в условиях предыдущей задачи какое число может быть записано на доске после применения 2020 операций

21.07.202231.07.2022 admin 0 Comments

СРОЧНО. На доске написаны числа 1,2,…,21. За одну операцию разрешается стереть два числа a и b и вместо них записать на доску

Ответ:

Объяснение:

Очевидно, что после каждой операции становится на одно число меньше, соответственно, после 20-ти на доске останется единственное число. Сумма всех чисел тоже будет уменьшаться на 1 очередной раз. Из этого следует, что окончательное число — сумма всех начальных минус 20, то есть 1+2+. +19+21=(1+19)/2×19+21=19×10+21=211

Ученик некоторую часть работы выполняет за 3 дня, то есть за 3 дня он выполнит 1 такую часть работы. Рабочий выполняет такую же часть работы за 1 день, значит за 3 дня он выполнит 3 такие части. Следовательно вся работа состоит из :

В задаче спрашивается:» за сколько дней, работая отдельно, может выполнить эту работу ученик?». Если он одну часть работы выполняет за 3 дня, то 4 такие части он выполнит за 3 * 4 = 12 дней.

Источник

В условиях предыдущей задачи какое число может быть записано на доске после применения 2020 операций

Задача 1:

В алфавите языка племени УЫУ всего две буквы: У и Ы, причем этот язык обладает такими свойствами: если из слова выкинуть стоящие рядом буквы УЫ, то смысл слова не изменится. Точно так же смысл слова не изменится при добавлении в любое место слова буквосочетания ЫУ или УУЫЫ. Можно ли утверждать, что слова УЫЫ и ЫУУ имеют одинаковый смысл?

Решение:

Обратите внимание, что при любой разрешенной нам операции добавления или выкидывания куска слова количества букв У и Ы в этом куске равны. Это означает, что разность между числом букв У и букв Ы в слове не изменяется. Проследите это на примере

Ы → ЫЫУ → ЫУУЫЫЫУ → ЫУЫЫУ

Во всех этих словах букв Ы на одну больше, чем букв У. Вернемся к решению. В слове УЫЫ разность равна ( – 1), а в слове ЫУУ равна 1. Значит, из слова УЫЫ нельзя разрешенными операциями получить слово ЫУУ, и следовательно, нельзя утверждать, что эти слова обязательно имеют одинаковый смысл.

Задача 2:

Круг разделен на 6 секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора. Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?

Решение:

Занумеруем сектора по кругу числами от 1 до 6 и для любой расстановки фишек рассмотрим следующую величину S – сумму номеров секторов, в которых стоят данные нам 6 фишек (с учетом кратности).

Очевидно, что при сдвиге фишки в соседний сектор соответствующее ей слагаемое в сумме S меняет четность. Значит, если сдвигаются одновременно две фишки, то четность величины S не меняется – она инвариантна. Для начальной расстановки S = 21. Если же все фишки находятся в одном секторе с номером A, то S = 6A – это четное число (а 21 – число нечетное). Следовательно, из исходной расстановки нельзя получить расстановку, в которой все 6 фишек находятся в одном секторе.

Задача 3:

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 19, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число a + b – 1. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

Решение:

Для любого набора из n чисел на доске рассмотрим следующую величину X: сумму всех чисел, уменьшенную на n. Допустим, что с набором произведено описанное в условии преобразование. Как же изменится эта величина? Если сумма всех чисел набора, кроме a и b, равна S, то до преобразования величина X равнялась S + a + b – n, а после преобразования X = S + (a + b – 1) – (n – 1) = S + a + b – n. Итак, значение величины X не изменилось, она – инвариант. Исходно (для набора из условия задачи) X = (1 + 2 + … + 19 + 20) – 20 = 190. Значит, и после 19 операций, когда на доске останется одно число p, X также будет равно 190. Но по своему определению, в этот момент X будет равно p – 1. Значит, p = 191. Следовательно, число, оставшееся на доске обязательно будет равно 191.

Задача 4:

На доске выписаны числа 1, 2, …, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их на число ab + a + b. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

Подсказка: В качестве инварианта рассмотрите следующую величину: произведение всех чисел на доске, предварительно увеличенных на 1.

Задача 5:

На шести елках сидят шесть чижей, на каждой елке – по чижу. Елки растут в ряд с интервалами в 10 метров. Если какой-то чиж перелетает с одной елки на другую, то какой-то другой чиж обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении. Могут ли все чижи собраться на одной елке? А если чижей и елок – семь?

Решение:

В качестве инварианта рассмотрите следующую величину: пусть каждый чиж получает номер, равный номеру елки, на которой он сидит (считая слева). Тогда сумма номеров чижей S – инвариант.

Задача 6:

В таблице 8 × 8 одна из клеток закрашена черным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

Задача 7:

В таблице 3 × 3 одна из угловых клеток закрашена черным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

Решение:

Докажите, что четность числа черных клеток среди четырех угловых не меняется при перекрашиваниях.

Задача 8:

В таблице 8 × 8 все четыре угловые клетки закрашены черным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

Решение:

Докажите, что четность числа черных клеток в квадрате из клеток a1, a2, b1, b2 не меняется при перекрашиваниях.

Задача 9:

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 1989. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них разность этих чисел. Можно ли добиться того, чтобы все числа на доске были нулями?

Решение:

Проверьте, что четность суммы чисел на доске неизменна.

Задача 10:

В стране Серобуромалин живет 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разного цвета, они одновременно приобретают окраску третьего цвета (например, серый и бурый становятся малиновыми). Может ли через некоторое время оказаться, что все хамелеоны имеют один цвет?

Решение:

В чем состоит описанная операция? В том, что «пропадают» два хамелеона двух разных цветов и «появляются» два хамелеона третьего цвета. Если догадаться о том, что величину-инвариант нужно определять по набору чисел (a, b, c), где a, b и c – количества серых, бурых и малиновых хамелеонов соответственно, то дальше решение получается почти сразу же. В самом деле, операция, описанная в условии, означает то, что из набора (a, b, c) получается набор (a – 1, b – 1, c + 2) или набор (a – 1, b + 2, c – 1) или набор (a + 2, b – 1, c – 1) – все зависит от того, в какой цвет перекрашивается хамелеоны. Очевидно, что разности между числами набора либо не меняются, либо изменяются на 3, а значит, остатки этих разностей при делении на 3 не меняются – они инвариантны. Но в начале a – b = 13 – 15 = – 2, а в случае, если все хамелеоны малиновые, a – b = 0 – 0 = 0.Числа 0 и – 2 имеют разные остатки при делении на 3, что и доказывает невозможность такого положения дел в стране. Аналогично разбираются и случаи, когда все хамелеоны стали серыми, или все стали бурыми.

Задача 11:

В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа + 1 и – 1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят + 1. Разрешается изменять знак в любых k подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число – 1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если а) k = 3; б) k = 4; в) k = 6?

Решение:

Ответ во всех пунктах отрицателен. Доказательство проходит по единой схеме: отметим некоторое множество вершин, обладающее тем свойством, что любой набор из k вершин подряд содержит четное число отмеченных вершин.

В качестве инварианта рассмотрим произведение всех чисел в отмеченных вершинах. В начале оно равно – 1, а в случае, когда число – 1 сместилось в соседнюю слева (неотмеченную) вершину, равно 1. Инвариантность же введенной величины следует из описанного выше свойства множества отмеченных вершин.

Источник

В условиях предыдущей задачи какое число может быть записано на доске после применения 2020 операций

На доске записано число 2. Разрешается записывать новые числа, применяя одну из операций:

1) можно увеличить любое из записанных чисел на 3;

2) можно любое из записанных чисел возвести в квадрат.

Можно ли в какой‐то момент получить на доске число:

в) За какое наименьшее число ходов можно получить на доске число 2017?

а) (операция прибавления тройки повторяется 671 раз).

б) Если число не кратно трем, то и после применения любой из двух операций оно не будет кратно трем. Поэтому получить 2016 нельзя.

в) Посмотрим, из чего могло получиться число 2017. Поскольку оно не квадрат, то только из числа 2014, а оно только из 2011 и так далее до

Ответ: а) да, б) нет, в) 42.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); Источник Математический кружок 7 класс Решения занятия №4 Инварианты. Инвариант – это то, что остается неизменным. 1. На доске написаны числа от 1 до 20. Можно стереть любые два числа a и b и записать вместо них число a + b. Какое число получится в итоге? Решение. Сумма всех написанных на доске чисел не меняется. В самом деле при каждой операции мы сначала ее уменьшаем на a и b, а потом увеличиваем на a+b. Значит, потом, когда останется ровно одно число, оно будет равно сумме всех чисел написанных на доске вначале. То есть равно 1+2+…+20=210. Замечание 1. Сумму чисел от 1 до 20 проще всего посчитать так. Разобьем все эти числа на пары – 1 и 20, 2 и 19, 3 и 18 и т. д. 10 и 11. Тогда сумма чисел в каждой паре равна 21. А всего пар 10. Значит сумма всех чисел от 1 до 20 равна 210. Замечание 2. Инвариантом в этой задаче является сумма всех написанных на доске чисел. 2. На доске написаны числа от 1 до 20. Можно стереть любые два числа a и b и записать вместо них число a + b – 1. Какое число получится в итоге? Решение 1. При каждой операции количество всех чисел уменьшается на 1. Вначале чисел было 20, значит, одно число останется после 19 операций. При каждой операции сумма всех чисел написанных на доске уменьшается на 1. Значит, за 19 операций сумма всех написанных на доске чисел уменьшится на 19. Вначале она была 210, значит, в конце будет 210-19=191. Решение 2. (Из книги Генкин, Итенберг Фомин «Ленинградские математически кружки». Книгу можно найти в интернете по адресу http://www. math. ru/lib/files/djvu/len-kruzhki. djvu). Для любого набора из n чисел рассмотрим следующую величину X: сумму всех чисел уменьшенную на n. Допустим, что с набором произведено описанное в условии преобразование. Как изменится эта величина? Если сумма всех чисел набора кроме a и b равна S, то до преобразования величина X равнялась S+a+b—n, а после преобразования X=S+(a+b-1)-(n-1)=S+a+b—n. Итак, значение величины X не изменилось, она ‑ инвариант. Исходно (для набора из условия задачи) X=(1+2+…+20)-20=190. Значит, и после 19 операций, когда на доске останется одно число p, X будет равно 190. Но, по своему определению, в этот момент X будет равно p-1. Значит p=191. Следовательно, оставшееся на доске число будет равно 191 3. На доске написаны десять чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными? Решение. Проследим за суммой всех чисел. При операции из условия эта сумма увеличивается на 2. Значит, четность суммы всех чисел не меняется, она инвариант. В начале сумма всех чисел равна 1+2+…+9+10=45. То есть сумма была нечетной. А если все числа сделать равными какому-то числу n, то их сумма станет равно 10n – четное число. Следовательно, сделать все числа равными невозможно. Замечание. Сумму чисел от 1 до 10 можно подсчитать аналогично Замечанию 1. А можно не считать, а заметить что она нечетная так как в ней участвует 5 нечетных слагаемых – 1,3,5,7,9. 4. В клетках таблицы 3×3 стоят нули. Можно прибавлять по 1 к клеткам любого квадрата 2 × 2. Можно ли получить таблицу как на рисунке? Решение. Аналогично предыдущей задаче проследим за суммой всех чисел в таблице. Даже проще – будем следить за четностью суммы всех чисел. Тогда если таблица заполнена нулями, то сумма всех чисел равна 0 – четная. Если мы прибавляем по 1 к клеткам квадрата 2 × 2, то сумма увеличивается на 4 – четность не меняется. А в таблице на рисунке нечетная так как там ровно 5 нечетных слагаемых – 5,11,13,7 и снова 11. Замечание. В этой, прошлой и во всех следующих задачах видна главная идея применения инварианта. У нас есть некие объекты, над ними можно производить определенный преобразования и задается вопрос – можно ли из одного объекта получить другой. Мы строим величину, которая не меняется при указанных преобразованиях. Если значения этой величины на двух указанных объектах разные, то из одного объекта другой получить нельзя! Эта не меняющаяся величина называется инвариантом. 