в каком случае переходный процесс считается завершенным

Лекции по ТОЭ4 / переходные процессы

Основные понятия о переходных процессах

в электрических цепях.

Для изучения переходных процессов в любой или сложной цепи необходимо рассмотреть общие сведения о них. В числе таких сведений отметим причины возникновения переходных процессов, основные определения и два закона коммутации, на которых основаны исследования переходных процессов.

Причины возникновения переходных процессов. Электромагнитные процессы, происходящие в электрических цепях при переходе от одного установившегося режима к другому, называют переходными процессами.

Время, в течение которого продолжается переходный процесс в электрической цепи, называют переходным периодом.

Величины токов и напряжений, изменяющиеся в течение переходного периода, называют переходными токами и напряжениями.

Переходные процессы возникают вследствие изменения ЭДС в цепи, напряжения, приложенного к цепи, или в связи с изменением её параметров – сопротивления, индуктивности или ёмкости.

Непосредственными причинами возникновения переходных процессов могут быть: коммутационные изменения режимов, т.е. включения и выключения источников питания, приёмников энергии; короткие замыкания на участках электрических цепей; изменения механической нагрузки электродвигателей и др.

Продолжительность переходных процессов в электрических цепях чаще всего составляет десятые и сотые доли секунды. Однако значения характера их очень важно, так как и за малое время возможно резкие увеличения токов и напряжений, которые могут оказаться опасными для электрических установок.

Соотношение длительностей установившихся и переходных режимов может быть самым различным и зависит от условий эксплуатации и назначения электрических цепей. Одни из них по продолжительности практически всё время работают в установившемся режиме (двигателей с длительной, не меняющейся нагрузкой, лампы электрического освещения), другие, наоборот, непрерывно находятся в переходном режиме (двигатели с повторно-кратковременной нагрузкой, линии связи во время передачи информации и др.).

Первый закон коммутации применяется к цепям, обладающим индуктивностью. Согласно этому закону, ток в индуктивности не может изменяться скачком. Поэтому мгновенное значение тока в ветви с индуктивностью в переходного периода остаётся таким, каким оно было в последний момент предшествующего установившегося режима.

Справедливость первого закона коммутации следует из простых рассуждений, которые изложим применительно к случаю включения катушки индуктивности на

п

остоянное напряжение U (рис.1)

До замыкания рубильника Р установившийся режим характеризуется тем, что ток в цепи, напряжение активное u_r и индуктивное u_L равны нулю.

момента замыкания рубильника возникает переходный процесс, в течение которого ток в катушке увеличивается до некоторого значения i = I, изменяются и напряжения u_r и u_L. Электрическое состоя-

ние цепи по схеме на рис.1 в любой момент переходного периода характеризуется уравнением:

. (1)

Это уравнение выражает баланс напряжений в цепи: часть приложенного к цепи напряжения компенсирует падение напряжения в сопротивлении (ir), а другая часть уравновешивает возникающую при изменении тока ЭДС самоиндукции.

В установившемся режиме при замкнутом рубильнике Р ток в цепи постоянный, т.е. скорость изменения тока равна нулю:, поэтому и индуктивное напряжение u_L равно нулю. Напряжение источника полностью приложено к сопротивлению r, и ток в цепи определяется согласно закону Ома:

(2)

Предположим, что переходный период отсутствует и ток в катушке мгновенно (dt=0) от нуля до конечного значения I. Тогда скорость изменения тока должна быть равна бесконечности . Но это противоречит уравнению (1), в котором напряжение источника U— конечная величина. Изменение тока скачком означало бы также, что энергия магнитного поля катушки увеличилась скачком от 0 до . Для мгновенного изменения запаса энергии в магнитном поле цепи требуется источник бесконечно большой мощности , что лишено физического смысла.

Из первого закона коммутации следует, что в начальный момент после замыкания рубильника (при t=0) ток в цепи равен нулю (), падение напряжения в сопротивлении , а индуктивное напряжение равно напряжению источника и цепь как бы разомкнута индуктивностью.

Второй закон коммутации применяется к цепям, обладающим ёмкостью. Согласно этому закону, напряжение на ёмкости не может измениться скачком. Поэтому мгновенное напряжение на ёмкости в первый момент переходного периода остаётся таким, каким оно было в последний момент предшествующего устоявшегося режима.

Рассуждения, подтверждающие второй закон коммутации, проведём применительно к случаю зарядки конденсатора через резистор (включение цепи с r и C на постоянное напряжение, рис.2). До замыкания рубильника Р установившийся режим характеризуется тем, что в цепи, напряжения на резисторе и конденсаторе равны нулю.

С

момента замыкания рубильника возникает переходный процесс, в течение которого напряжение на конденсаторе

увеличивается до напряжения источника U, изменяются ток в цепи и напряжение на резисторе.

лектрическое состояние цепи (рис.2) в любой момент переходного периода характеризуется уравнением, составленным

по второму закону Кирхгофа:

.

Ток в цепи пропорционален скорости изменения напряжения на конденсаторе:

. (3)

Учитывая это, получаем:

. (4)

Приложенное к цепи напряжение делится на две части: одна из них компенсирует падение напряжения в резисторе, а другая () равна напряжению в конденсаторе.

Доказательства существования переходного периода при зарядке конденсатора аналогичны тем, которые ранее были приведены для цепи с катушкой индуктивности.

Предложим, что в момент замыкания рубильника напряжение на конденсаторе изменилось скачком от 0 до U. Такое предположение означает конечное изменение напряжения за время, равное нулю, т.е. , что противоречит уравнению (4), в котором напряжение источника является конечной величиной. Кроме того, при изменении напряжения на конденсаторе скачком энергия электрического поля должна увеличиться мгновенно от 0 до . Для такого скачкообразного изменения энергии требуется источник бесконечно большой мощности, чего не может быть в действительности.

Из второго закона коммутации следует, что начальный момент переходного периода (при t=0) напряжение на конденсаторе равно нулю (конденсатор как бы замкнут накоротко). Напряжение на резисторе равно напряжению источника , а ток в цепи .

Источник

Переходные процессы в электрической цепи

Переходные процессы не являются чем-то необычным и характерны не только для электрических цепей. Можно привести ряд примеров из разных областей физики и техники, где случаются такого рода явления.

Переходным режимом (или переходным процессом) называется режим, возникающий в электрической цепи при переходе от одного стационарного состояния к другому, чем-либо отличающемуся от предыдущего, а сопутствующие этому режиму напряжения и токи — переходными напряжениями и токами. Изменение стационарного режима цепи может происходить в результате изменения внешних сигналов, в том числе включения или отключения источника внешнего воздействия, или может быть вызвано переключениями внутри самой цепи.

Любое изменение в электрической цепи, приводящее к возникновению переходного процесса называют коммутацией. В большинстве случаев теоретически допустимо считать, что коммутация осуществляется мгновенно, т.е. различные переключения в цепи происходят без затраты времени. Процесс коммутации на схемах условно показывается стрелкой возле выключателя.

Переходные процессы в реальных цепях являются быстропротекающими. Их продолжительность составляет десятые, сотые, а часто и миллионные доли секунды. Сравнительно редко длительность этих процессов достигает единицы секунды.

Естественно возникает вопрос, надо ли вообще принимать во внимание переходные режимы, имеющие столь короткую длительность. Ответ может быть дан только для каждого конкретного случая, так как в различных условиях роль их неодинакова. Особенно велико их значение в устройствах, предназначенных для усиления, формирования и преобразования импульсных сигналов, когда длительность воздействующих на электрическую цепь сигналов соизмерима с продолжительностью переходных режимов.

Переходные процессы являются причиной искажения формы импульсов при прохождении их через линейные цепи. Расчет и анализ устройств автоматики, где происходит непрерывная смена состояния электрических цепей, немыслим без учета переходных режимов.

В ряде устройств возникновение переходных процессов, в принципе, нежелательно и опасно. Расчет переходных режимов в этих случаях позволяет определить возможные перенапряжения и увеличения токов, которые во много раз могут превышать напряжения и токи стационарного режима. Это особенно важно для цепей со значительной индуктивностью или большой емкостью.

Возникновение переходных процессов связано с особенностями изменения запасов энергии в реактивных элементах цепи. Количество энергии, накапливаемой в магнитном поле катушки с индуктивностью L, в которой протекает ток i_L, выражается формулой: W_L = 1/2 (Li_L 2 )

Энергия, накапливаемая в электрическом поле конденсатора емкостью С, заряженного до напряжения u_C, равна: W_C = 1/2 (Cu_C 2 )

Поскольку запас магнитной энергии W_L определяется током в катушке i_L, а электрической энергии W_C — напряжением на конденсаторе u_C, то во всех электрических цепях три любых коммутациях соблюдаются два основных положения: ток катушки и напряжение на конденсаторе не могут изменяться скачком. Иногда эти положения формулируются иначе, а именно: потокосцепление катушки и заряд конденсатора могут изменяться только плавно, без скачков.

Переходные процессы в электрических цепях с двумя накопителями энергии. Короткое замыкание цепи RLC. Апериодический и колебательный режимы.

Напряжение на резисторе u_R(t) и напряжение на индуктивности u_L(t) выразим через u_C(t):

.

Полученное уравнение является линейным дифференциальным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для определения свободной составляющей записываем соответствующее характеристическое уравнение LCp 2 + Rcp + 1 = 0 и определяем его корни:

.

Вынужденную составляющую решения определим как установившееся значение напряжения на емкости в режиме постоянного тока в цепи после коммутации.

Из уравнения по второму закону Кирхгофа получим u_Cуст = u_Cвын = U₀. Таким образом, полное решение для напряжения

Выражение для тока необходимо для определения постоянных интегрирования. Используя нулевые начальные условия, при t = 0 получим: u_C(0₊) = A₁ + A₂ + U₀ = 0; i(0₊) = CA₁p₁ + CA₂p₂ = 0. Решение этой системы уравнений дает выражения для постоянных интегрирования:

Апериодический режим.

Далее, используя формулы Эйлера для экспонент с мнимыми показателями, окончательно найдем:

Качественный график полученной функции напряжения на емкости показан на рис. 1.27.

При малых потерях в контуре (R

Источник

В каком случае переходный процесс считается завершенным

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

Классический метод расчета

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.

Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи

;

при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током ,

;

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать

.

(1)

Подставив в (1) значение тока через конденсатор

,

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно

.

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

,

(2)

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); — известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); — к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

,

(3)

где и — соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; — число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); — число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная — свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, общее решение уравнения (2) имеет вид

(4)

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)

Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)

Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .

Пример. Определить токи и производные и в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.

В соответствии с законами коммутации

и .

На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место

,

и .

Для известных значений и из уравнения

определяется .

Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)

.

Корни характеристического уравнения. Постоянная времени

Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).

Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения

Вид корней характеристического уравнения

Выражение свободной составляющей

Корни вещественные и различные

Корни вещественные и

Пары комплексно-сопряженных корней

Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).

Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением

,

которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения

,

называемым логарифмическим декрементом колебания, где .

,

где р – корень характеристического уравнения.

Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при

Источник