Модуль что это такое в математике 6 класс

Математика. 6 класс

Конспект урока

Противоположные числа. Модуль числа

Перечень рассматриваемых вопросов:

Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными.

Модулем положительного числа называют само это число.

Модулем отрицательного числа называют противоположное ему (положительное) число.

Модулем числа 0 является число 0.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Считается, что если перед целым числом поставить знак «+», то это не изменяет самого числа.

число 7 можно записать как + 7

число – 7 можно записать как + (– 7)

Поэтому ряд целых чисел можно записывать в виде:

…, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, …

Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными.

Например, противоположные числа:

Модуль или абсолютная величина числа.

Разбор заданий тренировочного модуля

№2. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в текст.

Источник

Модуль числа.

Модуль числа вводится новое понятие в математике. Разберем подробно, что такое модуль числа и как с ним работать?

Мы вышли из дома в магазин. Прошли 300 м, математически это выражение можно записать как +300, смысл числа 300 от знака “+” не поменяется. Расстояние или модуль числа в математике это одно и тоже можно записать так: |300|=300. Знак модуля числа обозначается двумя вертикальными линиями.

Свойства модуля.

Определение:
Модуль числа или абсолютная величина числа – это расстояние от отправной точки до точки назначения.

Модуль целого числа не равного нулю, всегда положительное число.

Записывается модуль так:

1. Модуль положительного числа равно самому числу.
|a|=a

2. Модуль отрицательного числа равно противоположному числу.
|-a|=a

3. Модуль нуля, равен нулю.
|0|=0

4. Модули противоположных чисел равны.
|a|=|-a|=a

Вопросы по теме:
Что такое модуль числа?
Ответ: модуль — это расстояние от отправной точки до точки назначения.

У каких чисел одинаковый модуль?
Ответ: у положительных чисел и нуля модуль будет тот же. Например, 15=|15|.

У каких чисел модуль – противоположное число?
Ответ: у отрицательных чисел, модуль будет равен противоположному числу. Например, |-6|=6.

Пример №2:
Существуют ли два различных числа, модули которых равны?

Модули противоположных чисел равны.

Пример №3:
Какие два противоположных числа, имеют модуль 9?

Пример №4:
Выполните действия: а) |+5|+|-3| б) |-3|+|-8| в)|+4|-|+1|

Пример №5:
Найдите: а) модуль числа 2 б) модуль числа 6 в) модуль числа 8 г) модуль числа 1 д) модуль числа 0.
Решение:

а) модуль числа 2 обозначается как |2| или |+2| это одно и тоже.
|2|=2

б) модуль числа 6 обозначается как |6| или |+6| это одно и тоже.
|6|=6

в) модуль числа 8 обозначается как |8| или |+8| это одно и тоже.
|8|=8

г) модуль числа 1 обозначается как |1| или |+1| это одно и тоже.
|1|=1

д) модуль числа 0 обозначается как |0|, |+0| или |-0| это одно и тоже.
|0|=0

Источник

Обобщённое понятие модуля числа

В данном уроке мы рассмотрим понятие модуля числа более подробно.

Что такое модуль?

Модуль — это расстояние от начала координат до какого-нибудь числа на координатной прямой. Поскольку расстояние не бывает отрицательным, то и модуль всегда неотрицателен. Так, модуль числа 3 равен 3, как и модуль числа −3 равен 3

Предстáвим, что на координатной прямой расстояние между целыми числами равно одному шагу. Теперь если отметить числа −3 и 3, то расстояние до них от начала координат будет одинаково равно трём шагам:

Модуль это не только расстояние от начала координат до какого-нибудь числа. Модуль это также расстояние между любыми двумя числами на координатной прямой. Такое расстояние выражается в виде разности между этими числами, заключенной под знак модуля:

Где x₁ и x₂ — числа на координатной прямой.

Например, отметим на координатной прямой числа 2 и 5.