5. С числом разрешается проделывать следующие операции: прибавлять 9 или заменять число на сумму его цифр. Можно ли такими операциями из числа 9 получить число 8? Решение. В начале наше число равно 9 то есть делится на 9. Если к делящемуся на 9 числу прибавить 9, то сумма снова будет делится на 9. Если у делящегося на 9 числа посчитать сумму его цифр то снова получится число делящееся на 9 (по признаку делимости на 9). Значит, у нас все время будут получаться числа делящиеся на 9 и числа 8 не получится. 6. В языке Древнего Племени алфавит состоит всего из двух букв: «М» и «О». Два слова являются синонимами, если одно из другого можно получить при помощи исключения или добавления буквосочетаний «МО» и «ООММ», повторяемых в любом порядке и любом количестве. Являются ли синонимами в языке Древнего Племени слова «ОММ» и «МОО»? 7. 100 фишек, пронумерованных числами от 1 до 100 поставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке? Решение. Пронумеруем места, на которых стоят фишки. В итоге же картинка должна стать такой: Итак, если изначально фишка стояла на четном месте, то должна оказаться на нечетном месте, но это невозможно, так как разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку (если фишка лежала на четном месте, то ее можно переложить только на четное место). То есть четность места фишки является инвариантом. 8. На столе стоят 10 стаканов. Из них 9 стаканов стоят правильно, а один перевернут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно? Решение. Посмотрим на следующую величину – четность числа неправильно стоящих стаканов. Она не меняется при операциях из условия! Действительно, o если мы переворачиваем 4 правильных стакана, то количество неправильных увеличивается на 4, o если мы переворачиваем 1 неправильный и 3 правильных стакана, то количество неправильных увеличивается на 2, o если мы переворачиваем 2 неправильных и 2 правильных стакана, то количество неправильных не меняется, o если мы переворачиваем 3 неправильных и 1 правильный стакан, то количество неправильных уменьшается на 2, o наконец, если мы переворачиваем 4 неправильных стакана, то количество неправильных уменьшается 4. Однако вначале у нас ровно 1 неправильный стакан, а мы хотим, чтобы их стало 0. Это невозможно. 9. Клетки доски 9×9 покрашены в шахматном порядке. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые две соседние клетки. Можно ли с помощью таких операций перекрасить всю доску в чёрный цвет? А в белый? Ответ: в белый цвет нельзя, в черный – можно. (при раскраске квадрата как на рисунке) Решение. Докажем, сначала, что в белый цвет перекрасить квадрат не удастся. У нас вначале 40 белых и 41 черная клетка. При перекрашивании двух клеток количество белых либо увеличивается на 2, либо уменьшается на 2 либо не меняется. В любом случае число белых клеток остается четным. Значит сделать так, что белых клеток будет 81 – не получится. Черных клеток сразу нечетное количество, поэтому есть шанс что сделать всю доску черной удастся (хотя это еще не доказательство – может есть еще препятствия кроме четности общего количества). А перекрасить доску в черный можно например так. Разобьем доску на прямоугольники 1´4 и еще одну черную клетку как показано на верхнем рисунке. После этого каждый прямоугольник 1´4 перекрасим в черный цвет как показано на нижнем рисунке и мы получим квадрат 9×9 полностью перекрашенный в черный цвет. 10. Круг разделили на 6 секторов, в каждом лежит селедка. За ход можно одну селедку передвинуть в соседний сектор. Можно ли собрать все селедки в одном секторе ровно за 20 ходов? Решение. Занумеруем сектора по часовой стрелке числами от 1 до 6. Для любого расположения селедок рассмотрим величину S – сумму номеров секторов, в которых лежат данные нам 6 селедок (при этом если в каком-то секторе лежит две селедки, то его номер учитывается дважды, если три селедки – трижды и т. д. Например, для ситуации, приведенной на рис. эта величина равна 1+2+3+3+5+6=20). Тогда, если мы перекладываем селедку на соседний сектор, S меняется или на 1 или на 5 (если мы перекладываем с 1 на 6 или наоборот). В любом случае четность