в треугольнике авс ав 2 вс 4 ас 3 найдите в каком отношении

Урок-лекция «Теорема Менелая в задачах»

Урок-лекция «Теорема Менелая в задачах».

Данная теорема в школьном курсе математики относится к категории тех знаний, которые дают далеко не во всех школах, но для успешной сдачи ЕГЭ знать её совершенно необходимо, так как эта теорема применяется для решения геометрических задач №14 и №16. Также эта теорема часто используется для решения олимпиадных задач.

На ЕГЭ и различных олимпиадах часто встречаются задачи на нахождение отношений длин отрезков, площадей и объёмов. При решении таких задач часто удобно использовать теорему Менелая.

Начнём с задачи №1. Точка Р лежит на стороне АС треугольника АВС, причём АР:РС=1:3. Найти, в каком отношении медиана АМ делит отрезок ВР.

Ответ: 1:4. Решение несложное, но нужно догадаться сделать дополнительное построение, а это искусственный приём. Хотелось бы решить задачу, следуя определённому алгоритму. Этот алгоритм и даёт теорема Менелая. Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры).

Теорема Менелая.

(*)

Из подобия соответствующих треугольников получим:

.

Замечание. Справедлива и обратная теорема. Как она формулируется? Докажите её.

Соотношение (*) легко восстановить в памяти, если понять закономерность в записи отношений в нём. Выбираем треугольник и прямую, пересекающую две его стороны. Начинаем обход треугольника из какой-либо его вершины так, чтобы вершины чередовались с точками на сторонах.

Что будет, если прямая а пройдёт через вершину треугольника? Ответ: ничего. Теорема Менелая в этом случае не работает.

Что будет, если выбрать другую вершину для старта или пойти в другую сторону? Ответ: будет то же самое. Просто изменится последовательность дробей.

Решение 2 задачи №1. По теореме Менелая для  РВС и прямой АМ имеем:

.

Дополнительный вопрос: чему равно отношение площадей треугольников АОР и МОВ?

При решении задач на отношение площадей часто полезна формула для площади треугольника .

. Нужно найти отношение АО:ОМ. В этом снова поможет теорема Менелая, для D АМС и прямой ВР, имеем: . Тогда .

Упражнение. Начертите треугольник АВС и прямую, пересекающую две его стороны. Задайте два каких-либо отношения отрезков на сторонах и найдите третье отношение отрезков внутри треугольника. Каково отношение площадей полученных треугольников?

Задача №2. (Гор. Ол-да 2012/13, 9 кл). Точка K лежит на стороне А B треугольника АВС. Отрезок СК пересекает медиану АМ треугольника в точке Р, причём АР=АК. Найти отношение ВК:РМ.

Решение. По теореме Менелая для  АВМ и прямой СК имеем:

.

Задача №3. В треугольнике ABC проведена медиана BK, точка Р находится на отрезке ВС. О трезки ВК и АР пересекаются в точке М, причём ВР = МР, длина ВС = 1. Найти длину отрезка АМ.

По теореме Менелая для треугольника АСР и прямой ВК имеем :

. По условию АК = КС и ВР = РМ, поэтому СВ = МА = 1.

Рассмотрим задачи ОГЭ, ЕГЭ и олимпиад, в которых теорема Менелая используется совместно с другими геометрическими теоремами: подобием, теоремой Фалеса, свойством биссектрисы. Вспомним их.

З адача №4. (№8, Математика 6-8, июнь 1995). В треугольнике ABC проведена прямая, параллельная АС. Эта прямая пересекает сторону АВ в точке Р, медиану АМ – в точке Т, а сторону BС в точке К. Найти длину АС, если РТ=3, ТК=5.

Решение. По теореме Менелая для треугольника PKB и прямой AM имеем . (*)

З адача №5. (№ 26 ОГЭ). В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.
В Интернете встречается решение такой задачи с помощью дополнительного построения и далее либо подобия, либо нахождения площадей, и только после этого сторон треугольника. Т.е. оба этих способа требуют дополнительного построения. Однако решение такой задачи с помощью свойства биссектрисы и теоремы Менелая не требует никаких дополнительных построений. Оно гораздо проще и рациональнее.

По теореме Менелая для треугольника B Е C и прямой АД имеем . Но KE + BK=28, отсюда BK = 21; KE = 7.

По теореме Пифагора для треугольника A К B . По теореме Пифагора для треугольника A КЕ .

Ответ: AВ = 7√13; ВС=14  13; AC = 21√5.

З адача №6. ( № 2.18.2, Гордин, 2016). В треугольнике ABC высота AH равна 30, медиана BM равна 25, расстояние от точки пересечения отрезков BM и AH до стороны BC равно 6.

а) Докажите, что BH : CH =1 : 3.

б) Найдите площадь треугольника AMB.

а) По теореме Менелая для треугольника АСН и прямой ВМ имеем .

б) По теореме Менелая для треугольника ВСМ и прямой КН имеем . Так как ВМ=25, то ВК=10, ВМ=15. По теореме Пифагора ВН=8, тогда СН=24, а ВС=32.

Из  КНВ . . Ответ: 240.

В заключении заметим, что существует и пространственная теорема Менелая. Она связывает отношения отрезков, которые получаются на рёбрах тетраэдра при пересечении его плоскостью, не параллельной ни одной из его граней.

Задачи для самостоятельного решения.

№ 1. В треугольнике А ВС биссектриса AD делит сторону ВС в отношении BD : DC = 2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису (СЕ и AD пересекаются в точке О)?

а) Решить задачу, используя дополнительные построения.

б) Решить задачу с помощью теоремы Менелая. Ответ: 3:1.

№ 3. (МО Екатеринбург, 97/98, областной тур, 8 кл). На стороне BC треугольника ABC выбрана точка F. Оказалось, что отрезок AF пересекает медиану BD в точке E так, что AE = BC. Докажите, что BF = FE.

Источник

В треугольнике авс ав 2 вс 4 ас 3 найдите в каком отношении

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.

а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам

б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.

а) Обозначим K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, так как в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 3.

Рассмотрим треугольник ABC, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: BM : MC = AB : AC, учитывая, что длина BC равна 5, получаем: BM = 2; MC = 3.

В треугольнике MNC стороны NC и MC равны, следовательно, треугольник MNC — равнобедренный, с основанием MN. Значит, биссектриса угла C также является медианой и высотой. Таким образом, получаем, что биссектриса угла С делит отрезок MN пополам.

б) Рассмотрим треугольник PMN: отрезок PO перпендикулярен прямой MN и делит её пополам, следовательно, треугольник PMN — равнобедренный с основанием MN. Значит, PM = PN и отношение AP : PN = AP : PM.

В треугольнике AMC отрезок CP — биссектриса, поэтому AP : PM = AC : MC = 3 : 1.

Приведем другое решение.

а) Обозначим за K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, так как в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 3.

Далее, в видим, что KM является высотой и медианой, откуда следует, что треугольник BMN равнобедренный. Обозначим BM = MN = x, тогда MC = BC − BM = 5 − x.

Из по теореме косинусов получаем:

Из треугольника по теореме косинусов: откуда:

Таким образом получили, что MN = 2, MC = 3 — значит, треугольник MCN равнобедренный, откуда следует, что биссектриса CO является и высотой, и медианой. Значит, точка O — середина стороны MN. Что и требовалось доказать.

б) Опустим вспомогательный перпендикуляр из точки P на сторону AN (пересечение в точке H). Отрезок PH является радиусом вписанной окружности, так как P — точка пересечения биссектрис (а значит — центр вписанной окружности). Найдем радиус из формулы где S — площадь треугольника ABC, p — полупериметр треугольника, равный

Найдем площадь по формуле Герона:

Тогда

Из треугольника ABC вновь по теореме косинусов найдем косинус угла A (обозначим его за ):

Так как то

откуда

Тогда из получаем:

Найдем, что HN = AN − AH = 1, тогда из по теореме Пифагора:

Окончательно получаем, что

Источник

Обобщающий урок «Теоремы Менелая и Чевы»

Разделы: Математика

Оборудование: мультимедийный проектор. Приложение 1.

1. Организационный момент.

Точка С₁ делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 2 : 1. точка В₁ лежит на продолжении стороны АС за точку С, и АС = СВ₁. В каком отношении делит прямая В₁ С₁ сторону ВС? (на слайде 2).

Решение: По условиюИспользуя теорему Менелая, находим: .

В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К.

В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А? (на слайде 3).

В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NС = 3ВN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая МN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение . (на слайде 4).

Решение: По условию задачи МА = АС, NС = 3 ВN. Пусть МА = АС = b, BN = k, NC = 3k. Прямая МN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая

На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне РR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QR в отношении m : n, считая от точки Q. Найдите PN : PR. (на слайде 5).

Решение: По условию NQ = LR, . Пусть NA = LR = a, QF =km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая

3. Отработка практических навыков.

Докажите теорему: Медианы треугольника пересекаются в одной точке; точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины. (рисунок 1 слайд 6).

Доказательство: Пусть АМ₁, ВМ₂, СМ₃ – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ₁, ВМ₂ и СМ₃ пересекаются в одной точке. Имеем:

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М₃С пересекает две стороны треугольника АВМ₂ и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая

или .

Рассматривая теорему Менелая для треугольников АМ₁С и АМ₂С, мы получаем, что

. Теорема доказана.

Докажите теорему: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (рисунок 2 слайд 6).

Доказательство: Достаточно показать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) AL_1, BL_2, CL₃ пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника:

. Перемножая почленно полученные равенства, получаем: . Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Докажите теорему: Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке. (рисунок 3 слайд 6).

Доказательство: Пусть АН₁, АН_2, АН₃ – высоты треугольника АВС со сторонами a, b, c. Из прямоугольных треугольников АВН₂ и ВСН₂ по теореме Пифагора выразим, соответственно, квадрат общего катета ВН₂, обозначив АН₂ = х, СН₂ = b – х.

Итак, АН₂ = , СН₂ = .

Аналогично рассуждая для прямоугольных треугольников АСН₂ и ВСН₃, ВАН₁ и САН₁, получим АН₃ = , ВН₃ = и ВН₁ = ,

СН₁ = .

Для доказательства теоремы достаточно показать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АН₁, ВН₂ и СН₃ пересекаются в одной точке. Подставив в левую часть равенства выражения длин отрезков АН₃, ВН₃, ВН₁, СН₁, СН₂ и АН₂ через а, b, с, убеждаемся, что равенство Чевы для высот треугольника выполняется. Теорема доказана.

Задачи 5 – 7 самостоятельное решение 3 учащихся. (чертежи на экране).

2. остальные:

Докажите теорему: Если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон пересекаются в одной точке. (на рисунке 4 слайд 6).

Доказательство: Пусть А₁, В₁ и С₁ – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того, чтобы доказать, что отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

. Используя свойство касательных, проведенных из одной точки, введем обозначения: ВС₁ = ВА₁ = х, СА₁ = СВ₁ = у, АВ₁ = АС₁ = z.

. Равенство Чевы выполняется, значит, указанные отрезки (биссектрисы треугольника) пересекаются в одной точке. Эту точку называют точкой Жергона. Теорема доказана.

3. Разбор задач 5, 6, 7.

Пусть АD – медиана треугольника АВС. На стороне АD взята точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников. (на слайде 7 рисунок 1)

Решение: Пусть АD = DC = a, KD = m, тогда АК = 3m. Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то = . По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем: . Итак, = .

В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А₁ и С₁ – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА₁ и СС₁. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ₁. Найдите АР : РА₁.

(на слайде 7 рисунок 2)

Решение: Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В₁, так как треугольник АВС – разносторонний. Пусть С₁В = х, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см рисунок) 8 – х + 5 – х = 4, х = .

В треугольнике АВА₁ прямая С₁С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая .

Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник. (на слайде 7).

Решение: Пусть в треугольнике АВС АВ = 5, ВС = 7, АС = 6. Угол ВАС лежит против большей стороны в треугольнике АВС, значит, угол ВАС – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Пусть О – точка пересечения биссектрис. Необходимо найти АО : ОD. Так как АD – биссектриса треугольника АВС, то , то есть BD = 5k, DС = 6k. так как BF – биссектриса треугольника АВС, то , то есть AF = 5m, FC = 7m. Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC. По теореме Менелая .

4. Самостоятельное решение задач 9, 10, 11. – 3 учащихся.

Задача 12 (для всех оставшихся учащихся класса):

Биссектрисы ВЕ и АD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQD = 1, 2АС = 3 АВ, 3ВС = 4 АВ. (рисунок 4 на слайде 7).

Треугольники АВС и ВЕС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, значит, , тогда S_ABC = _.

5. Разбор задач 9, 10, 11.

Решение задач – практикум:

А. На сторонах ВС, СА, АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ взяты точки А_1, В₁, С_1, так что прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ – конкурентные.

Докажите, что

По теореме Чевы имеем: (1 ).

.

Что и требовалось доказать.

По теореме Менелая для треугольника АВС и секущей MN имеем:

. По условию следовательно ,

Для треугольника MNC и секущей АВ по теореме Менелая имеем: по условию

8. Самостоятельное решение задач: 1 вариант:

1. На продолжениях сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁, В₁ так, что АВ = ВС₁, ВС = СА₁, СА = АВ₁. Найдите отношение в котором прямая АВ₁ делит сторону А₁С₁ треугольника А₁В₁С₁. (3 балла).

2. На медиане СС₁ треугольника АВС взята точка М. Прямые АМ и ВМ пересекают стороны треугольника соответственно в точках А₁ и В₁. Докажите, что прямые АВ и А₁В₁ параллельны. (3 балла).

3. Пусть на продолжении сторон АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁ и В_1. Докажите, что точки А₁, В_1, С₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство . (4 балла).

4. Используя теорему Чевы, докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. (4 балла).

5. Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля). (Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон). (5 баллов).

6. Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁ и В₁ так, что прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в точке О. Докажите, что выполняется равенство . (5 баллов).

7. Пусть на ребрах АВ, ВС, СD и АD тетраэдра АВСD взяты соответственно точки А₁, В₁, С₁, D_1. Докажите, что точки А₁, В₁, С₁, D₁ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда выполняется равенство (5 баллов).

1. Точки А₁ и В₁ делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях 2 : 1 и 1 : 2. Прямые АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь треугольника ОВС. (3 балла).

2. Отрезок МN, соединяющий середины сторон АD и ВС четырехугольника АВСD делится диагоналями на три равные части. Докажите, что АВСD – трапеция, одно из оснований АВ или СD, которое в двое больше другого. (3 балла).

3. Пусть на стороне АВ и продолжении сторон ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁ и В₁. Докажите, что прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство . (4 балла).

4. Используя теорему Чевы, докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. (4 балла).

5. Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля). (Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон). (5 баллов).

6. Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁, В₁ так, что прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке О. Докажите, что выполняется равенство . (5 баллов).

7. Пусть на ребрах АВ, ВС, СD и АD тетраэдра АВСD взяты соответственно точки А₁, В₁, С₁, D_1. Докажите, что точки А₁, В₁, С₁, D₁ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда выполняется равенство (5 баллов).

9. Домашнее задание: учебник § 3, № 855, № 861, № 859.

Источник