Расстояние между числами 2 и 5 можно записать с помощью модуля. Для этого запишем разность из чисел 2 и 5 и заключим эту разность под знак модуля:

Видим, что расстояние от числа 2 до числа 5 равно трём шагам:

Если расстояние от 2 до 5 равно 3, то и расстояние от 5 до 2 тоже равно 3

То есть, если в выражении |5 − 2| поменять числа местами, то результат не изменится:

Тогда можно записать, что |2 − 5| = |5 − 2|. Вообще, справедливо следующее равенство:

Это равенство можно прочитать так: Расстояние от x₁ до x₂ равно расстоянию от x₂ до x₁.

Раскрытие модуля

Когда мы говорим, что |3|= 3 или |−3|= 3 мы выполняем действие называемое раскрытием модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

В зависимости от того что будет подставлено вместо x, выражение |x| будет равно x, если подставленное число больше или равно нулю. А если вместо x подставлено число меньшее нуля, то выражение |x| будет равно −x.

Второй случай на первый взгляд может показаться противоречивым, поскольку запись |x| = −x выглядит будто модуль стал равен отрицательному числу. Следует иметь ввиду, что когда x

Пример 2. Пусть x = 5. То есть мы рассматриваем модуль числа 5

В данном случае выполняется первое условие x ≥ 0, ведь 5 ≥ 0

Поэтому используем первую формулу. А именно | x | = x. Получаем | 5 | = 5.

Ноль это своего рода точка перехода, в которой модуль меняет свой порядок раскрытия и далее сохраняет свой знак. Визуально это можно представить так:

А если возьмём числа, меньшие нуля, например −3, −9, −15, то согласно рисунку модуль раскроется со знаком минус:

Пример 3. Пусть x = √4 − 6. То есть мы рассматриваем модуль выражения √4 − 6,

Корень из числа 4 равен 2. Тогда модуль примет вид

x который был равен √4−6 теперь стал равен −4. В данном случае выполняется второе условие x |√4 − 6| = |2 − 6| = |−4| = −(−4) = 4

На практике обычно рассуждают так:

«Модуль раскрывается со знаком плюс, если подмодульное выражение больше или равно нулю; модуль раскрывается со знаком минус, если подмодульное выражение меньше нуля».

Примеры:

|2| = 2 — модуль раскрылся со знаком плюс, поскольку 2 ≥ 0

Пример 4. Пусть x = 0. То есть мы рассматриваем модуль нуля:

В данном случае выполняется условие x=0, ведь 0 = 0

Пример 5. Раскрыть модуль в выражении |x|+ 3

Если x ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид x + 3.

Допустим, требуется найти значение выражения |x|+ 3 при x = 5. Поскольку 5 ≥ 0, то модуль, содержащийся в выражении |x|+ 3 раскрóется со знаком плюс и тогда решение примет вид:

Найдём значение выражения |x|+ 3 при x = −6. Поскольку −6 |x| + 3 = 3 − x = 3 − (−6) = 9

Пример 6. Раскрыть модуль в выражении x +|x + 3|

Найдём значение выражения x +|x + 3| при x = 4. Поскольку 4 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения x +|x + 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив 4 получим 11

Найдём значение выражения x +|x + 3| при x=−3.

Пример 3. Раскрыть модуль в выражении

Как и прежде используем правило раскрытия модуля:

В данном примере удобнее использовать подробную запись правила раскрытия модуля, где отдельно рассматривается случай при котором x = 0

Перепишем решение так:

Пример 4. Раскрыть модуль в выражении

Но надо учитывать, что при x = − 1 знаменатель выражения обращается в ноль. Поэтому второе условие x следует дополнить записью о том, какие значения может принимать x

Преобразование выражений с модулями

Модуль, входящий в выражение, можно рассматривать как полноценный множитель. Его можно сокращать и выносить за скобки. Если модуль входит в многочлен, то его можно сложить с подобным ему модулем.

