проект по алгебре коды и шифры

Проект по математике «Криптография как метод кодирования и декодирования информации»

Выбранный для просмотра документ Криптография.docx

Муниципальное казенное образовательное учреждение «Средняя школа №5»

городского округа г.Михайловка Волгоградской области.

Криптография как метод кодирования

Выполнили ученики 10 Б класса:

Горбунов М., Смольяков В., Трудников А.

Научиться кодировать информацию с помощью криптографии

Ознакомиться с понятием криптография

Узнать историю возникновения криптографии

Изучить различные методы кодирования информации с помощью криптографии

Закодировать цитату известного человека

В 21 веке, в эпоху новых технологий, у людей пропала приватность. Все телефонные линии прослушиваются, а IP компьютеров и др. устройств с доступом в интернет фиксируются.

Объект исследования: информация

Предмет исследования: шифры

Криптография как наука нужна, используется в настоящее время и будет нужна в будущем.

С математической точки зрения надежность криптографической системы определяется сложностью решения этой задачи с учетом реальных вычислительных ресурсов потенциальной вскрывающей стороны. С организационной точки зрения имеет значение соотношение стоимости потенциального вскрытия и ценности защищаемой информации.

Если раньше основной задачей криптографических систем считалось надежное шифрование информации, в настоящее время область применения криптографии включает также цифровую подпись (аутентификацию), лицензирование, нотаризацию (свидетельствование), распределенное управление, схемы голосования, электронные деньги и многое другое.

Желательно, чтобы методы шифрования обладали минимум двумя
свойствами:
— законный получатель сможет выполнить обратное преобразование и
расшифровать сообщение;

— криптоаналитик противника, перехвативший сообщение, не сможет
восстановить по нему исходное сообщение без таких затрат времени
и средств, которые сделают эту работу нецелесообразной.

Тайнопись практиковалась еще на заре цивилизации. Когда греки, жившие в Персии, услышали, что царь Дарий хочет вторгнуться на Пелопонесский полуостров, они выцарапали на доске тревожную весть и сверху наложили гладкий слой воска. Получилась восковая пластина, на ней написали безобидный текст и отправили в Спарту. Георгия, жена спартанского царя Леонида, догадалась, что блестящая восковая исписанная поверхность скрывает что–то важное. Она соскоблила воск и обнаружила послание, которое предупредило греков о готовившемся нападении.

Развитие химии дало более удобное средство- симпатические чернила, записи которыми не видны до тех пор, пока бумагу не нагреют или не обработают каким-либо химикатом.

Долгое время занятие криптографией было уделом чудаков-одиночек. Этот период развития криптографии как искусства длился с незапамятных времен до начала ХХ в., когда появились первые шифровальные машины. Понимание математического характера решаемых криптографией задач пришло только в средине ХХ в. — после работ выдающегося американского ученого К. Шеннона.
История криптографии связана с большим количеством дипломатических и военных тайн и окутана туманом легенд.

Свой след в истории криптографии оставили многие хорошо известные исторические личности. В том числе кардинал Ришелье, король Генрих, IV Петр Великий и др.

Источник

Проект по алгебре коды и шифры

В процессе работы над индивидуальным исследовательским проектом по математике на тему «Шифры и математика» автором была поставлена цель, изучить применение основ математики в криптологии и криптографии. В своем проекте учащийся школы выясняет, что такое шифр, какие виды шифра существуют и какое они имеют отношение к математике.

Подробнее о работе:

Учебная исследовательская работа по математике на тему «Шифры и математика» будет интересна учащимся 10 и 11 класса, представляет собой изучение истории криптографии, знакомит с разными видами шифров, рассматривает способы шифрования, применяющие математику, и приводит примеры на шифровку и дешифровку текста.

Оглавление

Введение
1. Виды шифров.
1.2 Шифры замены.
1.3 Шифры перестановки.
2. Применение одного из видов шифрования на примере шифра Цезаря.
3. Пример дешифровки шифра Цезаря.
4. Дешифровка на примере книжного шифра.
Заключение
Список использованной литературы

Введение

Цель проекта: изучить применение основ математики в криптологии и криптографии.

