в каком четырехугольнике диагонали перпендикулярны

math4school.ru

Четырёхугольники

Основные определения и свойства

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼ (AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.

Описанные четырёхугольники

Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

Площадь описанного четырёхугольника:

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

Площадь описанного четырёхугольника:

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

∠AOB+∠COD = ∠BOC+∠AOD =180°.

Вписанные четырёхугольники

Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Площадь вписанного четырёхугольника:

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠A +∠ B =∠ B +∠ C =∠ C +∠ D =∠ A +∠ D =180°.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

Площадь параллелограмма можно определить:

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

Площадь ромба можно определить:

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

Площадь прямоугольника можно определить:

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:

Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

У равнобокой трапеции:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Площадь трапеции можно определить:

Дельтоид

Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

Ортодиагональные четырёхугольники

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

Источник

Диагонали прямоугольника перпендикулярны?

Кроме того, какие 7 типов четырехугольников?

Таким образом, диагонали трапеции перпендикулярны? Освободи Себя диагонали, впрочем, тоже важны. В диагонали равнобедренный трапеция не обязательно будет перпендикуляр как в ромбах и квадратах. Однако они совпадают.

Пентагон параллелен или перпендикулярен?

У правильного пятиугольника нет ни параллелей, ни перпендикуляров. стороны, но неправильный пятиугольник может иметь параллельный и перпендикулярный стороны. Все зависит от многоугольника.

Равны ли диагонали трапеции?

Диагонали Он равный только в частном случае трапеция под названием трапеция (или равнобедренный трапеция). Это характерное свойство трапеция, что диагонали Он равный. Не обязательно, чтобы диагонали всех видов трапеция Он равный.

Прямоугольник перпендикулярен?

Что такое перпендикулярный пример?

Есть ли у трапеций перпендикулярные линии?

Итак, это ответ на ваш вопрос: да, некоторые трапеции имеют перпендикулярные стороны. Если вы используете определение А, это абсолютно не трапеция, потому что и две пары параллельных стороны. Однако, если вы используете определение B, имея две пары параллельных стороны хорошо.

Какие бывают четырехугольники?

В каких четырехугольниках диагонали равны?

Что такое перпендикулярная линия?

Какие фигуры не имеют параллельных линий?

A четырехугольник у которого нет параллельных сторон. А трапеция определяется свойствами, которых у него нет.

Воздушный змей перпендикулярен?

Есть ли у звезды параллельные линии?

Его диагонали образуют звезда. 2. Это is замкнутый многоугольник с двумя прямыми углами. Это и одна пара параллельные стороны.

Параллелограмм перпендикулярен?

Параллелограмм четырехугольники, противоположные стороны которых параллельны, но смежные стороны не параллельны перпендикуляр.

Освободи Себя перпендикуляр биссектриса стороны треугольник это линия перпендикуляр в сторону и проходя через его середину. Три перпендикуляр биссектрисы сторон треугольник встречаются в одной точке, называемой центром описанной окружности. Точка пересечения трех или более линий называется точкой параллелизма.

Формы Он параллельно, если они есть строки, которые всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, никогда не пересекаются и не касаются друг друга. Некоторый формы с параллельными сторонами включают параллелограмм, прямоугольник, квадрат, трапецию, шестиугольник и восьмиугольник. Трапеция и одна пара параллельные стороны.

Всегда ли диагонали параллелограмма перпендикулярны?

Проблема 1: противоположные стороны параллелограмм одновременно параллельны и конгруэнтны. В диагонали параллелограмма иногда совпадают. В диагонали ромба всегда перпендикулярно. Последовательные углы a параллелограмм никогда не дополняют друг друга.

Как показать две стороны параллельно?

Освободи Себя во-первых, если что собой представляет соответствующие углы, что собой представляет углы, которые находятся на что собой представляет одинаковый угол на каждом пересечении, равны, то что собой представляет линии параллельно. Освободи Себя во-вторых, если что собой представляет альтернативные внутренние углы, что собой представляет углы, которые находятся на противоположных стороны of что собой представляет поперечный и внутренний параллель линии, равны, то что собой представляет линии параллельно.

Шестиугольник параллелен или перпендикулярен?

Потому что шестиугольник имеет четное количество сторон, в правильном шестиугольник, противоположные стороны параллельно.

Что означает диагонали, разделенные пополам?

В любом параллелограмме диагонали (линии, соединяющие противоположные углы) Bisect друг с другом. То есть каждый диагональ другой разрезает на две равные части. На рисунке выше перетащите любую вершину, чтобы изменить форму параллелограмма и убедиться, что это так.

Что означают параллельные прямые?

Диагонали четырехугольника перпендикулярны?

Делают ли диагонали прямоугольника пополам под углом 90?

Каждый из внутренних углов прямоугольник is 90°, в результате чего сумма внутренних углов равна 360 °. В диагонали в А прямоугольник пополам друг с другом. Противоположные стороны прямоугольник параллельны. Противоположные стороны прямоугольник равны.

Делают ли диагонали прямоугольника пополам под углом 90?

A прямоугольник имеет две пары параллельных противоположных сторон и четыре прямых угла. Это также параллелограмм, так как у него две пары параллельных сторон.

Есть ли у ромба перпендикулярные линии?

Какая диагональ у ромба?

В любой ромб, диагонали (линии, соединяющие противоположные углы) делят друг друга пополам под прямым углом (90 °). То есть каждый диагональ разрезает остальные на две равные части, а угол их пересечения всегда равен 90 градусам.

Есть ли у ромба перпендикулярные стороны?

Есть ли в семиугольнике параллельные линии?

Правильный двенадцатигранник (12 стороны) Будет иметь шесть пар параллельные стороны, но правильный трехугольник (13 стороны) Будет иметь нет параллельные стороны.

Могут ли стороны ромба иметь перпендикулярные стороны?

В любой ромб, диагонали (линии, соединяющие противоположные углы) делят друг друга пополам под прямым углом (90 °). То есть каждый диагональ разрезает остальные на две равные части, а угол их пересечения всегда равен 90 градусам.

Сколько параллельных линий у трапеции?

Сколько пар параллельных линий вы видите? Верх и низ параллельны друг другу, как и две стороны. Поскольку у него две пары параллельных линий, а у трапеции должна быть только одна, это не трапеция.

Есть ли у параллелограмма перпендикулярные стороны?

Источник