в каком случае напряженное состояние называется двухосным

Двухосное напряженное состояние

Напряженное состояние в точке. Виды напряженного состояния.

Общий случай напряженного состояния в точке. Как было отмечено ранее, напряженное состояние в точке твердого тела может быть представлено в виде элементарного параллелепипеда, на гранях которого действуют по три компонента напряжений: два касательных и одно нормальное (рис. 4.1,а). Этот малый элемент вырезан в окрестности некоторой точки объемного твердого тела. Напомним, что напряжения на площадках этого бесконечно малого элемента получены путем разложения векторов полного напряжения, действующих на эти площадки по трем направлениям.

Рис. 4.1. К понятию о главных напряжениях и главных площадках

На рис. 4.1, а изображены положительные нормальные и касательные напряжения.

Правило знаков для нормальных напряжений: нормальные напряжения считаются положительными, когда они направлены от граней (площадок) элементарного параллелепипеда, т.е. вызывают растяжение.

Правило знаков для касательных напряжений: касательные напряжения считаются положительными в двух случаях: 1) если нормаль к площадке направлена в положительную сторону соответствующей оси и само напряжение направлено в положительном направлении по отношению к оси; 2) если нормаль к площадке направлена против соответствующей оси и само напряжение ориентировано против соответствующей оси.

На рис. 4.1, а видно, что в общем случае напряженного состояния в точке твердого тела имеем девять напряжений – три нормальных напряжения s_x, s_y и s_z и шесть касательных напряжений t_xy, t_yx, t_xz, t_zx, t_yzи t_zy.

Закон парности касательных напряжений. Напишем уравнение равновесия моментов относительно оси Oy (SM_y = 0):

Отсюда получаем, что t_xz = t_zx. Записывая уравнения равновесия моментов относительно осей Ox и Oz, можно показать, что t_xy = t_yx и t_yz = t_zy, т.е. касательные напряжения, действующие на смежных гранях, будут попарно равны. Это положение формулируется в виде закона парности касательных напряжений.

Закон парности касательных напряжений: на смежных гранях элементарного параллелепипеда касательные напряжения равны и направлены к общему ребру или от него. Таким образом, число напряжений в точке твердого тела уменьшилось до шести: s_x, s_y, s_z, t_xy, t_xz и t_yz.

Главные напряжения. Вращая элементарный параллелепипед вокруг трех осей можно добиться такого положения, при котором на его гранях будут действовать только нормальные напряжения (рис. 4.1, б), т.е. вектора полного напряжения окажутся перпендикулярными к его граням. Эти напряжения называются главными и обозначаются s₁, s₂ и s₃, причем полагается, что s₁ ³ s₂ ³ s₃, т.е. s₁ = s_max – максимальное нормальное напряжение в точке, а s₃ = s_min – минимальное.

Грани малого элемента, на которых действуют главные напряжения, называются главными площадками. Способы определения главных напряжений и их направлений в общем случае напряженного состояния в точке рассматриваются в курсе «Теория упругости» и выходят за рамки настоящего учебника.

Экстремальные касательные напряжения. Касательные напряжения, действующие на гранях малого элемента, будут также изменяться в зависимости от положения элементарной площадки. В курсе «Теория упругости» доказывается, что если площадка займет положение под углом 45 о к первой и третьей главным площадкам (рис. 4.1, в), на ней будут действовать экстремальные касательные напряжения, которые можно найти по формуле

.

(4.1)

Трехосное, двухосное и одноосное напряженные состояния. Трехосное напряженное состояние представлено на рис. 4.1, б и характерно тем, что все три главных напряжения (s₁ ³ s₂ ³ s₃) не равны нулю.

При двухосном напряженном состоянии одно из трех главных напряжений равно нулю (s₃ = 0), а два других (s₁ ³s₂) не равны нулю.

Одноосное напряженное состояние возникает, когда два из главных напряжений равны нулю, а третье не равно нулю: s₃ = 0, s₂ = 0, s₁¹0. Именно одноосное напряженное состояние имеет место при растяжении или сжатии прямого стержня, которое рассматривалось ранее.

Двухосное напряженное состояние

При двухосном напряженном состоянии одно из трех главных напряжений равно нулю, а два других не равны нулю, т.е. s₃ = 0, s₁¹ 0, s₂ ¹ 0. В общем случае, при двухосном напряженном состоянии на четырех гранях бесконечно малого элемента, выделенного в окрестностях точки, действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 4.2). Принято разделять двухосное напряженное состояние на обобщенное плоское состояние и плоскую деформацию. Обобщенное плоское напряженное состояние, которое мы и будем рассматривать, возникает в тонких плоских телах, загруженных в их плоскости. Например, пластина, загруженная силами в ее срединной плоскости или стенка двутавра при изгибе находятся в условиях обобщенного плоского состояния.