Актуальность: Данная проблема актуальна в наше время, так как криптография и стеганография востребованы повсеместно из-за потребности в сокрытии важных данных и информации от третьих лиц.

Продукт проекта: Буклет, в котором дана краткая информация о шифрах и их применении на практике.

Виды шифров

Криптология — учение об искусстве секретности и наука о методах шифрования и расшифровывания и их проектировании.

В свою очередь, Криптография — практический способ применения методов шифрования.

А Шифр – какая-либо система преобразования текста с секретом для обеспечения секретности передаваемой информации.

В современном обществе шифры применяются для тайной переписки дипломатических представителей со своими правительствами, в вооруженных силах для передачи текста секретных документов по техническим средствам связи, банками для обеспечения безопасности транзакций, а также некоторыми интернет-сервисами.

Помимо того, как зашифровать сообщение, необходимо найти способ его расшифровать. Методы чтения шифров и зашифрованных текстов изучает наука «криптоанализ».

Несмотря на то, что методы криптографии и криптоанализа до недавнего времени были не очень тесно связаны с математикой, математики всегда участвовали в расшифровке важных сообщений. И зачастую именно они добивались заметных успехов, ведь математики в своей работе постоянно имеют дело с разнообразными сложными задачами, а каждый шифр — это серьезная логическая задача. Постепенно роль математических методов в криптографии стала возрастать, и за последнее столетие они существенно изменили эту древнюю науку.

Шифры замены

Наиболее простейшими из криптографических шифров являются шифры замены или подстановки, когда одни символы сообщения заменяются другими символами, согласно некоторому правилу.

Гай Юлий Цезарь (100 или 102 до н. э. – 44 до н. э.) – древнеримский государственный и политический деятель, диктатор, полководец, писатель. Хотя Цезарь был первым зафиксированным человеком, использующим эту схему, другие шифры подстановки, как известно, использовались и ранее. Его племянник, Август, также использовал этот шифр, но со сдвигом вправо на один, и он не повторялся к началу алфавита.

Обратите внимание на строки 4 и 7. В них содержится слово до шифровки и его шифр. Легко дать математическое описание шифра замены. Пусть A= – множество букв алфавита и знаков препинания,

Число таких отображений равно 1×2×3×…×35 = 35!

Это число примерно равно 1040. Иметь дело с произвольными отображениями f не слишком удобно: запомнить такое отображение трудно, а хранить при себе таблицу отображения – «ключ» шифра – нежелательно. Лучше иметь какое-нибудь простое правило, позволяющее по x найти f (x). А такие правила дают методы математики.

Шифры перестановки

Типичным и древнейшим примером шифра перестановки является шифр «Сциталь». Этот шифр известен со времен войны Спарты и Персии против Афин. Спартанский полководец Лисандр подозревал персов в возможной измене, но не знал их тайных планов. Его агент в стане персов прислал шифрованное сообщение, которое позволило Лисандру опередить персов и разгромить их.

Шифрованное сообщение было написано на поясе официального гонца от персов следующим образом: агент намотал пояс на сциталь (деревянный цилиндр определенного диаметра) и написал на поясе сообщение вдоль сциталя; потом он размотал пояс, и получилось, что поперек пояса в беспорядке написаны буквы. Гонец не догадывался, что узор на его красивом поясе на самом деле содержит зашифрованную информацию.

Лисандр взял сциталь такого же диаметра, аккуратно намотал на него пояс и вдоль сциталя прочитал сообщение от своего агента. Например, если роль сциталя выполняет карандаш с шестью гранями, то открытый текст «КРИПТОГРАФИЯ» может быть преобразован в шифртекст «РПОРФЯКИТГАИ». Шифртекст может быть и другим, так как он зависит не только от диаметра карандаша. Для реализации такого шифра использовалась специальное шифрующее устройство.

По описанию Плутарха (род. до 50 — ум. после 120 гг. н. э.), оно состояло из двух палок одинаковой длины и толщины. Одну оставляли себе, а другую отдавали отъезжающему. Эти палки называли сциталами. Когда правителям нужно было сообщить какую-нибудь важную тайну, они вырезали длинную и узкую, вроде ремня, полоску папируса, наматывали ее на свою сциталу, не оставляя на ней никакого промежутка, так чтобы вся поверхность палки была охвачена полосой. Затем, оставляя папирус на скитале в том виде, как он есть, писали на нем все, что нужно, а написав, снимали полосу и без палки отправляли адресату.

Так как буквы на ней разбросаны в беспорядке, то прочитать написанное он мог, только взяв свою скиталу и намотав на нее без пропусков эту полосу. Аристотелю (384 до н. э. – 322 до н. э.) принадлежит способ дешифрования этого шифра. Надо изготовить длинный конус и, начиная с основания, обертывать его лентой с шифрованным сообщением, сдвигая ее к вершине. В какой-то момент начнут просматриваться куски сообщения.

Источник

Проект по математике «Шифры и математика»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №2» По секрету всему свету Авторы: учителя математики Истомина Н. П. г. Вилючинск – 2012 –

Тема проекта Шифры и математика

Краткая аннотация проекта Настоящий проект направлен: на поиск учащимися способов шифрования текстовой информации. В рамках проекта учащиеся: исследуют исторические материалы по теме; изучают известные способы шифрования текстовой информации; создают собственные шифры ; делятся полученными в ходе исследования новыми знаниями с другими учащимися; разрабатывают дидактические материалы.

Краткая аннотация проекта После завершения проекта учащиеся смогут: перечислить и раскрыть основные понятия криптографии; назвать основные типы шифров; решать несложные задачи по шифровке и дешифровке текстовой информации; использовать знания некоторых областей математики и информатики для шифрования текстовой информации.

Задачи: Овладение культурой устной речи, универсальными способами деятельности (извлечение информации из различных источников, включая СМИ и Интернет; информационная переработка текста); Научить обрабатывать и обобщать полученную информацию; Воспитание интеллектуальной корректности, критичности мышления, способности различать обоснованные и необоснованные суждения, приучение к продолжительной умственной деятельности; Научить использованию современных технологий для оформления результатов исследований.

Сроки проведения проекта 10 недель Ход реализации: изучение литературы по теме проекта; поиск материала в сети Интернет; создание презентации; создание буклета; защита проекта.

Учебные предметы Математика Информатика История Участники проекта Обучающиеся 8 класса

Основополагающий вопрос А сможет ли человечество прожить без секретов и тайн? Проблемные вопросы Зачем нужны секреты? Кто начал создавать шифры? Как сохранить и защитить информацию?

Темы проектов Матричный способ кодирования и декодирования информации Тайнопись и самосовмещение квадрата Знаменитые личности и криптография

Формы представления учащимися результатов исследования Презентации Буклет Кроссворд Стенгазета и др.

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Номер материала: ДБ-694036

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Глава Рособрнадзора проведет встречу с родителями школьников

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки обяжет НИИ и вузы ставить на учет договоры о международном сотрудничестве

Время чтения: 2 минуты

Преподаватель пермского вуза продолжал вести лекцию при нападении

Время чтения: 2 минуты

Студент устроил стрельбу в Пермском государственном университете

Время чтения: 1 минута

Организации допобразования для детей получат субсидии на компенсацию затрат

Время чтения: 1 минута

В пяти регионах России протестируют новую систему оплаты труда педагогов

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Исследовательская работа «Шифры и математика»

Шифры и математика

Шарифова Мадина Хасановна

МБОУ «Новобайбатыревская СОШ»,

Яльчикский район, 8 класс

Быкова Тамара Анатольевна,

учитель математики и физики

МБОУ «Новобайбатыревская СОШ»,

Каждый из нас смотрел сериалы: «Приключения Шерлока Холмса и Доктора Ватсона», «Семнадцать мгновений весны», где использовались зашифрованные тайные сообщения. А также мы все слышали про какие-то шифры или хотя бы раз в своей жизни каждый человек хотел зашифровать свои записи, сделать их понятными лишь немногим, тем более в наши дни, в век компьютеризации.

Шифр – какая-либо система преобразования текста с секретом для обеспечения секретности передаваемой информации. Криптография – одна из старейших наук, изучающая шифры. Проблема защиты информации путём её преобразования, исключающего её прочтение посторонним лицам, волновала человеческий ум с давних времён. Как только люди научились писать, у них сразу же появилось желание сделать написанное понятным не всем, а только узкому кругу людей. Даже в самых древних памятниках письменности учёные находят признаки намеренного искажения текстов.

В современное же время шифры применяются для тайной переписки дипломатических представителей со своими правительствами, в вооруженных силах для передачи текста секретных документов по техническим средствам связи, банками для обеспечения безопасности транзакций, а также некоторыми интернет-сервисами по различным причинам.

Криптография, а именно методы шифрования и расшифровки информации вызвала у меня большой интерес. Возможность преобразовать текст так, чтобы никто не понял прочитанного кроме тебя – очень увлекательна. Именно поэтому я выбрал столь сложную, но с другой стороны интересную для меня тему. Эта тема меня очень заинтересовала, и возник вопрос, причем здесь математика? Как знания математики помогают в шифровании. Я решила более подробно рассмотреть этот вопрос.

Актуальность темы я вижу в том, что независимо от сферы деятельности человека тайнопись, шифры, кодовые слова и условные знаки могут понадобиться каждому в любой момент. Общаясь с помощью шифров (тайного письма), граждане и должностные лица обезопасят себя от аферистов и других злоумышленников.

Объект исследования: шифры – как серьезные логические задачи

Предмет исследования: математические идеи и методы и их применения в кодировании и шифровании.

Цель научно-исследовательской работы: узнать, как давно люди пользуются шифрами и кодами, изучение особенности секретного письма и приемов его создания.

Для достижения цели были поставлены конкретные задачи:

— изучить литературу по теме;

— узнать, что такое тайнопись;

— выявить какие бывают способы и средства шифрования;

— рассмотреть некоторые известные шифры;

— показать некоторые связи между математикой и шифрованием;

— составить собственный шифр или код, и показать его использование.

Для реализации поставленных задач были использованы следующие методы исследования: поисковый, описательный, анализ имеющихся кодов и шифр, метод анализа и обобщения.

Первые шифры были не очень сложными. Например, русские дипломаты ΧV-XVI веков применяли так называемую «тарабарскую грамоту», или как её ещё называли «хитрую лотерею», в которой все гласные буквы оставались неизменными, а согласные заменялись одна другой по следующей схеме (Приложение 1). (В первой строке согласные идут в обычном порядке, а во второй строке – в обратном). Например, вместо «Великий государь» получалось «Шеситий чолуцамь».

Поскольку в каждом шифре применяют конечное число различных знаков, то их можно перенумеровать и вместо самих знаков использовать их номера. Будем для простоты рассматривать шифры, в которых нет избыточности. Тогда число знаков равно числу букв в алфавите плюс знаки, обозначающие пробел между словами, точку, запятую, тире. Для русского языка можно обойтись 35 знаками: 31 буква (е,ё, а также ь, ъ не различаются), пробел, точка, запятая, тире. При шифровании каждая буква или знак заменяются иной буквой или знаком. Но вместе букв и знаков можно брать соответствующие им числа. Тогда шифрование сведётся к тому, что вместо одних чисел, соответствующих исходной букве или знаку, надо взять другое число. Например, напишем такую таблицу (рисунок 2). В таблице показано (жирным курсивом), каким числом заменяется каждое из 35 чисел. Слово «стол» теперь зашифруется так: сначала записывается это слово числами 18, 19, 15, 12. А теперь смотрим в нашу таблицу и видим, что числу 18 соответствует число 10, то есть буква «й», числу 19- число31, то есть буква «я», числу 15 число 20, то есть буква «у», а числу 12-число 6, то есть буква «е». Получаем слово «йяуе». Попробуйте догадаться, что оно означает «стол»! Но запомнить наизусть такую таблицу, чтобы пользоваться ею при шифровании, очень трудно, а хранить её при себе по понятным причинам весьма нежелательно. Лучше иметь простое правило, позволяющее для каждого числа находить соответствующее ему число. А такие правила дают методы математики: ведь нет ничего лучшего для распутывания всяких сложностей, чем использование математических методов.

Математика издавна применялась в теории шифров. Еще в конце XVI века расшифровкой переписки между противниками французского короля Генриха Ш занимался один из создателей современной алгебры Франсуа Виет. А английские монархистские заговорщики в XVII веке поражались быстроте, с которой Кромвель проникал в их замыслы. Они думали, что используемые ими шифры невозможно разгадать, и считали, что ключи к ним выдал кто-то из участников заговора. Лишь после падения республики и воцарения Карла II узнали, что все эти шифры разгадывал один из лучших математиков того времени профессор Оксфордского университета Валлис, который считал себя основателем новой науки – криптографии.

Кроме замены букв другими буквами или числами, применяются методы шифрования, основанные на перестановке букв. Например, можно поступить следующим образом. Возьмём квадратную таблицу с чётным числом строк и столбцов. Если поворачивать её вокруг центра на 90˚, клетки будут переходить одна в другую. На рисунке (а) ( в приложении рисунок 3) клетки, входящие в одну и ту же орбиту, обозначены одним и тем же номером. А теперь выбираем произвольным образом в каждой орбите по одной клетке и вырежем выбранные клетки. Получиться решетка (рис.б). Если мы хотим зашифровать сообщение, то накладываем решетку на бумагу и вписываем в «окошки» по порядку буквы сообщения. Потом поворачиваем решетку вокруг центра на 90˚ и вписываем продолжение сообщения в открывшиеся окошки. Продолжаем таким же образом заполнять таблицу, записываем весь текст. А теперь достаточно записать получившееся сообщение по строкам, чтобы его было весьма трудно прочесть.

Например, из предложения «Приходите завтра вечером к семи часам. Иван» с помощью решетки, показанной на рисунке б, получается «печарзасрвиаохммтокирдсиасвевантечен».

Конечно, получатель сообщения должен для расшифровки знать таблицу, с помощью которой шифровали послание. Он записывает сообщение в виде таблицы, накладывает на него решетку и читает часть текста. Потом поворачивает решетку и продолжает так делать, пока не прочтёт зашифрованное письмо. Возникает естественный вопрос: а как же ему запомнить эту решетку? Ведь держать её при себе нежелательно. Но здесь на помощь приходит двоичная система счисления. Заменим выделенные клетки на рисунке б единицами, а белые – нулями. Получим такие записи: 100000, 001010, 010001, 000101, 000000, 010010. Но в двоичной системе счисления запись 100000 означает число 32, запись001010 – число 10, 010001 – число 17, 000101 – число 5, 000000 – число 0 и 010010 – число 18. Так что запомнить надо только шесть чисел: 32, 10, 17, 5, 0, 18. По ним нужная решетка мгновенно восстанавливается.

Ещё более сложные шифры можно получить, комбинируя, например, метод решетки с тарабарской грамотой. Но и они не составят большой загадки для опытного дешифровальщика.

В течение жизни шла борьба изобретателей всё новых шифров с разгадывателями этих шифров. Во время второй мировой войны этой работой занимались лучшие математики воюющих стран. Например, одним из лучших дешифровальщиков в Англии был известный математик Алан Тьюринг. В то время ещё не было быстродействующих вычислительных машин, но Тьюринг понял, что такие машины были бы хорошими помощниками в его занятиях. Сейчас для шифровки и расшифровки широко используется электронная техника, многие глубокие математические теории.

Если подсчитать для каждого знака частоту, с которой он встречается, то можно судить, что этот язык означает. Например, знак, попадающийся чаще всего, имеет много шансов оказаться пробелом или буквой «О». Можно изучать и комбинации соседних знаков – чаще всего рядом с гласной буквой стоит согласная. Даже не в слишком длинном тексте можно без труда отделить знаки для согласных букв от знаков для гласных. Такие соображения облегчают разгадку кодов, основанных на простой замене букв знаками.

Чтобы усложнить разгадку, применяют шифры «по книге»: числа кода означают номера строк и букв на определённой странице некоторой книги, причём номер страницы можно менять в зависимости от даты составления послания. Не зная, какая это книга, раскрыть тайну кода очень трудно.

Классические шифры. Хотя некоторые зашифрованные тексты находят при изучении самых древних цивилизаций, достоверно описанные способы шифрования дошли до нас только от античных времён. Например, в древней Спарте было изобретено специальное устройство для шифрования текстов – сцитала (рисунок 5). Сцитала представляла собой стержень, на который плотно, виток к витку наматывали ленту, затем на ней писали текст, располагая его вдоль оси стержня. Когда ленту снимали с цилиндра, на ней оставалась цепочка букв, на первый взгляд, совершенно беспорядочная. У получателя шифровки (рисунок 6) был такойже цилиндр, на который он наматывал полученную ленту, после этого текст опять становился понятным.

Другой известный с античности шифр называется по имени древнеримского императора Гая Юлия Цезаря, который любил его применять, шифром цезаря. Это шифр (рисунок 7) тоже был устроен очень просто: каждая буква алфавита заменялась на другую, стоящую в алфавите на 3 места дальше.

Пример 1: Шифр, в котором одни буквы заменяются другими. Таблица перекодировки:

Исходный текст: Жил-был у бабушки серенький козлик

Зашифрованный текст: Шыр-пир ю пяпюжгы зэлэмгый гёсрыг

Пример 2: Шифр, в котором каждой букве соответствует ее порядковый номер в алфавите. Букве А соответствует 1, букве Б – 2 и так далее.

Исходный текст: МАТЕМАТИКА Зашифрованный текст: 14 1 20 6 14 1 20 10 12 1

Пример 3: Шифр, в котором меняются местами слоги: первый со вторым, третий с четвертым и т.д. Исходный текст: Очевидность – постоянный враг точности

Зашифрованный текст: Чеоновидсть – топосныйян гарв ноточести

Пример 4: Шифр, в котором после каждого слога добавляется какое-то сочетание букв (дополнительный слог). Например, добавим слог “Пи”. Исходный текст: Математика – царица наук. Зашифрованный текст: Пимапитепимапитипика – пицапирипица пинапиук

Задачи: Задание 1. На рисунке вы видите панель телефона. С помощью цифр зашифровано слово. Чтобы расшифровать его, нужно вместо каждой цифры написать одну букву соответствующей клавиши. Например, 4161755 расшифровывается словом «марафон» (см. рисунок 8). Пользуясь этим шифром, расшифруйте пословицы:

123 5174 414 123 674; 222 7562592, 614 3 742592;

1 74553 126222 – 7415634 75369, 1 1 247553 – 3 6153 616626069;

865 40204 553241289, 62 3 614 554781289. Ответ: «Без наук как без рук»; «Где хотенье, там и уменье»; «В умной беседе – ума прикупить, а в глупой – и свой растерять»; «Что людям пожелаешь, то и сам получаешь».

Задание 2. Клоун услышал о том, что для передачи секретных сообщений иногда буквы шифруют, т. е. заменяют цифрами. Он решил тоже зашифровать буквы, чтобы рассказать публике «секретную» сказку. Первую букву А он зашифровал цифрой 1,вторую букву Б – цифрой 2, и т. д. Зашифровав девятую букву цифрой 9, клоун запнулся. Ведь осталась только цифра 0, а буквы с нулевым номером нет. « Ничего, обойдусь и этими!- подумал клоун.- И из них немало слов получиться».

Я считаю, что шифры – это одна из самых интересных и актуальных тем. Шифры использовались, используются и будут использоваться, т.к. они необходимы во многих областях и помогают людям решить те или иные логические задачи. Шифрование постоянно открывается обществу, т.к. были созданы системы, которые прогрессивнее предыдущих и позволяют разрешать серьезные задачи.

Литература и источники информации

Источник