какой способ решения полного квадратного уравнения используется на практике чаще всего

Теоретический материал по теме «10 способов решений квадратных уравнений»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

10 способов решения квадратных уравнений

В школе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Предлагаю 10.

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида ах 2 + b х + с = 0, где коэффициенты а, в, с- действительные числа, а ≠ 0.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или, с равен нулю.

Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + вх + с обращается в нуль.

Определение 4 . Решить квадратное уравнение — значит найти все его

корни или установить, что корней нет.

Разложение левой части уравнения на множители.

Разложим левую часть на множители:

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

2. Метод выделения полного квадрата двучлена.

Выделим в левой части полный квадрат:

тогда, данное уравнение можно записать так:

3.Решение квадратных уравнений по формулам.

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

Данное уравнение корней не имеет.

4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Чтобы квадратное уравнение привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a ,, тогда

сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

5. Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а b х + ас = 0.

Его корни у ₁ и у ₂ найдем с помощью теоремы Виета и окончательно:

Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

Согласно теореме Виета

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

1. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.

Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

А. Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

Б. Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

Данный метод удобно применять к квадратным уравнениям с большими коэффициентами.

2. Если второй коэффициент уравнения b = 2 k – четное число, то формулу корней можно записать в виде

Формулу ( ) удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем а=1, в =-14, (к=-7),с=-15.

7.Графическое решение квадратного уравнения.

И спользуя знания о квадратичной и линейной функциях и их графиках, можно решить квадратное уравнение так называемым функционально-графическим методом. Причем некоторые квадратные уравнения можно решить различными способами, рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

Пример. Решить уравнение =0

Значит, вершиной параболы служит точка (1;-4), а осью параболы – прямая x=1

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки рис.2

Корнями уравнений являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения

Построим в одной системе координат графики функций и (рис 3 ).

3 способ

Преобразуем уравнения к виду.

Рис.5

Разделим почленно обе части уравнения на x, получим:

Первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида

ах 2 + b х + с = 0, а пятый- только к тем, у которых с не равно нулю.

Графические способы решения квадратных уравнений красивы, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения.

8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.7 ).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

Итак:

1) построим точки (центр окружности) и A (0; 1) ;

2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис 8в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

9. Решение квадратных уравнений с помощью

там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена

Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.), из

подобия треугольников САН и CDF получим

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

2) Решим с помощью номограммы уравнение

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2,

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.12).

Решение представлено на рис 13. где

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой

Преобразуя уравнение, получаем

Источник

Исследовательская работа «Способы решения квадратных уравнений»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Очень полезно решать одну и ту же задачу различными способами. Так мы нарабатываем опыт, умение сравнивать и выбирать рациональные решения, подойти к решению с разных сторон. Квадратные уравнения нам приходится решать очень часто. И это одна из основных тем ОГЭ. В школьной программе нам дают только несколько способов. Стало интересно, какие еще способы есть, какой из способов самый легкий и рациональный. Чем можно заинтересовать одноклассников? Какие способы появились первыми? Изучить и обобщить материал.

Цель исследования: Изучить различные способы решения квадратных уравнений и научиться их применять на практике. Сколькими способами можно решить одно квадратное уравнение. Изучить и познакомить одноклассников.

собрать информацию о различных способах решения квадратных уравнений;

разобрать на примерах;

вывести плюсы и минусы данного способа;

познакомить одноклассников с большим выбором способов.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Методы исследования: сбор и изучение информации, анализ, сравнение и проверка на практике разных способов.

Научиться решать одно и то же квадратное уравнение разными способами.

Определение квадратного уравнения и его виды

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0,

Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю.

Коэффициент а всегда присутствует в квадратном уравнении, а ≠ 0.

Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Я рассмотрел много уравнений. В данной работе представлю приведенное уравнение решенное разными способами.

Способы решения квадратных уравнений

1способ: Решение квадратных уравнений по формуле.

Уравнение вида: ax 2 + bx + c = 0, можно решить по формулам. Число действительных корней уравнения зависит от знака дискриминанта D = b 2 − 4ac

2способ: Решение квадратного уравнения графическим способом.

2)Разделим обе части уравнения на коэффициент а ≠ 0.

4)Построим в одной системе координат графики зависимости:

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи:

прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

3 способ : Решение квадратных уравнений, используя теорему Виета .

4 способ : Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

1 0 Если а + b + с = 0 ( т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х ₁ = 1, х ₂ = с/а.

5 способ: Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки.

6 способ : Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата .

Применяя формулы сокращенного умножения

7способ: Решение квадратных уравнений геометрическим способом

Площади

1) Квадрат со стороной х

2) 2х четыре прямоугольника (х*0,5)

3) достроили до большого квадрата со стороной (1+х) т.е. 0,5+х+0,5

Общая площадь равна +4*0,25=

Проведем окружность с радиусом SA ;

Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0.

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

10 способ : Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу.

В ходе исследовательской работы была проведена работа среди моих одноклассников. В моем классе 22 человека, я познакомил их с презентацией по решению квадратных уравнений разными способами. Мне нужно было выяснить интерес к моей теме, понятность изложения способов и применение в дальнейшем. Большей части класса было сложно понять и закреплять способы на практике они не стали.

Пять одноклассников решились принять участие в тестирование, целью которой было привлечь к изучению математики и выявить, какой способ решения квадратного уравнения рациональнее. С помощью всех методов предложено было решить два уравнения (приведенное и не приведенное). Результаты проверки в таблице.

Решение квадратных уравнений по формуле. Можно применять ко всем квадратным уравнениям, только знать формулы.

Решение квадратного уравнения графическим способом. Наглядный способ, легко увидеть количество корней. Минус способа, когда корни дробные или слишком большие не показать точки пересечения из-за масштаба.

Решение квадратных уравнений, используя теорему Виета. Легко решаются только приведенные уравнения с целыми корнями. Хороший способ для проверки.

Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов. Не все уравнения решаются данным способом.

Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки. Необходимо правильно увидеть как разложить вх на два слагаемых. Развивает логику.

Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата. Необходимо помнить формулы сокращенного умножения. Способ поможет при построение графика квадратичной функции.

Решение квадратных уравнений геометрическим способом. Хороший способ, с помощью площадей. Находим положительные корни.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. Знание формулы нахождения центра. Иметь циркуль. Наглядный способ если корни целые, могут быть неточности.

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Нужно иметь при себе номограмму. Мы находили только положительные корни.

Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу. Хороший способ на будущее при решение уравнений высших степеней. Трудоемкий. Хороший способ для целых корней.

В ходе выполнения данной исследовательской работы мне удалось обобщить изученный материал, провести урок для своих одноклассников. Найти новые способы для себя. Для меня эта работа открыла возможности применять полученные знания и делится со своими сверстниками. Моих одноклассников, пусть и не многих, заинтересовали эти способы. Мне стало понятно почему в школьной программе дают основные способы. Я получил и хорошую практику в наборе математических формул и практику работы в программе Excel по созданию формул. Мне понравился способ выделение полного квадрата и способ используя теорему Безу, эти знания я буду применять не только для решения квадратных уравнений.

Алгебра: 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций/ Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., издательский центр «Вентана_Граф», 2015

Алгебра: 9 класс: учебник для общеобразовательных организаций/ Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., издательский центр «Вентана_Граф», 2014

Источник

Методы решения квадратных уравнений. Формула Виета для квадратного уравнения

Квадратные уравнения часто появляются в ряде задач по математике и физике, поэтому уметь их решать должен каждый школьник. В этой статье подробно рассматриваются основные методы решения уравнений квадратных, а также приводятся примеры их использования.

Какое уравнение называется квадратным

Вам будет интересно: Химические цепочки превращений: примеры и способы решения

Уравнение, в котором a=1, называют приведенным, то есть оно вид имеет: x2 + с/a + (b/a)*x =0.

Какие методы решения уравнений квадратных существуют

В общем случае существует 4 метода решения. Ниже перечисляются их названия:

Вам будет интересно: Каково значение слова «транспарентность»?

Как понятно из приведенного списка, первые три метода являются алгебраическими, поэтому они используются чаще, чем последний, который предполагает построение графика функции.

Существует еще один способ решения по теореме Виета уравнений квадратных. Его можно было бы включить 5-м в список выше, однако, это не сделано, поскольку теорема Виета является простым следствием 3-го метода.

Далее в статье рассмотрим подробнее названные способы решения, а также приведем примеры их использования для нахождения корней конкретных уравнений.

Метод №1. Разложение на множители

Для этого метода в математике квадратных уравнений существует красивое название: факторизация. Суть этого способа заключается в следующем: необходимо квадратное уравнение представить в виде произведения двух членов (выражений), которое должно равняться нулю. После такого представления можно воспользоваться свойством произведения, которое будет равно нулю только тогда, когда один или несколько (все) его членов являются нулевыми.

Теперь рассмотрим последовательность конкретных действий, которые нужно выполнить, чтобы найти корни уравнения:

Вам будет интересно: Коммуникативная методика обучения английскому языку: главные принципы, учебники, результаты, отзывы

Как видно, алгоритм факторизации является достаточно простым, тем не менее, у большинства школьников возникают трудности во время реализации 2-го пункта, поэтому поясним его подробнее.

Чтобы догадаться, какие 2-а линейных выражения при умножении их друг на друга дадут искомое квадратное уравнение, необходимо запомнить два простых правила:

После того, как подобраны все числа множителей, следует выполнить их перемножение, и если они дают искомое уравнение, тогда переходить к пункту 3 в изложенном выше алгоритме, в противном случае следует изменить множители, но делать это нужно так, чтобы приведенные правила всегда выполнялись.

Пример решения методом факторизации

Покажем наглядно, как алгоритм решения уравнения квадратного составить и найти неизвестные корни. Пусть дано произвольное выражение, например, 2*x-5+5*x2-2*x2 = x2+2+x2+1. Перейдем к его решению, соблюдая последовательность пунктов от 1-го до 3-х, которые изложены в предыдущем пункте статьи.

Пункт 1. Перенесем все члены в левую часть и выстроим их в классической последовательности для квадратного уравнения. Имеем следующее равенство: 2*x+(-8)+x2=0.

Пункт 3. Приравниваем каждый множитель нулю, получаем: x=-4 и x=2.

Если возникают какие-либо сомнения в полученном результате, то рекомендуется выполнить проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение. В данном случае имеем: 2*2+22-8=0 и 2*(-4)+(-4)2-8=0. Корни найдены правильно.

Метод №2. Дополнение до полного квадрата

В алгебре уравнений квадратных метод множителей не всегда может использоваться, поскольку в случае дробных значений коэффициентов квадратного уравнения возникают сложности в реализации пункта 2 алгоритма.

Метод полного квадрата, в свою очередь, является универсальным и может применяться для квадратных уравнений любого типа. Суть его заключается в выполнении следующих операций:

Описанный алгоритм может на первый взгляд быть воспринят, как достаточно сложный, однако, на практике его реализовать проще, чем метод факторизации.

Пример решения с помощью дополнения до полного квадрата

Пункт 4. Вычисляем квадратный корень с положительным и отрицательным знаками и находим корни: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5. Два найденных корня имеют значения: x1 = (√59+3)/5 и x1 = (3-√59)/5.

Таким образом, мы показали, что найденные корни уравнения являются истинными.

Метод №3. Применение известной формулы

Этот метод решения уравнений квадратных является, пожалуй, самым простым, поскольку он заключается в подставлении коэффициентов в известную формулу. Для его использования не нужно задумываться о составлении алгоритмов решения, достаточно запомнить только одну формулу. Она приведена на рисунке выше.

В этой формуле подкоренное выражение (b2-4*a*c) называется дискриминантом (D). От его значения зависит то, какие корни получатся. Возможны 3-и случая:

Теорема Виета

Как выше было отмечено, эта теорема является следствием метода №3, который основан на применении формулы с дискриминантом. Суть теоремы Виета заключается в том, что она позволяет связать в равенство коэффициенты уравнения и его корни. Получим соответствующие равенства.

Таким образом, для решения уравнений квадратных по теореме Виета можно использовать полученных два равенства. Если все три коэффициента уравнения известны, тогда корни можно найти путем решения соответствующей системы из этих двух уравнений.

Пример использования теоремы Виета

Обратное применение Виета теоремы, то есть вычисление корней по известному виду уравнения, позволяет для небольших целых чисел a, b и c быстро (интуитивно) находить решения.

Источник

Научная работа «15 способов решения квадратных уравнений»

Ольга Гусарова
Научная работа «15 способов решения квадратных уравнений»

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений

Используются чаще при решении квадратных уравнений:

•Решение квадратных уравнений по полному дискриминанту

•Решение по формуле с четным коэффициентом

•Решение методом выделения полного квадрата

•Теорема Виета (прямая и обратная)

•Разложение на множители способом группировки

•Уменьшение степени уравнения

•Графическое решение уравнений

•Решение способом переброски старшего коэффициента

•Решение квадратных уравнений, с помощью циркуля и линейки.

•Решение с помощью номограммы

•Геометрический способ

Для того, чтобы хорошо решать любое квадратные уравнения необходимо знать:

• формулу нахождения дискриминанта;

• формулу нахождения корней квадратного уравнения;

• алгоритмы решения уравнений данного вида.

• решать неполные квадратные уравнения;

• решать полные квадратные уравнения;

• решать приведенные квадратные уравнения;

Думаю, что моя работа будет интересна всем учащимся 8 классов, а также всем тем, кто хочет научиться решать квадратные уравнения несколькими методами. После изучения темы «Решения квадратных уравнений» планирую показать и вместе с одноклассниками решить кроссворд

Фотоотчет «Экскурсия в музыкальную школу, как один из способов организации НОД с детьми» Дорогие друзья и коллеги, предлагаю Вашему вниманию отчёт по экскурсии для дошкольников в Детскую музыкальную школу имени Н. Римского-Корсакова.

Конспект открытого занятия в подготовительной группе «Научная конференция» Образовательная область: «Познавательное развитие». Интеграция образовательных областей: «Социально – коммуникативное развитие», «Речевое.

Коррекционная работа в старшей группе с ТНР в свете решения ФГОС до с использованием методических приемов Н. Н. Ефименко Вот уже несколько лет я веду кружковую работу по горизонтальному пластическому балету. Ведь не секрет, что дети с задержкой речевого.

Презентация «Научная концепция педагогической деятельности» Научная концепция педагогической деятельности: «Осуществление преемственности между дошкольным образовательным учреждением и школой» Районный.

Научная конференция «По следам древних животных. Мамонт» Конспект интегрированного занятия в подготовительной группе Тема: научная конференция «По следам древних животных. Мамонт». Образовательная.

Научная публикация «Теоретические исследования развития описательной речи дошкольников с использованием игрушки» Теоретические исследования развития описательной речи дошкольников с использованием игрушки. Внимание к вопросам речевого развития мы находим.

Конспект урока математики в 5 классе «Обучение решению задач с помощью уравнений» В рамках ФГОС особое внимание при изучении математики занимают способы организации активного обучения, например, при решении задач с помощью.

Занятие по изобразительной деятельности с использованием нетрадиционных способов рисования h3][/h3]ПРОГРАММНОЕ СОДЕРЖАНИЕ: Задачи: Обучающая: Продолжать закреплять умение выполнять работу в нетрадиционных техниках. Формировать.

Источник