Как и у обычного буквенного множителя, у модуля есть свой коэффициент. Например, коэффициентом модуля |x| является 1, а коэффициентом модуля −|x| является −1. Коэффициентом модуля 3|x+1| является 3, а коэффициентом модуля −3|x+1| является −3.

Пример 1. Упростить выражение |x| + 2|x| − 2x + 5y и раскрыть модуль в получившемся выражении.

Решение

Выражения|x| и 2|x| являются подобными членами. Слóжим их. Остальное оставим без изменений:

В итоге имеем следующее решение:

Пример 2. Раскрыть модуль в выражении: −|x|

Решение

Источник

Что такое модуль числа в математике

Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля — символ, которым это понятие обозначается при написании.

Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль — это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.

Графически абсолютное значение а обозначается как |a|.

Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.

Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.

Геометрическое значение

Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.

Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.

Свойства абсолютной величины

Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:

Особенности решения уравнений с модулем

Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.

К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.

|А + 5| = А + 5, если, А больше или равняется нулю.

5-А, если, А значение меньше нуля.

В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.

Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.

Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.

Источник

Урок 29 Бесплатно Модуль числа

Обратите внимание на картинку.

Для того чтобы узнать тему нашего урока, попробуйте отгадать ребус.

На этом уроке разберемся, что называют модулем числа, раскроем его геометрический смысл, рассмотрим основные свойства модуля, научимся находить модуль числа и применять эти знания при решении задач.

Модуль числа (абсолютная величина)

В переводе с латинского «модуль» (modulus) означает мера, размер.

Считается, что данный термин впервые ввел в пользование английский философ и математик Роджер Котс, друг и ученик Исаака Ньютона.

Многие ученые использовали в своих научных трудах понятие модуль, однако символьное обозначение он приобрел только в конце XIX века.

В 1841 году выдающийся немецкий ученый Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс ввел символьное обозначение модуля числа, которое используют и применяют по сегодняшний день.

В некоторых случаях вместо «модуль числа» говорят: «абсолютная величина», но надо понимать, что это тождественно равные понятия.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Понятие «модуль» используется во многих областях деятельности человека.

Можно сказать, что квартира- это модуль дома, а бетонный блок- модуль здания.

Применение модуля придает строениям, сооружениям и их отдельным частям соизмеримость, единообразную форму, координацию размеров частей здания и комплекса в целом; облегчает установление норм и правил по строительству.

В космонавтике модуль- это автономная управляемая часть космического корабля (например, стыковочный модуль, орбитальный модуль и т.п.).

В радиоэлектронике модуль- это автоматизированный блок, функционально законченный узел радиоэлектронной аппаратуры.

В точных науках и технике модуль служит для названия некоторых коэффициентов и величин (например, модуль упругости, модуль сдвига, модуль сопротивления и другое).

В издательском деле модуль- это шаг сетки, основа расположения полос и разворотов в модульной системе верстки.

В судостроении все более широкое применение находит модульное строение судов и плавучих сооружений.

Блоки секций или блоки судна- типовые повторяющие блоки, так называемые модули, составляют корпус судна.

В программировании модули- это законченные самостоятельные фрагменты программы. Разделение программы на небольшие части- модули, позволяют облегчить программу, так как модуль можно применять повторно, его легче отладить и написать, повышает качество программного кода.

В общем говоря, под модулем часто понимают и представляют исходную единицу измерения, составную часть, служащую мерилом, или самостоятельную часть некоторой системы, часть конструкции

В математике модуль имеет несколько значений. Разберем, что в математике называют модулем числа (абсолютной величиной).

Рассмотрим понятие модуль с геометрической точки зрения.

Вам уже известно, что на координатной прямой мы отмечаем действительные числа, а каждому действительному числу на этой прямой соответствует определенная точка и наоборот, каждой точке на координатной прямой соответствует действительное число.

Точка задается некоторым расстоянием от начала координат.

Длина отрезка от начала координат до точки вмещает в себя определенное количество единичных отрезков координатной прямой.

Длина такого отрезка всегда неотрицательная величина.

Два мяча катнули по одной прямой. Первый мяч откатился вправо от исходной точки на 4 м, второй мяч влево от исходной точки на 6 м.

Изобразим координатную прямую и отметим на ней координаты точек остановки этих двух мячей.

Точка О— это исходная точка мячей- точка начала отсчета.

Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1 метр.

Вправо откладываем координату первого мяча А (+4)

Влево откладываем координату второго мяча В (-6)

Расстояние от точки А до начала отсчета 4 единичных отрезка.

Длина ОА = 4 единичных отрезка.

Расстояние от точки В до начала отсчета 6 единичных отрезков.

Длина ОВ = 6 единичных отрезков.

Расстояние ОА и ОВ называют абсолютной величиной, модулем числа, они всегда положительны.

Таким образом, модулем числа называют расстояние на координатной прямой от начала отсчета до заданной точки (выраженной в единичных отрезках).

Обозначается модуль двумя вертикальными чертами слева и справа от числа | |.

Запись |A| читается как «Модуль А» или «Модуль числа А».

Пример 1

|7|— модуль числа 7

Изобразим координатную прямую, отметим на ней точку с координатой 7

Значит, модуль числа 7 равен самому числу 7

|7| = 7

Пример 2

Изобразим координатную прямую, отметим на ней точку с координатой (-5).

Зная определение модуля числа, мы можем утверждать, что от точки с координатой (-5) до точки начала отсчета О помещается 5 единичных отрезков.

Значит, модуль числа (-5) равен 5

|-5| = 5

Пример 3

|-1|— модуль числа (-1)

В расстояние от точки с координатой (-1) до точки начала отсчета помещается только один единичный отрезок этой прямой, поэтому модуль (-1) равен 1.

|-1| = 1

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Свойства модуля (абсолютной величины)

Рассмотрим некоторые свойства модуля числа.

1. Модуль нуля равен нулю

Так как от нуля до начала отсчета нет никакого расстояния (0 единичных отрезков), модуль нуля и есть нуль.

|0| = 0

2. Модуль числа всегда число неотрицательное (т.е. положительное или нуль)

Мяч катнули вдоль прямой на расстояние, равное 3 м вправо, мяч ударился о стену и покатился вдоль прямой в обратном направлении на 3 м и остановился.

Изобразим на координатной прямой координаты точек в момент каждой остановки мяча.

Точка О на координатной прямой- это точка откуда катнули мяч- точка начала отсчета.

Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1метр.

Можно ли утверждать, что мяч не преодолевал никакого расстояния, оставаясь в исходной точке в состоянии покоя, ведь в конечном счете мяч оказался в точке 0 м (от точки ноль до начала отсчета О не помещается ни одного единичного отрезка)? Конечно же, нет!

Путь мяча был бы равен нулю, если бы его вообще никуда не пинали, и он оставался в состоянии покоя в точке О.

Но мы должны понимать, что путь (расстояние), которое преодолел мяч, состоит из 3 единичных отрезков в правую сторону и 3 единичных отрезков в левую сторону; сложив все единичные отрезки, получим:

3 единичных отрезка + 3 единичных отрезка = 6 единичных отрезков

6 единичных отрезков = 6 м

Для определения пути мы складывали только числовое значение без учета направления. Это числовое значение и есть модуль числа.

Таким образом, можно сказать, что любое число состоит из знака и абсолютного значения (модуля).

Поэтому, чтобы найти модуль числа, нужно записать это число без учета знака.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

В математике для лучшего восприятия темы «Модуль числа» придумали шуточную ассоциацию.

Заходя в баню (оказываясь под знаком модуль), отрицательное число моется, освобождается от знака. Из бани (из под знака модуль) число выходит «чистым»- без знака «минус».

