в каком случае комплексное число обращается в действительное

В каком случае комплексное число обращается в действительное

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное называются комплексно сопряженными.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное ( k =0;1;1;2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное в тригонометрической и показательной формах.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Введение в комлексные числа

Выяснив, что многие знакомые программисты не помнят комплексные числа или помнят их очень плохо, я решил сделать небольшую шпаргалку по формулам.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

А школьники могут что-то новое узнать 😉
// Всех кого заинтересовал прошу под кат.

Итак, комплексные числа эта такие числа, которые можно записать как

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Где x, y вещественные числа(т.е привычные всем числа), а i — число, для которого
выполняется равенство

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

x называется действительной частью, y — мнимой.

Это алгебраическая форма записи комплексного числа.

Существует также тригонометрическая форма записи комплексного числа z:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

С введением, пожалуй, все.

Переходим к самому интересному — операциям над комплексными числами!
Для начала рассмотрим сложение.

У нас есть два таких комплексных числа:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Как же их сложить?
Очень просто: сложить действительную и мнимую части.
Получим число:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Все просто, не так ли?
Вычитание выполняется аналогично сложению.
Нужно просто вычесть из действительной части 1 числа действительную часть 2 числа,
а потом проделать тоже с мнимой частью.
Получим число

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Умножение выполняется вот так:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Напомню, x это действительная часть, y — мнимая.
Деление выполняется вот так:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Кстати, поддержка комплексных чисел есть в стандартной библиотеке Python:

Вместо i используется j.
Кстати, это потому что Python принял конвенцию инженеров-электриков, у которых
буква i обозначает электрический ток.
Задавайте свой вопросы, если они есть, в комментариях.
Надеюсь, вы узнали для себя что-то новое.

UPD: В комментариях просили рассказать о практическом применении.
Так вот комплексные числа нашли широкое практическое применение в авиации
(подъемная сила крыла) и в электричестве.
Как видете, очень нужная вещь 😉

Источник

Числа. Комплексные (мнимые) числа.

Множество всех комплексных чисел с арифметическими операциями есть поле и обычно обозначают как в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное.

Мнимое число (либо чисто мнимое число) — комплексное число с действительной частью, равной нулю. Раньше этим термином обозначали комплексные числа.

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Например, построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное, в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное, в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное,

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное, в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное, в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное,

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное, в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное, в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное, в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Действия над комплексными числами.

означает, что a = c и b = d (2 комплексных числа равны между собой только в том случае, если равны их действительные и мнимые части).

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Для того чтобы сложить 2 комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.

Действие аналогично сложению, отличие только в том, что вычитаемое берем в скобки, а потом – как обычно раскрываем их со сменой знака:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

У числа, которое мы получили 2, а не 3 части. Так как действительная часть является составной: в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Что было понятней ответ перепишем так: в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное.

Рассчитываем 2-ю разность:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Здесь действительная часть тоже составная: в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное.

Приведем короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. В этом случае без скобок никак не обойтись.

Найдем произведение комплексных чисел в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное, в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Раскрываем скобки, как обычно. Обратите внимание, что в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительноеи будьте внимательны.

Напомним: Чтобы умножить многочлен на многочлен надо все члены 1-го многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Очевидно, что в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное.

Как и в сумме, в произведении комплексных чисел работает перестановочный закон: в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное.

Произведение 2-х сопряжённых комплексных чисел равно положительному действительному числу.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Если делитель ненулевой, деление всегда возможно.

Есть комплексные числа в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное, в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Найдем частное в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Деление чисел производится способом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Напомним, что в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительноеи смотрим на наш знаменатель: в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. В знаменателе уже имеется в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное, поэтому сопряженным выражением в данном случае оказывается в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное, т.е. в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное.

Из правила, знаменатель необходимо домножить на в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное, и, чтобы ничего не изменилось, умножить числитель на такое же число в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Дальше в числителе раскрываем скобки. А в знаменателе пользуемся формулой в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное(при в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное).

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Часто перед делением дробь лучше упростить.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Свойства комплексных чисел.

1. Основная теорема алгебры.

У всех, не являющихся константой многочленов (от одной переменной) с комплексными коэффициентами есть как минимум 1 корень в поле комплексных чисел.

2. Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел.

Эта формула помогает возводить в целую степень комплексное число, не равное нулю, которое представлено в тригонометрической форме.

Формула Муавра имеет вид:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

где r — модуль, а φ — аргумент комплексного числа.

Аналогичная формула применяется также и при вычислении корней n-ой степени из комплексного числа, не равного нулю:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Заметим, что корни n-й степени из комплексного числа, не равного нулю, всегда есть, и их чило равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни оказываются вершинами правильного n-угольника, который вписан в окружность радиуса с центром в начале координат.

Например, корни 5-ой степени из единицы (вершины пятиугольника):

Источник

В каком случае комплексное число обращается в действительное

VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное называются комплексно сопряженными.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное ( k =0;1;1;2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное в тригонометрической и показательной формах.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть фото в каком случае комплексное число обращается в действительное. Смотреть картинку в каком случае комплексное число обращается в действительное. Картинка про в каком случае комплексное число обращается в действительное. Фото в каком случае комплексное число обращается в действительное

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *