в каком случае интегральное уравнение фредгольма второго рода называется однородным
Интегральное уравнение Фредгольма второго рода
В математике интегральное уравнение Фредгольма — это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального анализа — теорию Фредгольма, которая изучает ядра Фредгольма и операторы Фредгольма.
Содержание
Общая теория
Общая теория, основанная на уравнениях Фредгольма, известна как теория Фредгольма. В теории рассматривается интегральное преобразование специального вида
, называется оператором (или интегралом) Фредгольма.
Одним из основополагающих результатов является факт, что ядро K есть компактный оператор, известный иначе как оператор Фредгольма. Компактность может быть показана с помощью равномерной непрерывности. Как к оператору, к ядру может быть приложена спектральная теория, изучающая спектр собственных значений.
Уравнение первого рода
Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:
где 
и 
— прямое и обратное преобразования Фурье соответственно.
Уравнение второго рода
Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода выглядит так:
.
Ссылки
Рекомендуемая литература
А. Д. Полянин, А. В. Манжиров. Справочник по интегральным уравнениям. Москва, Физматлит, 2003.
Полезное
Смотреть что такое «Интегральное уравнение Фредгольма второго рода» в других словарях:
Интегральное уравнение Фредгольма первого рода — В математике интегральное уравнение Фредгольма это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального анализа … … Википедия
Интегральное уравнение Фредгольма — В математике интегральное уравнение Фредгольма это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального… … Википедия
Уравнение Фредгольма — В математике интегральное уравнение Фредгольма это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального анализа … … Википедия
Интегральное уравнение — Интегральное уравнение функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро дифференциальном… … Википедия
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С СИММЕТРИЧНЫМ ЯДРОМ — интегральное уравнение (и. у.) с симметричным действительным ядром: К( х, s) = K(s, x). Теория линейных и. у. с симметричным и действительным ядром была впервые построена Д. Гильбертом (D. Hilbert, 1904) привлечением теории симметричных… … Математическая энциклопедия
Интегральный оператор Фредгольма — В математике интегральное уравнение Фредгольма это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального анализа … … Википедия
Интегральные уравнения — Интегральное уравнение функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро дифференциальном уравнении.… … Википедия
Ядро (матем.) — Интегральное уравнение функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро дифференциальном уравнении.… … Википедия
Интегральное уравнение Фредгольма
В математике интегральное уравнение Фредгольма — это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального анализа — теорию Фредгольма, которая изучает ядра Фредгольма и операторы Фредгольма.
Содержание
Общая теория
Общая теория, основанная на уравнениях Фредгольма, известна как теория Фредгольма. В теории рассматривается интегральное преобразование специального вида
где функция 
называется ядром уравнения, а оператор 
, определяемый как
, называется оператором (или интегралом) Фредгольма.
Одним из основополагающих результатов является факт, что ядро K есть компактный оператор, известный иначе как оператор Фредгольма. Компактность может быть показана с помощью равномерной непрерывности. Как к оператору, к ядру может быть приложена спектральная теория, изучающая спектр собственных значений.
Уравнение первого рода
Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:
а задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра 
и функции 
найти функцию 
.
Если ядро является функцией разности своих аргументов, то есть 
, и пределы интегрирования 
, тогда правая часть уравнения может быть переписана в виде свёртки функций и 
, а, следовательно, решение даётся формулой
где 
и 
— прямое и обратное преобразования Фурье соответственно.
Уравнение второго рода
Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода выглядит так:
Задача состоит в том, чтобы имея ядро и функцию 
, найти функцию 
. При этом существование решения и его множественность зависит от числа 
, называемого собственным числом. Стандартный подход решения использует понятие резольвенты; записанное в виде ряда решение известно как ряд Лиувилля-Неймана.
.
Ссылки
Рекомендуемая литература
А. Д. Полянин, А. В. Манжиров. Справочник по интегральным уравнениям. Москва, Физматлит, 2003.
Полезное
Смотреть что такое «Интегральное уравнение Фредгольма» в других словарях:
интегральное уравнение Фредгольма — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN Fredholm integral equation … Справочник технического переводчика
Интегральное уравнение Фредгольма второго рода — В математике интегральное уравнение Фредгольма это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального анализа … … Википедия
Интегральное уравнение Фредгольма первого рода — В математике интегральное уравнение Фредгольма это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального анализа … … Википедия
Интегральное уравнение — Интегральное уравнение функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро дифференциальном… … Википедия
Уравнение Фредгольма — В математике интегральное уравнение Фредгольма это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального анализа … … Википедия
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла. И. у. делятся на два основных класса: линейные И. у. и нелинейные И. у. Линейные И. у. имеют вид где А, К, f заданные функции, из которых Аназ. коэффициентом, К ядром, f свободным членом … Математическая энциклопедия
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — ур ние, содержащее неизвестную ф цию под знаком интеграла. Их принято разделять на две большие группы: линейные и нелинейные И. у. Линейным И. у. наз. ур ние вида где А, К, f заданные ф ции, j неизвестная ф ция, D область евклидова пространства.… … Физическая энциклопедия
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С СИММЕТРИЧНЫМ ЯДРОМ — интегральное уравнение (и. у.) с симметричным действительным ядром: К( х, s) = K(s, x). Теория линейных и. у. с симметричным и действительным ядром была впервые построена Д. Гильбертом (D. Hilbert, 1904) привлечением теории симметричных… … Математическая энциклопедия
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — численные методы решения, методы нахождения приближенных решений И. у. Требуется найти решение ф (х)одномерного уравнения Фредгольма 2 го рода где f(x)непрерывна на [ а, b], X числовой параметр, К( х, s )непрерывна на Пусть lне является… … Математическая энциклопедия
ВЫРОЖДЕННОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — линейное интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром. Общий вид В. и. у.: Интегрирование производят по области D(вообще n мерного) евклидова пространства, точки из действительный или комплексный параметр, а функции, входящие в (1),… … Математическая энциклопедия
Уравнение Фредгольма
В математике интегральное уравнение Фредгольма — это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального анализа — теорию Фредгольма, которая изучает ядра Фредгольма и операторы Фредгольма.
Содержание
Общая теория
Общая теория, основанная на уравнениях Фредгольма, известна как теория Фредгольма. В теории рассматривается интегральное преобразование специального вида
, называется оператором (или интегралом) Фредгольма.
Одним из основополагающих результатов является факт, что ядро K есть компактный оператор, известный иначе как оператор Фредгольма. Компактность может быть показана с помощью равномерной непрерывности. Как к оператору, к ядру может быть приложена спектральная теория, изучающая спектр собственных значений.
Уравнение первого рода
Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:
где и — прямое и обратное преобразования Фурье соответственно.
Уравнение второго рода
Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода выглядит так:
.
Ссылки
Рекомендуемая литература
А. Д. Полянин, А. В. Манжиров. Справочник по интегральным уравнениям. Москва, Физматлит, 2003.
Полезное
Смотреть что такое «Уравнение Фредгольма» в других словарях:
Интегральное уравнение Фредгольма — В математике интегральное уравнение Фредгольма это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального… … Википедия
Интегральное уравнение Фредгольма второго рода — В математике интегральное уравнение Фредгольма это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального анализа … … Википедия
Интегральное уравнение Фредгольма первого рода — В математике интегральное уравнение Фредгольма это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального анализа … … Википедия
интегральное уравнение Фредгольма — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN Fredholm integral equation … Справочник технического переводчика
ФРЕДГОЛЬМА УРАВНЕНИЕ — численные методы решения методы приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма 2 го рода, сводящиеся к выполнению конечного числа действий над числами. Пусть интегральное уравнение Фредгольма 2 го рода, где комплексное число, f(х)… … Математическая энциклопедия
ФРЕДГОЛЬМА УРАВНЕНИЕ — интегральное уравнение вида Ф. у. 1 го род а, или вида Ф. у. 2 го рода, если интегральный оператор является вполне непрерывным в нек ром функциональном пространстве Е. Предполагается, что свободный член f и искомая функция принадлежат… … Математическая энциклопедия
ФРЕДГОЛЬМА АЛЬТЕРНАТИВА — альтернативное утверждение, вытекающее из Фредгольма теорем. В случае линейного интегрального уравнения Фредгольма 2 го рода Ф. а. утверждает: либо уравнение (1) и сопряженное с ним уравнение имеют единственные решения каковы бы ни были известные … Математическая энциклопедия
ФРЕДГОЛЬМА ТЕОРЕМЫ — для интегральных уравнений: Теорема 1. Однородное уравнение и союзное с ним уравнение при фиксированном значении параметра имеют либо лишь тривиальные решения, либо одинаковое конечное число линейно независимых решений: Теорема 2. Для… … Математическая энциклопедия
Фредгольма уравнение — интегральные уравнения вида: a ≤ x, s ≤ b, (Ф. у. 1 го рода) и a ≤ x, s ≤ b, (Ф. у. 2 го рода), где К (х, s) заданная непрерывная функция от x и s, называемая ядром уравнения, f (x) заданная… … Большая советская энциклопедия
В каком случае интегральное уравнение фредгольма второго рода называется однородным
Последние действия на сайте
Интегральное уравнение
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.
Классификация интегральных уравнений
Линейные интегральные уравнения
Это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно:
Уравнения Фредгольма
Уравнения Фредгольма 2-го рода
Уравнения Фредгольма 2-го рода — это уравнения вида:
Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: 
, а ядро и свободный член должны быть непрерывными: 
, либо удовлетворять условиям:
Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми. Если 
на 
, то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением.
Уравнения Фредгольма 1-го рода
Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят также, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:
при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.