В такой бане могут «мыться» положительные, отрицательные числа и ноль.

3. Модули противоположных чисел равны

Рассмотрим на примере данное утверждение:

Пусть модуль х равен 4, получим равенство |x| = 4

Отметим на координатной прямой точки, которые удовлетворяют этому равенству:

Модул ь- это расстояние от начала отсчета до точки в единичных отрезках, равное в данном случае четырем.

Откладываем 4 единичных отрезка вправо, получаем точку с координатой 4

Но такое же количество единичных отрезков можно отложить влево, тогда получим точку с координатой (-4)

Получим на координатной прямой две точки, которые удовлетворяют условию |x| = 4

В данном примере значение х может быть равным:

х = 4

На координатной прямой противоположные числа, хоть и по разные стороны от точки начала отсчета, но находятся на равных расстояниях от этой точки, т.е. по модулю равны.

4. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел

В буквенном выражении это можно записать так:

5. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа

6. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей

\(\mathbf<\Bigl| \frac\Bigr| = \frac<|x|> <|y|>, y \neq 0>\)(так как на нуль делить нельзя).

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Решение задач с применением модуля числа

Рассмотрим несколько примеров таких задач.

Задача 1

Запишите все числа, имеющие модуль 142.

Решение:

Представим координатную прямую с началом отсчета в точке О

142 единичных отрезка мы можем отложить на координатной прямой вправо и получим точку с координатой 142.

Также 142 единичных отрезка мы можем отложить влево от нуля, в этом случае получаем точку с координатой 142.

На координатной прямой находятся два числа, которые имеют модуль 142, а расстояние до этих точек содержат по 142 единичных отрезка.

|142| = 142

|-142| = 142

Задача 2

Решение:

Для этого найдем модули каждого из них:

|-15| = 15

|-1| = 1

|4| = 4

|7| = 7

Модули чисел получились: 15, 1, 4, 7

Расположим эти числа в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому):

1, 4, 7, 15.

Получаем такую последовательность равенств,

|-1| = 1

|4| = 4

|7| = 7

|-15| = 15

Следовательно, числа в порядке возрастания их модулей должны располагаться так: -1, 4, 7, -15

Задача 3

На координатной прямой отметили две точки -73 и 68. Модуль какого числа больше?

Решение:

Представим, что на координатной прямой на определенном расстоянии от точки О (налала отсчета) отмечены две точки.

Слева от точки начала отсчета расположена точка с координатой -73

Справа от точки начала отсчета расположена точка с координатой 68

Расстояние от точки О до точки с координатой -73 содержит больше единичных отрезков, чем расстояние от точки О до точки с координатой 68 (т.е. координата точки -73 находится дальше от начала координат, чем точка с координатой 68).

Значит, модуль числа -73 больше модуля числа 68

|-73| = 73

|68| = 68

73 > 68, а это значит:

|-73| > |68|

Ответ: |-73| > |68|

Задача 4

Чему равны координаты этих точек?

Чему равен модуль каждой координаты?

Решение:

Построим координатную прямую, за начала отсчета примем точку О

Единичный отрезок равен 1 деление- 1 единица.

На координатной прямой отметим точки А и В

Точка А имеет координату A (-2), так как она отодвинута влево от точки О на расстояние в два единичных отрезка.

Точка В имеет координату В (6), так как она отодвинута вправо от точки О на расстояние в шесть единичных отрезков.

Получили точки с координатами A (-2) и В (6)

Модуль-это расстояние в единичных отрезках от заданной точки до начала отсчета.

|-2| = 2

Модуль 6 равен 6

|6| = 6

Ответ: Модули координат точек A (-2) и В (6) равны 2 и 6 соответственно.

Наверное, вы уже заметили, что значение координат может быть положительным и отрицательным, а модули только положительными.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник