аксиома параллельных прямых что такое аксиома

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Аксиома параллельных прямых

Перечень рассматриваемых вопросов:

Аксиома – это утверждение, которое принимается в качестве исходного, без доказательства в рамках данной теории.

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Если две прямые, параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Геометрия на плоскости изучает фигуры: сначала даются их определения, затем доказываются свойства или отношения в виде теорем.

Однако есть утверждения, которые принимаются в качестве исходных, они не доказываются. Это аксиомы.

Аксиома – происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Изначально имело смысл «самоочевидная истина».

Теорема – греческое слово, означает «зрелище, представление». В математике греков употреблялось в смысле «истина, доступная созерцанию».

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Впервые аксиоматический подход к изложению геометрии был изложен в знаменитом сочинении Евклида «Начала» в III веке до нашей эры. Геометрию, которую мы изучаем, по сей день, называют евклидовой. Схема изучения геометрии представлена так: задаются начальные понятия (точка, прямая, плоскость), определения фигур (отрезок, луч, треугольник и др.). Затем изучаются свойства или отношения между ними в виде аксиом или теорем.

Приведём примеры аксиом, которые уже встречали в предыдущих параграфах, хотя они не назывались аксиомами.

Евклид является автором аксиоматического подхода к построению геометрии.

Аксиома параллельных прямых:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

На рисунке через точку М проведены две прямые. Но только одна из них прямая b параллельна прямой а.

Утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем, называются следствиями, и они доказываются.

Следствия из аксиомы параллельных прямых.

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Доказательство методом от противного.

Пусть a ║b, c пересекает прямую a в точке M. Предположим, что прямая c не пересекает b. Тогда через точку M проходит две прямые a и c параллельные b. Это противоречит аксиоме, значит предположение неверно, т. е. прямая c пересекает b.

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство методом от противного.

Предположим, что прямые a и b не параллельны, т. е. пересекаются в точке M. Тогда через точку M проходит две прямые a и b параллельные c. Это противоречит аксиоме, значит, предположение неверно, т. е. прямая a параллельна прямой b.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Доказать существование прямой, параллельной данной.

№ 2. Через точку А, не лежащую на прямой р, проведены четыре различные прямые.

Сколько из них пересекает прямую р?

1 случай. Если одна из прямых параллельна р. Тогда три других пересекают прямую р, согласно следствию 1 из аксиомы параллельных прямых.

2 случай. Если ни одна из прямых не параллельна р. Тогда все четыре пересекают прямую р.

Источник

Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы

Понятие аксиомы

Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Записывайся на онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Доказательство через синтез

Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.

Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.

Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.

Доказательство:

Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.

Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.

Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.

Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.

Доказательство через анализ

Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.

Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.

Дан параллелограмм: ABCD.

Доказательство:

Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.

Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.

Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол напротив стороны а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.

Источник

Аксиома параллельных прямых

Рассмотрим прямую a и точку M, не лежащую на этой прямой (Рис.1). Докажем, что через точку M можно провести прямую, параллельную прямой a.

Проведем через точку M прямую c, перпендикулярно прямой a, и прямую b, перпендикулярно прямой c (Рис.2).

Поскольку a и b перпендикулярны прямой с, то они параллельны (статья Перпендикулярные прямые Теорема 1 и статья Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых Определение 1). Таким образом через точку M проходит прямая, параллельная прямой a.

Возникает вопрос, существует ли другая прямая, проходящая через точку M параллельно прямой a. Интуитивно ясно, что если немного повернуть прямую b вокруг оси M, то прямые b и a пересекутся. Но доказать это утверждение до сих пор не удалось. основываясь на стальных аксиомах геометрии.

Таким образом имеем это утверждение в виде аксиомы:

Аксиома 1. Через точку, не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Доказательство. Пусть заданы параллельные прямые a и b и пусть прямая c пересекает a в точке M (Рис.3). Докажем, что прямая c пересекает и прямую b.

Предположим обратное, т.е. c не пересекает b. Тогда получается, что через точку M проходят две прямые a и c параллельно прямой b, что невозможно (Аксиома 1). Следовательно прямая с пересекает и прямую b.

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Действительно. Предположим, что прямые a и b параллельны прямой c. Докажем, что прямая a параллельна прямой b. Предположим обратное, т.е. прямые a и b пересекаются в точке M (Рис.4). Тогда получается, что через точку M проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно (Аксиома 1). Значит прямые a и b параллельны.

Источник

Аксиома параллельных прямых

Урок 16. Геометрия 7 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Аксиома параллельных прямых»

На предыдущих уроках мы рассмотрели ряд теорем, доказательства которых опираются на уже доказанные ранее теоремы. В таком случае возникает вопрос: А на чём основаны доказательства самых первых теорем? Ответ такой: Доказательства самых первых теорем основаны на аксиомах.

Аксиомы возникли из опыта, они являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений.

Нам уже известны некоторые аксиомы. Например:

1. Через любые две точки проходит прямая и притом только одна.

2. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

3. От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.

Пусть дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Докажем, что через точку О можно провести прямую, параллельную прямой а.

Проведём две прямые: сначала прямую c, перпендикулярно к прямой а, а затем прямую b, перпендикулярно к прямой c.

Получили, что прямые а и b перпендикулярны к прямой c, а значит, они параллельны.

А теперь возникает вопрос: можно ли провести ещё одну прямую через точку О, параллельную прямой а? Ответ на этот вопрос не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом и само является аксиомой.

Аксиома параллельных прямых:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы:

1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Дан треугольник АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АС можно провести через вершину В?

Так как по аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной:

То есть через точку В можно провести единственную прямую, параллельную стороне АС треугольника АВС.

Геометрия, которую вы изучаете в школе, называется «евклидовой геометрией», так как её основы заложил древнегреческий математик Евклид. Его подход к построению геометрии основан на том, что сначала формулируются аксиомы, а затем путём рассуждений доказываются другие утверждения.

В 18-м веке русский математик Николай Лобачевский создал другую геометрию. Лобачевский считал аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое.

И он предположил, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, параллельная данной. В результате получилась новая система определений и теорем. Эту геометрию назвали геометрией Лобачевского.

Как оказалось, геометрия Лобачевского точнее описывает геометрию Вселенной, чем геометрия Евклида. Результатами геометрии Лобачевского пользовался учёный Альберт Энштейн.

Источник

Аксиома параллельных прямых что такое аксиома

Планиметрия – это раздел геометрии, который изучает геометрические фигуры на плоскости.

Аксиомы планиметрии.

Аксиома – это утверждение, принимающееся как истинное без доказательства. Слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и означает «утверждение, не вызывающее сомнений»

Аксиомы планиметрии – это основные свойства простейших геометрических фигур. Неопределяемыми или основными понятиями в планиметрии являются точка, прямая.

Таблица. Аксиомы принадлежности. Аксиомы измерения отрезка. Аксиома взаимного расположения точек на прямой и плоскости. Аксиома откладывания угла. Свойства градусной меры углов.

Альтернативная разбивка аксиом планиметрии по группам:

1. Аксиомы принадлежности

1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Аксиомы расположения

2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

3. Аксиомы измерения

3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумму длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

4. Аксиомы откладывания

4.1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один.

4.2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.

4.3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

5. Аксиома параллельности

5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Это конспект по теме «Аксиомы планиметрии». Выберите дальнейшие действия:

Источник