Рис. 4.2. Двухосное напряженное состояние

Чтобы каждый раз не изображать малый элемент в общем виде, как показано на рис. 4.2 слева, его рисуют в упрощенном виде, как это представлено на рис. 4.2 справа. Размеры этого элемента: в плоскости страницы dx иdy, а толщина его b равна толщине пластины.

Закон парности касательных напряжений. Для двухосного напряженного состояния закон парности касательных напряжений выражается равенством t_xy= t_yx, т.е. на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по величине и направлены в противоположные стороны (вращают элемент в противоположных направлениях).

Правило знаков напряжений. Правило знаков для нормальных и касательных напряжений уже обсуждалось при рассмотрении трехосного напряженного состояния в предыдущем разделе. Напомним, что нормальные напряжения положительны, когда они вызывают растяжение (направлены от площадки). На площадке, внешняя нормаль к которой совпадает с положительным направлением оси, касательное напряжение считается положительным, если оно также направлено по соответствующей оси. Все показанные на рис. 4.1,а напряжения имеют знак «+».

Дата добавления: 2018-10-27 ; просмотров: 1185 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

iSopromat.ru

Рассмотрим понятие о напряженном состоянии в точке и гипотезы прочности. Связь между напряжениями и внутренними силами. Объемное, плоское и линейное напряженное состояния.

Понятие о напряжениях в точке

На основании допущения о сплошности тела можно считать, что внутренние силы непрерывно распределены по всему сечению.

Выделим в произвольной точке малую площадку ΔA, а равнодействующую внутренних сил на этой площадке обозначим ΔR. Отношение

представляет собой среднее напряжение на данной площадке.

Если площадку ΔA уменьшить, то в пределе получим полное напряжение в точке

Полное напряжение р может быть разложено на три составляющие: по нормали к плоскости сечения и по двум осям в плоскости сечения. Проекция вектора полного напряжения р на нормаль обозначается через σ и называется нормальным напряжением.

Составляющие в плоскости сечения называются касательными напряжениями и обозначаются τ. В зависимости от расположения и наименования осей обозначения σ и τ снабжаются системой индексов.

Связь между напряжениями и внутренними силами

Установим связь между напряжениями и внутренними силами, возникающими в поперечном сечении стержня. Для этой цели выделим на сечении бесконечно малую площадку dA и приложим к ней элементарные силы σ dA, τ_x dA, τ_y dA.

Знак «А» у интеграла показывает, что интегрирование проводится по всей площади поперечного сечения. Приведённые формулы позволяют определить равнодействующие внутренних сил через напряжения, если известен закон распределения последних по сечению.

Обратную задачу с помощью только одних этих уравнений решить нельзя, так как одной и той же величине внутреннего усилия, например N, могут соответствовать различные законы распределения нормальных напряжений по сечению.

Одной из основных задач сопротивления материалов является задача об определении напряжений через равнодействующие внутренних сил. При этом оказывается, что решить эту задачу можно только, рассматривая параллельно с условиями равновесия и условия деформации бруса.

Объемное напряженное состояние

Совокупность напряжений, действующих по площадкам, проведенным через исследуемую точку, составляет напряженное состояние в рассматриваемой точке. На площадках общего положения действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 3.1).

Значения касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках подчиняются закону парности касательных напряжений:

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а нормальные напряжения, действующие по этим площадкам, называются главными напряжениями (рис. 3.2).

Обозначение главных напряжений:

Напряженное состояние называется объемным или трехосным, если

Относительное изменение объема:

где К – модуль объемной упругости,

Удельная потенциальная энергия упругой деформации:

Плоское напряженное состояние

Напряженное состояние называется плоским или двухосным, если одно из главных напряжений равно нулю (рис. 3.3).

Напряжения на наклонной площадке (рис. 3.4,а)

Величина и направление главных напряжений (рис. 3.4,б)

Линейное напряженное состояние

Напряженное состояние называется линейным или одноосным, если два главных напряжения равны нулю.

Проверка прочности при линейном напряженном состоянии проводится по условию прочности:

В сложном напряженном состоянии проверку прочности проводят по гипотезам прочности по эквивалентному напряжению:

Величина σ_экв определяется, исходя из принятого критерия эквивалентности, лежащего в основе одной из гипотез разрушения или гипотез прочности, при котором сложное напряженное состояние заменяется эквивалентным ему растяжением или сжатием.

Гипотезы прочности

Существует 5 гипотез прочности:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Виды напряженного состояния

В расчетах на прочность деталей машин и элементов конструкций необходимо знать в каждой точке напряженное состояние, которое вполне может быть определено значениями трех главных напряжений в этой точке. В отдельных случаях одно или два главных напряжения могут равняться нулю. Соответственно различают три вида напряженного состояния в точке: объемное, плоское и линейное.

Напряженное состояние называется объемным или трехосным, если все три главных напряжения отличны от нуля (рис. 4.5, а). Такое напряженное состояние возникает, например, в зоне контакта зубьев шестерни или шарика и кольца подшипника.

Напряженное состояние называется плоским или двухосным,когда одно из трех главных напряжений равно нулю (рис. 4.5, б). Этот вид напряженного состояния наиболее часто встречается в расчетах на прочность. Такое напряженное состояние возникает при кручении круглых валов, в брусе, работающем на изгиб и т.д.

s1
s1

в)

Рис. 4.5

Напряженное состояние называется линейным или одноосным, если два из трех главных напряжений равны нулю (рис. 4.5, в)

Источник

В каком случае напряженное состояние называется двухосным

Взаимодействие между частями элемента конструкции можно охарактеризовать величинами нормальных и касательных напряжений в каждой точке элемента. Эти величины зависят от направления сечения, проведенного через данную точку.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в этой точке.

При расчетах на прочность необходимо устанавливать напряженные состояния в опасных точках конструкции.

Если через рассматриваемую точку тела нельзя провести ни одной площадки, в которой касательные и нормальные напряжения были бы равны нулю, то в этой точке имеется пространственное (трехосное) напряженное состояние. Если в одной (и только в одной) площадке, проходящей через рассматриваемую точку тела, касательные и нормальные напряжения равны нулю, то в этой точке имеется плоское (двухосное) напряженное состояние. Если касательные и нормальные напряжения равны нулю в двух площадках, проходящих через рассматриваемую точку тела, то в этой точке имеется линейное (одноосное) напряженное состояние; в таком случае касательные и нормальные напряжения равны нулю и во всех площадках, проходящих через линию пересечения указанных двух площадок.

Плоское и линейное напряженные состояния являются частными случаями пространственного напряженного состояния.

Ниже показано, что в окрестности любой точки тела всегда можно выделить элементарный параллелепипед так, чтобы по всем его граням касательные напряжения были равны нулю (рис. 1.3).

Длины ребер элементарного параллелепипеда бесконечно малы, а потому напряжения в его гранях, параллельных друг другу, одинаковы и равны напряжениям в параллельной им площадке, проходящей через рассматриваемую точку тела. При пространственном напряженном состоянии нормальные напряжения по всем граням элементарного параллелепипеда, показанного на рис. 1.3, а, не равны нулю; при плоском напряженном состоянии нормальные напряжения по одной паре параллельных друг другу граней равны нулю (рис. 1.3, б), а при линейном — по двум парам таких граней (рис. 1.3, в).

Величины напряжений в разных площадках, проходящих через данную точку тела, находятся между собой в определенных зависимостях. Эти зависимости устанавливаются в настоящей главе. Они используются при решении многих задач сопротивления материалов — в первую очередь при расчетах на прочность в случаях сложного сопротивления.

Источник

1.12 Обзор различных типов напряженных состояний

1.12 Обзор различных типов напряженных состояний

При исследовании вопросов прочности в сложном напряженном состоянии существенное значение имеет вид напряженного состояния. Большинство материалов по-разному разрушается в зависимости от того, являются ли напряжения растягивающими или сжимающими. Как показывает опыт, все материалы без исключения способны воспринимать весьма большие напряжения в условиях всестороннего сжатия,
в то время как при одноосном растяжении разрушение наступает при сравнительно низких напряжениях. Имеются напряженные состояния, при которых разрушение происходит хрупко, без образования пластических деформаций, а есть такие, при которых тот же материал способен пластически деформироваться.

В связи со сказанным очевидна необходимость более подробно остановиться на типовых признаках напряженных состояний и проследить, в каких условиях возникает то или иное состояние.

