в каком случае число b кратно числу a
Мерзляк 6 класс — § 1. Делители и кратные
Вопросы к параграфу
1. В каком случае число b:
1) является делителем числа а
Число b является делителем числа а, если число а нацело делится на число b.
2) кратно числу а
Число b кратно числу а, если число b нацело делится на число а.
2. Какое число является делителем любого натурального числа?
Число 1 является делителем любого натурального числа, так как любое натуральное число делится нацело на число 1.
3. Какое число является наибольшим делителем натурального числа а?
Само число а является наибольшим делителем натурального числа а, так как любое число а делится нацело делится на тоже самое число а.
4. Какое число является наименьшим кратным натурального числа а?
Само число а является наименьшим кратным натурального числа а, так как любое число а делится нацело на число а.
5. Сколько существует кратных данного натурального числа а?
Существует бесконечно много чисел кратных данного натурального числа а.
Решаем устно
1. Вычислите:
2. Чему равно частное при делении 54 на 9?
Ответ: частное равно 6.
3. Чему равен делитель, если делимое равно 98, а частное — 7?
98 : х = 7
х = 98 : 7
х = 14
Ответ: делитель равен 14.
4. Чему равно делимое, если делитель равен 24, а частное — 5?
х : 24 = 5
х = 5 • 24
х = 120
Ответ: делимое равно 120.
Упражнения
1. Верно ли утверждение:
2. Какие из чисел 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 30 являются:
1) делителями 24
2, 3, 4, 6, 8, 12, так как 24 делится на эти числа нацело.
2) кратными 6
3) делителями 20 и 24
2 и 4, так как и число 20, и число 24 нацело делятся как на 2, так и на 4.
4) делителями 24 и кратными 4
4, 8, 12, так как они делятся нацело на 4 и, при этом, на них нацело делится число 24.
3. Чему равняется:
1) наибольший делитель числа 19 735
2) наименьший делитель числа 19 735
3) наименьшее кратное числа 19 735
4. Запишите все делители числа:
5. Запишите все делители числа:
6. Запишите пять чисел, кратных числу:
7. Запишите четыре числа, кратных числу:
8. Из чисел 28, 36, 48, 64, 92, 100, 108, 110 выпишите те, которые:
1) кратны 4:
28, 36, 48, 64, 100, 108.
2) не кратны 6:
9. Известно, что сумма натуральных чисел а и b делится нацело на 5. Верно ли, что:
1) каждое из чисел а и b делится нацело на 5 — нет, неверно .
Например: если а + b = 10, то:
Это значит, что первоначальное утверждение неверно.
2) одно из чисел делится нацело на 5, а другое — нет — нет, неверно.
Например: если а + b = 15 и а = 10, то:
Это значит, что первоначальное утверждение неверно.
Ответ проиллюстрируйте примерами.
10. Известно, что каждое из чисел а и b не делится нацело на 3. Верно ли, что их сумма также не делится нацело на 3?
Нет, неверно, бывают случаи когда а и b не делятся на 3, а их сумма — делится на 3. Например:
Это значит, что первоначальное утверждение неверно.
11. Запишите все числа, являющиеся делителями каждого из чисел:
12. Запишите все числа, являющиеся делителями каждого из чисел:
13. Запишите какое-либо число, кратное каждому из чисел:
14. Запишите какое-либо число, кратное каждому из чисел:
15. Запишите:
1) все двузначные числа, кратные 19:
2) все трёхзначные числа, кратные 105:
105, 210, 315, 420, 525, 630, 735, 840, 942.
16. Запишите все двузначные числа, кратные 23.
17. Запишите все значения х, кратные числу 4, при которых верно неравенство 18 20, 24, 28, 32.
18. Запишите все значения х, кратные числу 6, при которых верно неравенство 25 30, 36, 42, 48, 54.
19. Запишите все значения х, являющиеся делителями числа 80, при которых верно неравенство 7 8, 10, 16, 20.
20. Запишите все значения х, являющиеся делителями числа 98, при которых верно неравенство 14 49
21. Найдите число, кратное числам 9 и 11, которое больше 100. Сколько существует таких чисел?
Например, число 198 кратно и числу 9, и числу 11.
Таких чисел существует бесконечно много.
22. Найдите число, кратное числам 9 и 12, которое меньше 100. Сколько существует таких чисел?
Подходят числа 36 и 72 — всего 2 числа.
23. Верно ли утверждение:
1) если число а кратно 6, то оно кратно 3
Да, утверждение верно. Например:
2) если число а кратно 3, то оно кратно 6
Нет, утверждение неверно. Например:
3) если число а кратно числам 3 и 4, то оно кратно 12
Да, утверждение верно. Например:
4) если число а кратно числам 4 и 6, то оно кратно 24
Да, утверждение верно. Например:
Ответ проиллюстрируйте примерами.
24. Найдите три натуральных числа, для которых кратным будет число:
1) 65
Найдём числа, для которых кратным будет число 65:
а • 1 = 65
а = 65 : 1
а = 65 — первое число, кратным которого является число 65.
а • 5 = 65
а = 65 : 5
а = 13 — второе число, кратным которого является число 65.
а • 13 = 65
а = 65 : 13
а = 5 — третье число, кратным которого является число 65.
2) 121
Найдём числа, для которых кратным будет число 121:
а • 1 = 121
а = 121 : 1
а = 121 — первое число, кратным которого является число 121.
а • 11 = 121
а = 121 : 11
а = 11 — второе число, кратным которого является число 121.
а • 121 = 121
а = 121 : 121
а = 1 — третье число, кратным которого является число 121.
Укажите все варианты выбора таких трёх чисел.
Чтобы найти все натуральные числа а, для которых будет кратным заданное число b, надо последовательно решить уравнения:
Все целые числа а, полученные в результате решения этих уравнений, и будут являться натуральными числами а, для которых заданное число b является кратным.
25. При делении числа а на 7 получили остаток 4. Какому условию должно удовлетворять число b, чтобы сумма а + b была кратна 7?
Мы знаем, что:
Представим эти числа графически:
Можем решить уравнение:
4 + х = 7
х = 7 — 4
х = 3
Значит для того, чтобы сумма а + b была кратна 7, надо чтобы при делении b на 7 получался остаток 3.
Этому условию удовлетворяют b = 3, 10, 17, 24, 31 и т.д.
Проверим наше предположение. Выберем любые числа а и b, удовлетворяющие условиям:
Полученное число 28 нацело делится на 7.
28 : 7 = 4. Значит наши выводы верны.
Ответ: число b при делении на 7 должно давать в остатке число 3.
26. При делении числа а на 9 получили остаток 5. Какому условию должно удовлетворять число b, чтобы разность а — b была кратна 9?
Мы знаем, что:
Представим эти числа графически:
Можем решить уравнение:
5 + х = 0
х = 5 — 0
х = 5
Значит для того, чтобы разность а — b была кратна 9, надо чтобы при делении b на 9 получался остаток 5.
Этому условию удовлетворяют b = 5, 14, 23, 32, 41 и т.д.
Проверим наше предположение. Выберем любые числа а и b, удовлетворяющие условиям:
Полученное число 18 нацело делится на 9.
18 : 9 = 2. Значит наши выводы верны.
Ответ: число b при делении на 9 должно давать в остатке число 5.
27. При каких натуральных значениях n значение выражения 15 n кратно числу:
При n = 1, 2, 3, 4, и т.д. — при любых натуральных значениях n.
При n = 1, 2, 3, 4, и т.д. — при любых натуральных значениях n.
3) 10
При n = 2, 4, 6, 8, и т.д. — при любых чётных значениях n.
4) 11
При n = 11, 22, 33, 44, и т.д. — при любых значениях n, кратных 11.
28. При каких натуральных значениях nзначение выражения:
1) 3n + 2 кратно числу 2
При n = 2, 4, 6, 8, и т.д. — при любых чётных значениях n.
2) 4n + 3 кратно числу 3
При n = 3, 6, 9, 12, и т.д. — при любых значениях n, кратных 3.
29. Докажите, что:
1) двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами, кратно 11
Значит утверждение верно.
2) трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, кратно 37
Значит утверждение верно.
30. К однозначному числу дописали одну цифру, в результате чего оно увеличилось в 41 раз. Какую цифру и к какому числу дописали?
К числу 1 слева дописали цифру 4 и получилось 41:
41 : 1 = 41 (раз) — увеличилось число.
Ответ: К цифре 1 была дописана цифра 4 с левой стороны от единицы.
31. В двузначном числе зачеркнули одну цифру, в результате чего оно уменьшилось в 17 раз. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?
В числе 17 зачеркнули цифру 7 и получилось число 1:
17 : 1 = 17 (раз) — уменьшилось число.
Ответ: В числе 17 зачеркнули цифру 7.
Упражнения для повторения
32. Первая на Руси школа, как написано и «Повести временных лет», была открыта в Киеве в 988 г. при князе Владимире Святославиче. В 1701 г. указом императора Петра I была создана первая в России государственная светская школа — Школа математических и навигацких наук, или, как чаще её называли, Навигацкая школа. Первоначально школу возглавил боярин Фёдор Головин, а затем — выдающийся русский математик-педагог Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739), проработавший в школе 38 лет — со дня её открытия в 1701 г. до последних дней своей жизни. Перу Л.Ф. Магницкого принадлежал первый изданный в России в 1703 г. учебник по математике, на долгие годы ставший основным учебником российских школ. В Навигацкой школе обучали чтению, письму, арифметике, геометрии, тригонометрии, черчению, географии, астрономии, навигации и другим предметам. Через сколько лет после открытия первой на Руси школы была открыта Навигацкая школа? На сколько лет ваша школа «младше» Навигацкой школы?
1) 1 701 — 988 = 713 (года) — прошло между открытием первой школы на Руси и Навигацкой школы.
2) 1 982 — 1 701 = 281 (год) — моя школа младше, чем Навигацкая школы.
Ответ: 713 года, 281 год.
33. Упростите выражение и вычислите его значение:
1) 0,2 а • 50 b, если а = 4, b = 3,6
0,2 a • 50 b = (0,2 • 50) ab = 10 ab = 10 • 4 • 3,6 = (10 • 3,6) • 4 = 36 • 4 = 144
2) 0,4 x • 25 y, если х = 2,4, у = 3
0,4 x • 25 y = (0,4 • 25) xy = 10 xy = 10 • 2,4 • 3 = (10 • 2,4) • 3 = 24 • 3 = 72
34. Решите уравнение:
35. В столовую завезли 146 кг овощей: 6 ящиков помидоров и 8 ящиков огурцов. Найдите, сколько килограммов огурцов было в каждом ящике, если помидоров в каждом ящике было 7,8 кг, а масса огурцов во всех ящиках одинакова.
1) 7,8 • 6 = 46,8 (кг) — масса помидоров.
2) 146 — 46,8 = 99,2 (кг) — масса огурцов.
3) 99,2 : 8 = 12,4 (кг) — масса огурцов в одном ящике.
Готовимся к изучению новой темы
36. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:
2) 5 093 = 5 000 + 90 + 3
37, Выполните деление с остатком:
38. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства а = bq + r, где а — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток:
1) 83 : 7
2) 171 : 17
171 = 17 • 10 + 1, где:
Задача от мудрой совы
39. Сложите из шести спичек четыре равносторонних треугольника со стороной, равной длине одной спички.