности, существующих на стыке военных ведомств, политики и социальных факторов. Я сделал ну очень очевидный (для меня) первый шаг. Мне нужно было записать настолько точное математическое определение понятия «контекст», насколько это возможно. На это у меня ушло несколько дней… Не могу сказать, что я был абсолютно доволен результатом… Тем не менее это было лучшим, что я мог сделать, и этот процесс, по крайней мере, дал мне твердое основание для того, чтобы начать развивать некоторые элементарные математические идеи.
Довольно большая группа умных людей, настоящих академиков, военных подрядчиков и старшего персонала Министерства обороны провела весь оставшийся час выделенного мне времени, обсуждая всего лишь одно это определение. Дискуссия выявила, что разные эксперты имели разное понимание того, что такое контекст, а это верный путь к катастрофе. Я же с самого начала задал им вопрос: «Что такое контекст?» Каждый из присутствующих в комнате, не считая меня, имел хорошее рабочее определение этого понятия, однако все определения отличались друг от друга. И никто из участников ранее не предлагал записать единое формальное определение. Они просто не привыкли делать это в рамках своей работы. Как только это было сделано, у них появилась общая отправная точка, позволявшая сравнивать и противопоставлять ей прежде всего собственные идеи. Благодаря этому нам удалось избежать катастрофы.
Как математик, Девлин не сделал ничего необычного. Фактически самый обычный вопрос, который возникает у математика, столкнувшегося с новым предметом обсуждения, звучит как: «Что именно вы имеете в виду под этим словом?»
Каждому из нас приходится иметь дело с новыми определениями, неважно идет ли речь о новом определении брака или половой принадлежности, или о юридических определениях «намерения», «разумности», «неприкосновенности частной жизни». Искушенный математик без промедления заметит, что правительство не может предоставить ни одного полезного определения такого понятия, как «религия». Способность мыслить критически, опираясь на определения — основа любого цивилизованного диалога.
Привычка задумываться об определениях вырабатывается у студентов-математиков еще на раннем этапе своего обучения в ВУЗе и укрепляется в магистратуре и последующих этапах их научной деятельности. Обычно математик сталкивается с новыми определениями ежедневно и происходит это в самых разных контекстах. Ну а само умение уверенно разбираться с понятиями и терминами окажется полезным для каждого, кто его освоит.
Обдумывание примеров и контрпримеров
Ну, а сейчас предлагаю немного попрактиковать работу с определениями в неформальной обстановке. Под «контрпримером» я понимаю такой пример, который показывает, что что-то перестает работать или неверно. К примеру, число 5 представляет собой контрпример утверждения о том, что 10 — простое число, потому что 10 делится на 5 без остатка.
Математики проводят много времени, придумывая примеры и контрпримеры для самых разных утверждений. Этот пункт очень тесно связан с предыдущим об определениях поскольку:
А заключается он в следующем. Работая над задачей, вы изучаете некий математический объект и записываете ту информацию о нем, которую хотите доказать. То есть, вы делаете обоснованную (или необоснованную) догадку о некоторой закономерности, которая характеризует изучаемый объектом. За этим следует доказательство, когда вы пытаетесь подтвердить или опровергнуть утверждение.
В качестве плохой аналогии можно привести догадку о том, что Земля находится в центре вселенной. Вы подкрепляете эту догадку характеристиками объекта, которые удовлетворяют этому утверждению. В нашей Солнечной системе вы могли бы сделать игрушечную модель, показывающую пример того, как, на ваш взгляд, могла бы выглядеть модель вселенной с Землей в ее центре, если бы вселенная могла быть такой же простой, как игрушка. Или же вы, напротив, могли бы выполнить некоторые измерения, включающие в себя учет характеристик Солнца и Луны и получить доказательство того, что это утверждение ложно, и на самом деле Земля вращается вокруг Солнца. Так вот в мире математики это «доказательство» — контрпример и называть его таковым можно, только если его истинность подлежит однозначному подтверждению. «Доказательство» в математике часто выступает всего лишь в роли временного заполнителя, до тех пор, пока истина не будет выявлена. Несмотря на все это, впрочем, существуют некоторые широко известные задачи, над решением которых математики бьются уже сотни лет, так до сих пор и не предоставив для них ничего, кроме «доказательств».
Аналогия эта описывает то, что происходит в математике даже на самом микроскопическом уровне. Когда вы с головой погружаетесь в проект, вы делаете новые небольшие предположения каждые несколько минут, как правило, в итоге опровергая их, поскольку позже вы понимаете, что они были не чем иным, как совершенно необоснованными догадками. Это — очень интенсивный, «прокачанный» научный процесс, состоящий из анализа сотен ложных гипотез, приводящих в итоге к приятному результату. Контрпримеры, которые вы находите по пути, выступают в роли дорожных указателей. Впоследствии они помогают вашей интуиции, и стоит им только прочно укорениться у вас в голове, как процесс принятия или отрицания более сложных догадок становится относительно простым.
И вот мы снова подходим к тому, что способность придумывать интересные и полезные примеры и контрпримеры — один из столпов продуктивного рассуждения. Если вы когда-либо читали протоколы слушания Верхновного суда, например, случая с обсуждением легальности ношения заключенными бороды по религиозным соображениям, вы увидите, что большинство аргументов — проверочные примеры и контрпримеры, позволяющие проверить ранее установленные юридические определения «разумности», «религии» и «намерения» на прочность. Этот подход также нашел бесчисленное количество применений в физике, инженерном деле и вычислительной теории.
Есть и другой, гораздо менее очевидный, но не менее важный момент. В силу того, что на протяжении всей своей карьеры математикам приходится регулярно высказывать столь большое количество неверных, глупых и ложных догадок, они становятся иммунны к слепому принятию утверждений, основанных на силе чьего-либо голоса или культурных предубеждениях. Если мы признаем, что в условиях современного коллективного общества люди стали слишком склонны верить голосам других (политиков, «экспертов» СМИ, финансовых ораторов), тогда изучение математики — прекрасный способ культивировать в людях здравое чувство скептицизма. Этот навык будет одинаково полезен как для инженеров, так и для водопроводчиков, медсестер или сборщиков мусора.
Умение часто ошибаться и признавать ошибки
Два математика, Изабель и Гриффин, обсуждают математическое утверждение у доски. Изабель думает, что утверждение истинно и горячо отстаивает свою точку зрения в споре с Гриффином, который верит в обратное. Спустя 10 минут они меняют свои точки зрения на прямо противоположные и теперь уже Изабель считает это утверждение ложным, тогда как Гриффин верит, что они истинно.
Подобные ситуации я наблюдаю постоянно, но только в мире математики. Единственная причина, по которой такое может произойти заключается в том, что оба математика, независимо от того, кто из них на самом деле прав, готовы не только принять свою неправоту, но и охотно поменять сторону спора, как только почувствуют в своих аргументах хотя бы малейший изъян.
Иногда в группе из 4–5 человек, обсуждающих некое утверждение, я оказываюсь единственным несогласным с мнением большинства. Если предложенный мной аргумент будет достаточно хорош, каждый из присутствующих немедленно примет тот факт, что он был неправ, сделав это без каких-либо сожалений или негативных эмоций. Чаще, впрочем, я оказываюсь на стороне большинства и вынужден возвращаться назад в своих рассуждениях или пересматривать и совершенствовать свои взгляды.
Привычка поощрять сомнение, быть неправым, признавать это и начинать все сначала как можно чаще — все это отличает математическую дискуссию даже от хваленой научной дискуссии. Здесь вы не увидите никаких попыток добиться нужного показателя p-значения или скрытого лоббирования. Нет в математике места и для стремления прославиться, ведь почти все, что вы говорите, как правило, не покидает пределов небольшой группы участников дискуссии. Математик в деле полностью поглощен процессом поиска истины, а его профессиональные привычки позволяют ему отбросить личную славу или страх позора ради главной цели — проникновения в суть проблемы.
Оценка следствий утверждения
Скот Ааронсон написал в своем блоге пост про убийство Джона Кеннеди и посвященные этому теории заговора. В нем он рассматривает утверждение «убийство Джона Кеннеди было заговором, масштаб которого сопоставим с размером ЦРУ» и дает ему оценку, основанную на простых и понятных аргументах, очень похожих по своей сути на подход математиков и информатиков. Рассмотрим пример из его поста:
10. Почти все конспирологические теории о Джоне Фицджеральде Кеннеди, по всей видимости, ложны просто потому, что все они противоречат друг другу. Как только вы поймете это и начнете рассматривать их исходя из того, что хотя бы одна из них могла бы быть верна, на вас сразу же снизойдет озарение: вы поймете, что ничто не мешает вам просто отмести их все.
12. Если организаторы заговора были столь могущественны, то почему они ограничились одним только убийством президента, не добившись никаких более впечатляющих результатов? И почему заговорщики не начали еще раньше, с подтасовки выборов, дабы помешать Кеннеди стать президентом? В математике вы часто обнаруживаете недочеты в своем аргументе благодаря пониманию того, что он сам по себе дает вам гораздо больше, нежели вы изначально полагали. И тем не менее все аргументы в пользу конспирации, с которыми я ознакомился, по всей видимости, обладают одним и тем же недостатком. К примеру, что случилось с заговорщиками после успешного выполнения задуманного? Их организация просто расформировалась? Или они продолжили вынашивать планы других убийств и организовывать их? Если этого не произошло, то что им помешало? Разве работа тайных мировых кукловодов не является бессрочной деятельностью? И где вообще, если, конечно, это возможно, заканчивается власть этой организации?
На самом деле исследование пределов того или иного утверждения — хлеб насущный для любого математика. Это один из простейших доступных каждому инструментов высокого уровня, позволяющих оценить справедливость утверждения перед тем, как начать подробное рассмотрение аргументов. И этот метод можно использовать как лакмусовую бумажку для определения того, какие аргументы следует рассматривать подробнее.
Иногда доведение того или иного аргумента до пределов позволяет получить улучшенную и более элегантную теорему, включающую в себя начальное утверждение. Но гораздо чаще вы просто понимаете, что были неправы. Поэтому эта привычка — менее формальная вариация на тему частых ошибок и придумывания контрпримеров.
Способность рассматривать предположения, лежащие в основе утверждения, отдельно друг от друга
Есть у математики и одна, пожалуй, досадная черта: она полна двусмысленностей. Мы любим относиться к ней, как к некоему олицетворению непоколебимости. И я даже готов поспорить в пользу этой идеи. Как бы то ни было, процесс занятия математикой — изучения существующих идей или придумывания новых — имеет гораздо больше общего с коммуникацией между двумя людьми, нежели суровой и холодной как лед непоколебимостью.
Так, когда математик делает какое-либо утверждение, он, как правило, старается сформулировать базовую идею максимально просто, с целью донести ее до других людей. Обычно это означает, что смысл используемых в формулировке выражений может оказаться неясным для других людей, особенно если разговор происходит между двумя математиками, знакомыми с общим контекстом разговора, а вы в этой ситуации — посторонний человек, пытающийся их понять.
Когда вы оказываетесь в подобной ситуации в математике, вы тратите много времени на то, чтобы вернуться к основам. Вы задаете вопросы вроде: «Что означают эти слова в данном контексте?» и «Какие очевидные попытки уже были предприняты и отклонены и почему?». Стараясь глубже проникнуть в суть вопроса, вы спросите: «Почему именно эти вопросы так важны?» и «Куда вообще ведет эта линия исследования?»
Это и есть методы, которые математик использует, чтобы собрать сведения о предмете обсуждения. Единый лейтмотив такого подхода заключается в изоляции каждой йоты смущающей вас информации, каждого предположения, лежащего в основе того или иного убеждения или утверждения. Этот подход решительно отличается от любых других видов дискуссий, наблюдаемых сегодня в мире.
Пытался ли, например, кто-нибудь основательно понять мировоззрение Дональда Трампа в ходе его подготовки к весьма спорным президентским выборам этого года? Большинство либералов слышат только: «Я построю стену и заставлю Мексику платить за это», смеясь над Трампом и объявляя его сумасшедшим. Применяя математический подход к этому утверждению, для начала необходимо понять, где оно берет свое начало. К какой целевой аудитории Трамп апеллирует? Какие альтернативные способы решения иммиграционной проблемы он рассмотрел и исключил и почему? Почему иммиграция — столь важная для его сторонников тема, и какие предположения в его логике приводят к подобным решениям? Что такого особенного понимает и знает Трамп, что делает его предвыборные предложения столь популярными?
Нет, я не пытаюсь занять ту или иную политическую позицию. Я всего лишь хочу обратить ваше внимание на то, что если математик окажется в крайне неоднозначной ситуации, раздельный анализ предположений, лежащих в основе того или иного утверждения, будет частью общей схемы его действий. Феномен «либеральные СМИ недооценивают Трампа» обязан своим существованием во многом именно нежеланию задать вопросы, подобные приведенным выше, и получить на них ответы. Вместо этого, противники Трампа всего лишь делают твиты с цитатами его заблуждающихся и оторванных от реальности сторонников. Однако, если верить результатам опросов, такой подход не приносит ощутимых результатов…
«Лестница абстракции»
Последняя в моем списке привычка — концепция «лестницы абстракции», которую я позаимствовал у Брета Виктора. Ее суть заключается в том, что во время рассуждения над решением проблемы вы можете абстрагироваться, посмотреть на нее и обдумать ее с высоты разных уровней, по аналогии с движением вверх и вниз по лестнице, где более высокая ступенька означает более высокий уровень абстракции. Виктор приводит интерактивный пример разработки алгоритма вождения автомобиля. В нем вы можете рассмотреть его работу в мельчайших деталях, сопоставляя конкретную вариацию алгоритма и результаты наблюдения за его поведением.
На более высоком уровне (более высокой ступеньке) вы можете контролировать разные параметры алгоритма (и время) с помощью слайдера, превращая один вариант алгоритма в целое семейство производных алгоритмов, каждый из которых также может быть отлажен. Вы можете и далее обобщать то, какие параметры и варианты поведения могут поддаваться отладке, чтобы расширить пространство возможных вариантов алгоритмов. Так, в ходе работы вы ищете обобщенные схемы действия, которые могут помочь вам добиться конечной цели — разработки качественного алгоритма вождения автомобиля с точки зрения самого низкого уровня, с которого и началась ваша работа.
Математики регулярно применяют этот прием, особенно на более позднем этапе обучения в магистратуре, когда вам нужно научиться обрабатывать огромное количество исследований. Там у вас нет времени на глубокое изучение каждой части и каждого утверждения в той или иной работе, за исключением разве что самых важных из них. Вместо этого вы создаете «лестницу абстракции», нижняя ступень которой содержит отдельные определения, теоремы и примеры из работы, следующий уровень — ее обобщенное содержание, а более высокий уровень рассматривает то, как данная работа соотносится с другими исследованиями и вписывается в более широкий математический контекст. Еще выше идут системообразующие для этой области знаний тенденции, то, что считается для нее важным, модным и так далее.
Вы можете начать с самой нижней ступеньки лестницы, разобрав и поняв несколько примеров определений и получив тем самым надежный ориентир, после чего перепрыгнуть к основной теореме работы и понять, какие именно улучшения она предлагает по сравнению с предыдущей работой в этой области. В ходе чтения вы можете натолкнуться на какую-нибудь технику из незнакомой вам области, придуманную в 50-х. Просто воспользуйтесь ей как готовым решением, сосредоточившись на более полезном для вас доказательстве основной теоремы, и спустившись, таким образом, на одну ступень ниже. После этого вы можете перейти к главам, посвященным нерешенным задачам, чтобы посмотреть, что еще осталось сделать в этой области, и если они покажутся вам достаточно заманчивыми, вы можете подготовить себя к работе над ними путем внимательного прочтения остальной части работы.
На самом деле математикам приходится упражнять свои «абстрагирующие мышцы» всякий раз, когда они рассказывают о собственной работе. Публика на лекциях бывает разная, и каждый слушатель может оценить содержание математической идеи на разном уровне детализации. Некоторые теоремы лучше всего поддаются объяснению на примере соревновательных игр и их контекста, задачи по оптимизации — на других примерах, а в некоторых случаях бывает уместно даже приводить аналогии из металлургии.
Пожалуй, можно сказать, что объединение информации со всех ступенек лестницы в единую гармоничную модель, которую вы сможете рассматривать самостоятельно и в нужном вам масштабе — одна из распространенных и непростых задач в мире математики. Виктор старается упростить это упражнение для ума путем разработки функционального пользовательского интерфейса. Другие же математики практикуют его с помощью самых разных техник, которые попадают к ним в руки. Так или иначе, каким бы ни был подход, конечный результат всегда представляет большую ценность.
Заключение
Ни в коем случае я не намекаю на то, что развитие продвинутых математических привычек — занятие совершенно однозначно полезное. В реальном мире многие из этих привычек представляют собой палку о двух концах. Каждый, кто получил вузовское математическое образование, знает человека (или сам был им), который постоянно делает замечания о том, что выражение А не всегда оказывается истинно в особом случае Б, который никто с самого начала рассматривать не собирался. Чтобы понять, когда подобный подход продуктивен, а когда просто бесит окружающих, требуется немало социальной зрелости, которая, в свою очередь, достигается за рамками чисто математических бесед.
Более того, чтобы свыкнуться с необходимостью «всегда быть неправым», часто требуется несколько первых лет полноценной работы. Из-за этого многие студенты, не имеющие поддержки товарищей на том же этапе обучения или хорошего примера для подражания бросают занятия. Карьера математика действительно представляет собой эмоциональные американские горки.
Продолжайте следить за обновлениями блога банковского блокчейн-сервиса Wirex и будьте среди первых, прочитавших наиболее обсуждаемые материалы из зарубежных источников, переведенные специально для пользователей Geektimes.