На основе такого обзора в дальнейшем проще будет ориентироваться в вопросах прочности и легче дать оценку степени опасности напряженного состояния материала. Выше было произведено деление напряженных состояний на трехосное, двухосное и одноосное. При решении вопросов прочности, однако, такая классификация не является достаточной и принято делить напряженные состояния на три класса в зависимости от знака главных напряжений.

К первому классу относятся трехосные растяжения, т. е. такие напряженные состояния, в которых ни одно из главных напряжений не является сжимающим. Круговые диаграммы для этого класса напряженных состояний располагаются в правой части плоскости , (рис. 1.17). В частном случае все три главных растягивающих напряжения могут быть равными; такое напряженное состояние называется чистым трехосным растяжением. Оно возникает, например, в центральной части сплошного шара, быстро нагреваемого извне (рис. 1.18, а). Расширение внешних нагретых слоев приводит к тому, что внутренняя нагретая область шара оказывается под воздействием всестороннего «растягивающего давления». Круговые диаграммы при чистом трехосном растяжении вырождаются в точку (рис. 1.18, а). Трехосное растяжение, при котором два главных напряжения равны, но отличны от третьего, возникает в точках, лежащих на оси растянутого образца,

Рекомендуемые файлы

имеющего кольцевую выточку (рис. 1.18, б). Весьма часто встречается напряженное состояние, в котором , т. е. двухосное растяжение, также относящееся к рассматриваемому классу. Двухосное растяжение, при котором , возникает, например, в быстровращающихся тонких дисках постоянной толщины (рис. 1.18, в). Равное двухосное растяжение возникает в точках, расположенных у внешней поверхности сферического сосуда, нагруженного внутренним давлением (рис. 1.18, г). К рассматриваемому классу напряженных состояний относится, наконец, и простое одноосное растяжение, возникающее в однородном стержне при его растяжении или чистом изгибе (рис.1.18. д).

Второй распространенный класс составляют такие напряженные состояния, в которых ни одно из главных напряжений не является растягивающим. Это — так называемые трехосные сжатия. Для напряженных состояний этого класса круговые диаграммы располагаются в левой части плоскости , (рис.1.19).

Чистое трехосное сжатие возникает в любом теле, независимо от его формы, при всестороннем гидростатическом давлении (рис. 1.20, а). Неравномерное трехосное сжатие характерно для точек, расположенных в окрестности контактирующих тел, таких, как, например, ролики и обоймы подшипников, втулки и валы, и др. (рис. 1.20 б). Пример возникновения двухосного сжатия показан на рисунке 1.20. в. Двухосное равное сжатие () возникает при нагружении давлением вала, имеющего свободные торцы (рис. 1.20, г).

Одноосное сжатие также относится к рассматриваемому классу напряженных состояний и возникает, в частности, при чистом изгибе
и сжатии однородного стержня (рис. 1.20, д).

К третьему классу относятся так называемые смешанные напряженные состояния, в которых наибольшее и наименьшее из главных напряжений имеют разные знаки. Напряжение может быть положительным, так и отрицательным. Круговые диаграммы напряженных состояний этого класса располагаются в средней части плоскости , (рис.1.21). Смешанное трехосное напряженное состояние возникает, например, при нагружении толстостенного цилиндра внутренним давлением (рис. 1.22, а). Для изгибаемого и одновременно закручиваемого бруса характерно возникновение двухосного смешанного напряженного состояния (рис. 1.22, б). Чистый сдвиг также представляет собой смешанное двухосное напряженное состояние (рис. 1.22, в).

1. На какие классы делится напряженное состояние в точке в зависимости от знака главных напряжений?

2. Что такое чистое трехосное растяжение? Где и при каких условиях оно может возникнуть? Что представляют собой круги Мора?

3. В какой детали возникает объемное напряженное состояние, когда два главных напряжения равны, но отличны от третьего? Сколькими кругами Мора изображается напряженное состояние?

4. Какое напряженное состояние в точке возникает в быстро вращающемся диске постоянной толщины? Как изображаются круги Мора?

5. Какое напряженное состояние в точке возникает в сферическом сосуде при внутреннем давлении? Как это отражается кругами Мора?

6. Как достигнуть чистого трехосного сжатия?

7. В каких деталях возникает неравномерное трехосное сжатие?

8. Приведите пример элемента конструкции, испытывающей смешанное трехосное напряженное состояние. Как выглядят круги Мора?

9. Какое напряженное состояние представляет собой чистый сдвиг?

Источник