S меняется. Следовательно, после 20 ходов четность S будет такая же, как в начале. В начале S=1+2+3+4+5+6=21. А если бы все селедки лежали в одном секторе с номером n, то S равнялось бы 6n – четное число. Значит, собрать все селедки в одном секторе за 20 ходов не получится. Источник В условиях предыдущей задачи какое число может быть записано на доске после применения 2020 операций а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого? б) Может ли число k быть равным 11? в) Найдите наибольшее возможное значение числа k. а) Если в каждой паре одно число втрое больше другого, то сумма чисел в каждой паре делится на 4. Значит, сумма всех выбранных чисел делится на 4. Число 170 не делится на 4, поэтому такого быть не может. б) Если то выбраны все 22 числа от 1 до 22. Их сумма равна 253. С другой стороны, по условию суммы чисел в каждой паре различны и не превосходят 27. Значит, их сумма не превосходит Полученное противоречие показывает, что число k не может быть равным 11. в) В предыдущем пункте было показано, что k не может равняться 11. Десять пар (13; 14), (11; 15), (9; 16), (7; 17), (5; 18), (3; 19), (1; 20), (2; 8), (4; 10), (6; 12) удовлетворяют всем условиям задачи. Значит, наибольшее возможное значение числа k — это 10. Ответ: а) нет; б) нет; в) 10. По кругу записано несколько (два и более) различных натуральных чисел. Каждое число или в три раза больше соседнего слева числа, или на два меньше. а) Могут ли быть выписаны и число 5, и число 6? б) Могут ли быть выписаны ровно семь чисел? в) Какое максимальное значение может иметь наибольшее из выписанных чисел, если сумма всех выписанных чисел не превосходит 2021? а) Заметим, что если число нечетное, то и при умножении его на 3 и при уменьшении на 2 получится снова нечетное число, а за ним снова нечетное и так далее. Значит, если есть число 5, то все числа нечетны, а тогда числа 6 быть не может. б) Да, например, если записать числа 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6. в) Рассмотрим наибольшее число на круге. Ясно, что оно больше своего соседа слева втрое. Пусть оно равно 3x. Тогда следом за ним записаны числа . х (потому что если утроить любое из этих чисел, кроме x, результат будет больше, чем 3x). Поскольку числа различны, то получившееся x замыкает круг. Поэтому общая сумма чисел равна Поскольку и функция возрастает, получаем, что и Пример для числа 93 — набор с суммой 1984. Ответ: а) нет, б) да, в) 93. Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю. б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1. в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4. Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; −2); (−2; 1); (−3; 4); (4; −3); (−5; 7); (7; −5); (−8; 9); (9; −8). Ответ : а) нет; б) нет; в) 4. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю. б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1. в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4. Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1;−2); (−2;1); (−3;4); (4;−3); (−5;7); (7;−5); (−8;9); (9;−8). Ответ: а) нет; б) нет; в) 4. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю. б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1. в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4. Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1;−2); (−2;1); (−3;4); (4;−3); (−5;7); (7;−5); (−8;9); (9;−8). Ответ: а) нет; б) нет; в) 4. Допускается возможность, что число 9 при перемешивании и переворачивании карточки даст число 6? «Скрипач, ты что, дальтоник? Зеленую точку от оранжевой отличить не можешь?» (с) Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел: −11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному из чисел: −11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 117? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться 0. б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 117. в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому все произведение делится на 4. Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (−11; 12), (12; −11), (13; −14), (−14; 13),(−15; 17), (17; −15), ( −18; 19), (19; −18), Ответ: а) нет; б) нет; в) 4. Аналоги к заданию № 500017: 514921 500452 500472 500966 Все б) Если 117 разложить на множители, то их получится всего 3, хотя в произведении участвуют 8 членов, следовательно в рез-те не может получиться 117. Будет ли это альтернативным решением? Подправьте решение, пожалуйста, если да Адель, число 117 можно получить, перемножив 8 чисел: Поэтому Вашего утверждения недостаточно. Число 117 состоит из простых множителей 3313, но 13 нельзя получить суммой каких-то двух чисел из тех, что в задании (как ещё один вариант решения). и 39 − нельзя (как дополнение к Вашему рассуждению) На проекте «Мисс Чмаровка−2016» выступление каждой участницы оценивают шесть судей. При этом каждый судья выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за выступление Изольды Кабановой все члены жюри выставили различные оценки. По старой системе оценивания итоговый балл за выступление определяется как среднее арифметическое всех оценок судей. По новой системе оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и считается среднее арифметическое четырех оставшихся оценок. а) Могут ли итоговые баллы, вычисленные по старой и новой системам оценивания, оказаться одинаковыми? б) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, оказаться равной в) Найдите наибольшее возможное значение разности итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания. Упорядочим оценки судей: Тогда изучаемая величина равна а) Да, например, при эта разность равна нулю. б) Нет. Очевидно, при умножении разности на 12 получается целое число, но в) Возьмем любые баллы и попробуем их изменить так, чтобы разность выросла. Если то заменим его на 10. Если то заменим b на Потом также заменим c, d, e на Получим Значение достигается при оценках 0, 1, 2, 3, 4, 10. Ответ: а) да; б) нет; в) Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 10 сумм перемножают. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? а) Предположим, что c = 0. Тогда в произведении найдётся нулевой множитель, то есть для некоторого k. Но это невозможно, так как в данном наборе ни для какого числа a_k нет ему противоположного по знаку. Значит, 0 получиться не может. б) Предположим, что c нечётно. Тогда в произведении каждый множитель должен быть нечётным, то есть нечётно для любого Возникшее противоречие показывает, что c обязано быть чётным. В частности, 1 получиться не может. в) Далее считаем, что c > 0. Предположим, что c = 2. Тогда в произведении ровно один из множителей по модулю равен 2, а все остальные по модулю равны 1. Иными словами, для некоторого m и для всех остальных k. Значит, случай c = 2 невозможен. Поскольку c чётно, имеем оценку: Приведём пример, в котором достигается равенство c = 4. Пусть сначала на карточках написаны числа в исходном порядке: Затем на тех же карточках оказались числа: Следовательно, наименьшее неотрицательное значение c равно 4. Ответ: а) нет; б) нет; в) 4. В каждой из девяти ячеек строки слева направо в некотором (возможно, ином) порядке расставлены по одному 9 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. а) Могло ли оказаться так, что среди любых четырёх подряд (идущих слева направо) из этих чисел есть ровно одно, делящееся на 3, и ровно одно, делящееся на 4? б) Могло ли оказаться так, что среди любых четырёх подряд (идущих слева направо) из этих чисел есть ровно одно, делящееся на 3, а среди любых двух подряд (идущих слева направо) из этих чисел есть ровно одно простое число? в) Какое наибольшее значение может принимать произведение суммы всех чисел, стоящих на нечётных местах, и суммы всех чисел, стоящих на чётных местах этой строки? а) Да, например, если числа написаны так: 3, 1, 2, 4, 6, 5, 7, 8, 9. б) Предположим, что это возможно. Тогда между любыми двумя ближайшими из делящихся на 3 чисел 3, 6 и 9 должны стоять ровно три других числа. Значит, число 3 стоит на первом, пятом или девятом месте. Также среди этих чисел ровно 4 простых: 2, 3, 5 и 7. Простые и составные числа должны чередоваться. Следовательно, число 3 стоит на втором, четвёртом, шестом или восьмом месте. Пришли к противоречию. Значит, числа не могли быть расставлены указанным образом. в) Обозначим через n сумму всех чисел, стоящих на нечётных местах. Поскольку сумма всех чисел строки равна 45, произведение суммы всех чисел, стоящих на нечётных местах, и суммы всех чисел, стоящих на чётных местах этой строки, равно При всех натуральных n это произведение не превосходит Пусть числа расставлены так: 2, 1, 3, 6, 4, 7, 5, 8 и 9. Тогда и Следовательно, наибольшее значение, которое может принимать произведение суммы всех чисел, стоящих на нечётных местах, и суммы всех чисел, стоящих на чётных местах этой строки, равно 506. Ответ: а) Да; б) нет; в) 506. В каждой из девяти ячеек строки слева направо в некотором (возможно, ином) порядке расставлены по одному 9 чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10. а) Могло ли оказаться так, что среди любых четырёх подряд (идущих слева направо) из этих чисел есть ровно одно, делящееся на 3, и ровно одно, делящееся на 4? б) Могло ли оказаться так, что среди любых четырёх подряд (идущих слева направо) из этих чисел есть ровно одно, делящееся на 3, а среди любых двух подряд (идущих слева направо) из этих чисел есть ровно одно простое число? в) Какое наибольшее значение может принимать произведение суммы всех чисел, стоящих на нечётных местах, и суммы всех чисел, стоящих на чётных местах этой строки? а) Да, например, если числа написаны так: 3, 10, 2, 4, 6, 5, 7, 8, 9. б) Предположим, что это возможно. Тогда между любыми двумя ближайшими из делящихся на 3 чисел 3, 6 и 9 должны стоять ровно три других числа. Значит, число 3 стоит на первом, пятом или девятом месте. Также среди этих чисел ровно 4 простых: 2, 3, 5 и 7. Простые и составные числа должны чередоваться. Следовательно, число 3 стоит на втором, четвёртом, шестом или восьмом месте. Пришли к противоречию. Значит, числа не могли быть расставлены указанным образом. в) Обозначим через n сумму всех чисел, стоящих на нечётных местах. Поскольку сумма всех чисел строки равна 54, произведение суммы всех чисел, стоящих на нечётных местах, и суммы всех чисел, стоящих на чётных местах этой строки, равно При всех натуральных n это произведение не превосходит Пусть числа расставлены так: 2, 10, 3, 6, 5, 7, 8, 4 и 9. Тогда и Следовательно, наибольшее значение, которое может принимать произведение суммы всех чисел, стоящих на нечётных местах, и суммы всех чисел, стоящих на чётных местах этой строки, равно 729. Ответ: а) Да; б) нет; в) 729. Аналоги к заданию № 555721: 555901 Все Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой карточке написано натуральное число. Среднее арифметическое всех чисел равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2. а) Может ли быть 10 синих карточек? б) Может ли быть 10 красных карточек? в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть? Пусть − сумма на синих карточках, − сумма на красных карточках. Тогда а) Приведем пример. На каждой из сорока красных карточек написана 1. На синих карточках написаны числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 706 (760 − 54). Эти числа удовлетворяют системе. б) Если красных карточек 10, то наибольшее число на красных карточках не может быть меньше 4 (иначе сумма на красных карточках не превосходит что неверно). Тогда минимальное число на синих карточках не меньше 5. Тогда сумма на 40 синих карточках не меньше, чем Противоречие. в) Приведем пример для 35 синих карточек и 15 красных. На двенадцати красных карточках написано 3, на двух 1, и на одной 2. На синих карточках написано: Если же синих карточек больше 35, то красных меньше 15. Наибольшее число на красных карточках не может быть меньше 3 (иначе сумма на красных карточках не превосходит что неверно). Тогда минимальное число на синих карточках не меньше 4. Тогда сумма на синих карточках не меньше, чем Противоречие. Ответ: а) да, б) нет, в) 35. Имеются зеленые и желтые карточки, всего их 80 штук. На каждой карточке написано натуральное число, а среднее арифметическое всех чисел равно 31. Все числа на желтых карточках разные. При этом любое число на желтой карточке больше любого числа на зелёной карточке. Числа на желтых карточках увеличили в 3 раза, после этого среднее арифметическое всех чисел стало равно 88. а) Может ли быть ровно 50 желтых карточек? б) Может ли быть ровно 15 зеленых карточек? в) Какое наибольшее количество желтых карточек может быть? Общая сумма чисел составляет Пусть было n зеленых карточек с суммой на них S и желтых карточек с суммой на них После утроения сумма чисел на желтых карточках также утроилась, поэтому откуда и Кроме того, можно изменить числа на карточках следующим образом: если среди чисел на зеленых карточках есть два, отличающихся больше чем на 1, можно увеличить меньшее из них и уменьшить большее из них на 1 — это не повлияет ни на сумму, ни на то, что все числа на желтых карточках больше, чем все числа на зеленых. Продолжая такие действия, можно добиться того, что числа на зеленых карточках принимают лишь два соседних натуральных значения (пусть это x и тогда поэтому на самом деле ). Затем будем уменьшать наименьшее из чисел на желтых карточках и увеличивать наибольшее до тех пор, пока наименьшее не станет равно После этого будем изменять следующее по величине, пока оно не станет равно и так далее. в) Ясно, что с увеличением числа желтых карточек увеличивается и минимально возможное число (поскольку сумма меньшего количества чисел на зеленых карточках постоянна, то при меньшем их количестве максимальное из них будет больше), значит, увеличивается и требуемая сумма чисел на желтых карточках. В то же время она не должна превзойти 2280. Как уже было показано, что для сумма всех желтых, кроме одной, равна 1568, а для сумма равна 2976. Попробуем подобрать ответ. Возьмем среднее между 50 и 65 количество — 57 желтых карточек и 23 зеленых. На них числа, максимальное из которых не меньше значит, минимальная сумма чисел на всех желтых, кроме одной, равна и можно добавить карточку с числом 180. Но это уже очень близко к нужному ответу. Проверим 58 желтых карточек и 22 зеленых. На них числа, максимальное из которых не меньше то есть желтые карточки содержат числа, не меньшие 11, значит, минимальная сумма чисел на всех желтых равна поэтому столько желтых карточек взять нельзя. Источник ← в условиях полной занятости наблюдается какая безработица в условиях тумана какие фары включать → Вам также понравится исаакиевский собор подняться на колоннаду время работы 21.07.202202.08.2022 admin 0 журнал учета проведения практических тренировок по эвакуации 21.07.202231.07.2022 admin 0 блин я же опаздываю на украинский тик ток 13.07.202212.07.2022 admin 0 Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев. Δ Текущие курсы криптовалют: Сможешь выиграть у ИИ? Ваш ход Свежие записи Отличная книга современного автора Брэнди Скиллачи, С. А. Лозинская, INSPIRIA с названием Убийство в заброшенном поместье доступна прямо сейчас для чтения и скачивания в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. Отличная книга современного автора Селина Аллен с названием Свет в ее глазах доступна прямо сейчас для чтения и скачивания в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. Отличная книга современного автора Виктор Дашкевич с названием Демон из Пустоши доступна прямо сейчас для чтения и скачивания в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. Отличная книга современного автора Мари Мур с названием Мир Аматорио. Разрушенный доступна прямо сейчас для чтения и скачивания в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. Отличная книга современного автора Татьяна Корсакова с названием Марионетки доступна прямо сейчас для чтения и скачивания в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. Свежие комментарии Артём к записи как свести ум в сердце Игрик к записи Молот ведьм о чем Александр Викторович Каверин к записи 24000ru дайте денег просто так Николай к записи женский монастырь в приморском крае Константин к записи Мсц цопо что это Контакты для Роскомнадзора - informationforweb2023@gmail.com Все права сохранены. © 2025 Образовательно-развлекательный портал Внимание! Информация, опубликованная на сайте, носит исключительно ознакомительный характер и не является рекомендацией к применению. Материалы могут содержать информацию, предназначенную для пользователей старше 18 лет. 18+.