Уравнения Вольтерра
Уравнения Вольтерра 2-го рода
Уравнения Вольтерра отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования в них является переменным:
Уравнения Вольтерра 1-го рода
Также, как и для уравнений Фредгольма, в уравнениях Вольтерра 1-го рода отсутствует неизвестная функция вне интеграла:
В принципе, уравнения Вольтерра можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма, если переопределить ядро:
Однако некоторые свойства уравнений Вольтерра не могут быть применены к уравнениям Фредгольма.
Нелинейные уравнения
Можно придумать немыслимое многообразие нелинейных уравнений, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Вот лишь их некоторые типы, имеющие большое теоретическое и прикладное значение.
Уравнения Урысона
Постоянная M — это некоторое положительное число, которое заранее не всегда может быть определено.
Уравнения Гаммерштейна
Уравнения Гаммерштейна являются важным частным случаем уравнения Урысона:
где 
— фредгольмово ядро.
Уравнения Ляпунова — Лихтенштейна
Именами Ляпунова — Лихтенштейна принято называть уравнения, содержащие существенно нелинейные операторы, например, уравнение вида:
Нелинейное уравнение Вольтерра
где функция 
непрерывна по совокупности своих переменных.
Методы решения
Прежде, чем рассмотреть некоторые методы решения интегральных уравнений, следует заметить, что для них, как и для дифференциальных уравнений не всегда удается получить точное аналитическое решение. Выбор метода решения зависит от вида уравнения. Здесь будут рассмотрены несколько методов для решения линейных интегральных уравнений.
Преобразование Лапласа
Метод преобразования Лапласа может быть применён к интегральному уравнению, если входящий в него интеграл имеет вид свёртки двух функций:
то есть, когда ядро является функцией разности двух переменных:
Например, дано такое уравнение:
Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:
Применяя обратное преобразование Лапласа, получим:
Метод последовательных приближений
Метод последовательных приближений применяется для уравнений Фредгольма 2-го рода, если выполняется условие:
Это условие необходимо для сходимости ряда Лиувилля — Неймана:
Метод резольвент
Метод резольвент является не самым быстрым решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода, однако иногда нельзя указать других путей решения задачи.
Если ввести следующие обозначения:
то повторными ядрами ядра будут ядра 
:
Ряд, составленный из повторных ядер,
называется резольвентой ядра и является регулярно сходящимся при 
, 
и вышеупомянутому условию сходимости ряда Лиувилля — Неймана. Решение интегрального уравнения представляется по формуле:
Например, для интегрального уравнения
повторными будут следующие ядра:
а резольвентой — функция
Тогда решение уравнения находится по формуле:
Метод сведения к алгебраическому уравнению
В случае, если ядро интегрального уравнения Фредгольма является вырожденным, то есть 
, само интегральное уравнение можно свести к системе алгебраических уравнений. Действительно, в этом случае уравнение можно переписать так:
где 
. Умножив предыдущее равенство на gi(x) и проинтегрировав его по x на отрезке , приходим к системе алгебраических уравнений для неизвестных чисел ci :
где 
и 
— числовые коэффициенты.
Приложения
Термин «интегральное уравнение» ввёл в 1888 году Дюбуа-Реймон, однако первые задачи с интегральными уравнениями решались и ранее. Например, в 1811 году Фурье решил задачу об обращении интеграла, которая теперь носит его имя.
Формула обращения Фурье
Задача состоит в нахождении неизвестной функции f(y) по известной функции g(x) :
Фурье получил выражение для функции f(y) :
Сведение задачи Коши к интегральному уравнению
К нелинейным интегральным уравнениям Вольтерра приводит задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений:
В самом деле, это уравнение можно проинтегрировать по t от a до t :
Решение начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений приводит к линейным интегральным уравнениям Вольтерра 2-го рода. Этим еще в 1837 году воспользовался Лиувилль. Пусть, например, поставлена задача:
Для уравнения с постоянными коэффициентами с теми же начальными условиями:
решение может быть найдено методом вариации постоянных и представлено в виде:
Тогда для исходного уравнения получается:
— интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода.
a,» src=»http://upload.wikimedia.org/math/3/c/c/3cca9038417f8968682c783191e3f6c7.png» /> 
также может быть сведено к интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода.
Задача Абеля
Исторически считается, что первой задачей, которая привела к необходимости рассмотрения интегральных уравнений, является задача Абеля. В 1823 году Абель, занимаясь обобщением задачи о таутохроне, пришёл к уравнению:
где f(x) — заданная функция, а 
— искомая. Это уравнение есть частный случай линейного интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода. Уравнение Абеля интересно тем, что к нему непосредственно приводит постановка той или иной конкретной задачи механики или физики (минуя дифференциальные уравнения).
У Абеля формулировка задачи выглядела примерно так:
Если обозначить угол между касательной к траектории и осью Oξ как β и применить законы Ньютона, можно прийти к следующему уравнению: