в каком случае прямая принадлежит плоскости

В каком случае прямая принадлежит плоскости

Контрольные задания по теме:
Рабочая тетрадь задача 39, задача 40а, задача 40б

Точка принадлежит прямой, если её проекции лежат на одноимённых проекциях этой прямой (рис. 21а).

Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, лежащей в этой плоскости (рис.21б).

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в этой плоскости (рис.21в).

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости
Рисунок 21

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. На рисунке 22 изображена прямая t, параллельная прямой b, принадлежащей плоскости Σ: t // b Î Σ (a Ç b).

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости
Рисунок 22

Через любую точку пространства можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной плоскости.

Это задача на определение общей точки прямой и плоскости. Её называют также точкой встречи. Рассмотрим пересечение прямой с плоскостью частного положения.

Плоскость Σ задана треугольником АВС и является горизонтально проецирующей плоскостью. Точка встречи прямой k с плоскостью Σ определяется по горизонтальной проекции. Фронтальная проекция точки К достраивается с помощью линии связи. Символическая запись будет выглядеть следующим образом: k Ç Σ (ABC) = K.

Видимость прямой относительно плоскости определяется при помощи фронтально-конкурирующих точек 1 и 2.

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости
Рисунок 23

Пересечение прямой с плоскостью общего положения изображено на рисунке 24. В этом случае нужно заключить прямую в проецирующую плоскость.

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости
Рисунок 24

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости
Рисунок 25

1. Сформулируйте условия принадлежности точки плоскости и прямой плоскости.

2. Как построить прямую параллельную заданной плоскости?

3. Вспомните этапы решения задачи на определение точки пересечения прямой и плоскости.

4. Какие точки называются конкурирующими?

5. Как провести в плоскости горизонталь и фронталь?

6. Какие еще особые прямые плоскости вы знаете?

© ФГБОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет

Источник

В каком случае прямая принадлежит плоскости

Сформулируем условие принадлежности прямой плоскости как аксиомы:

Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости.

Аксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости.

Проиллюстрируем примерами использование этих аксиом.

Требуется найти недостающие проекции прямой m, если известно, что она принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k.

Проекция прямой m2 пересекает проекции прямых n2 и k2 в точках В2 и С2 соответственно. Для нахождения недостающих проекций прямой необходимо найти недостающие проекции точек В и С как точек, лежащих на прямых n и k соответственно.

Таким образом, точки В и С принадлежат плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эти точки, значит, согласно аксиоме 1, прямая принадлежит этой плоскости.

Рисунок 53. Прямая и плоскость имеют две общие точки

Задача. Через точку В провести прямую m, если известно, что она принадлежит плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k (рис. 5 4).

Таким образом, точка В принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эту точку и параллельна прямой k , значит согласно аксиоме 2 прямая принадлежит этой плоскости.

Источник

Принадлежность прямой и точки плоскости

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рис. 3.2 Взаимное расположение прямых

Прямые в пространстве могут занимать относительно друг друга одно из трех положений:

1) быть параллельными;

Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Если прямые параллельны друг другу, то на КЧ их одноименные проекции тоже параллельны (см. п. 1.2).

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости.

Пересекающимися называются прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

У пересекающихся прямых на КЧ одноименные проекции пересекаются в проекциях точки А. Причем фронтальная (в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости) и горизонтальная (в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости)проекции этой точки должны находиться на одной линии связи.

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости.

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Скрещивающимися называются прямые, лежащие в параллельных плоскостях и не имеющие общих точек.

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Если прямые скрещивающиеся, то на КЧ их одноименные проекции могут пересекаться, но точки пересечений одноименных проекций не будут лежать на одной линии связи.

На рис. 3.4 точка С принадлежит прямой b, а точка D – прямой а. Эти точки находятся на одинаковом расстоянии от фронтальной плоскости проекций. Аналогично точки E и F принадлежат разным прямым, но находятся на одном расстоянии от горизонтальной плоскости проекций. Поэтому на КЧ их фронтальные проекции совпадают.

Возможны два случая расположения точки относительно плоскости: точка может принадлежать плоскости или не принадлежать ей (рис. 3.5).

Признак принадлежности точки и прямой плоскости:

Точка принадлежит плоскости, если принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если имеет с ней две общие точки или имеет с ней одну общую точку и параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости.

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

На рис. 3.5 изображена плоскость в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскостии точки D и Е. Точка D принадлежит плоскости, т. к. принадлежит прямой l, имеющей с этой плоскостью две общие точки – 1 и А. Точка Е не принадлежит плоскости, т.к. через нее нельзя провести прямую, лежащую в данной плоскости.

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

На рис. 3.6 показана плоскость в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскостии прямая t, лежащая в этой плоскости, т.к. имеет с ней общую точку 1 и параллельна прямой а.

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости.

Источник

Лекция 3. Плоскость

3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ1, фронтальный – απ2 и профильный – απ3, которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π1, фронтальной π2 и профильной π3 (Рисунок 3.2).

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А, В, С; линии АС, АВ, ВС; плоскость треугольника АВС

Фронтально-проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Горизонтально-проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).

Профильно-проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями.

Фронтальная плоскость уровня плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Горизонтальная плоскость уровня плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Профильная плоскость уровня плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5). Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

\left.\begin\alpha=m\parallel n,\\D\in\alpha\\C\in\alpha\\\end\right\> \Longrightarrow CD\in\alpha

Упражнение

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.7 – Решение задачи

3.4. Главные линии плоскости

В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π1) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π2) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π3) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.10 – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.11 – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).

\alpha=m\cap n\\\left.\begina_2\parallel m_2\\a_1\parallel m_1\\\end\right\> \Rightarrow a\parallel\alpha

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π1. (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Упражнение

Заданы: плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).

Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью

3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π1 или π2.
Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций.
Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.
Видимость на π2 (рис. 3.15)
Выберем точки, конкурирующие на π2 – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ, точка 4∈EF.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π2 надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π2.
Направление взгляда на π2 показано стрелкой.
По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π2, видно, что точка 41 располагается ближе к наблюдателю, чем 31.
41E1F1 ⇒ 4∈EF ⇒ на π2 будет видима точка 4, лежащая на прямой EF, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимость на π1.
Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π1 – точки 2 и 5.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π1 надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π1.
Направление взгляда на π1 показано стрелкой.
По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π1, видно, что точка 22 располагается ближе к наблюдателю, чем 52.
22А2В2 ⇒ 2∈АВ ⇒ на π1 будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и) «Y» больше.

3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)

Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.

Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).

Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС и проходит через точку K.

3.8. Взаимное положение двух плоскостей

3.8.1. Параллельность плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

Признак параллельности двух плоскостей : две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Упражнение

Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F∉α (Рисунок 3.17).

Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

3.8.2. Пересечение плоскостей

Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

Упражнение

Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

Упражнение

Алгоритм решения задачи :

\left.\beginAB\cap\sigma=K\\AC\cap\sigma=L\\\end\right\> \left.\begin\Rightarrow A_1B_1\cap\sigma_1=K_1 \rightarrow K_2\\\Rightarrow A_1C_1\cap \sigma_1=L_1 \rightarrow L_2\\\end\right.

KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL).

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

Упражнение

Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)

Алгоритм решения задачи :

\left.\begin\alpha\cap\sigma=(4-5)\\\beta\cap\sigma=(3-2)\\\end\right\>\\\left.\begin\alpha\cap\tau=(6-7)\\\beta\cap\tau=(1-8)\\\end\right\>\left.\begin(4_1-5_1)\cap(3_1-2_1)=M_1\rightarrow M_2\\(6_1-7_1)\cap(1_1-8_1)=N_1\rightarrow N_2\\\end\right\>\rightarrow\\\left.\beginM_1N_1\\M_2N_2\\\end\right\>\Rightarrow\alpha\cap\beta=MN

Упражнение

Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a//b. Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

Решение: Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π2, заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а. Следовательно (1-2)∩а=K. Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β. Следовательно, точка K, является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β. Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π2 (τb). Соединив точки K и L, получим прямую пересечения плоскостей α и β.

3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Упражнение

Задана плоскость σ⊥π2 и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)

Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

По теореме о проецировании прямого угла C1D1 должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ. Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

Упражнение

Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

3.9. Задачи для самостоятельного решения

1. Задана плоскость α = m//n (Рисунок 3.24). Известно, что K∈α.

Постройте фронтальную проекцию точки К.

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB, и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π2, если его диагональ MN //π2 (Рисунок 3.26).

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m, исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

5. Задана плоскость α=a//b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.

в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть фото в каком случае прямая принадлежит плоскости. Смотреть картинку в каком случае прямая принадлежит плоскости. Картинка про в каком случае прямая принадлежит плоскости. Фото в каком случае прямая принадлежит плоскости

6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D плоскость β⊥α и β⊥π1.

7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE//α и DE//π1.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *