индуктивный подход в обучении математике
Применение индукции и дедукции в преподавании математики
Индукция
Обратимся к методу индукции. Этот метод находит систематическое применение в V-VI классах. Большинство обоснований в этих классах проводится индуктивным методом. В старших классах роль индукции снижается. Она применяется лишь в целях обнаружения математических закономерностей, обоснование же их проводится дедуктивным методом.
Использование этого метода рассуждений для получения новых знаний в процесс обучения называют индуктивным методом обучения.
Индукция бывает полной и неполной. Индукция называется полной или совершенной, если общий вывод делается на основании изучения (рассмотрения) всех частных фактов (объектов, фигур, чисел и т.д.).
Индукция называется неполной или несовершенной, если общий вывод делается на основании изучения только части множества всех фактов (объектов).
Применение индукции в процессе обучения математике
Поможем написать любую работу на аналогичную тему
Обычно, когда говорят индуктивные методы обучения, имеют в виду применение неполной индукции в обучении. Дальше, говоря индукция, будем иметь в виду неполную индукцию.
Ввиду недостоверности заключения индукция не может служить методом доказательства. Но она является мощным эвристическим методом, т. е. методом открытия новых истин. В таком качестве индукция должна широко применяться в школьном обучении в рамках методов, ориентированных на обучение учащихся деятельности по приобретению новых знаний.
В истории математики были случаи, когда известные математики ошибались в своих индуктивных выводах. Например, П. Ферма предположил, что все числа вида 22n+ 1 простые, исходя из того, что при n == 1,2,3,4 они являются таковыми, но Л. Эйлер нашел, что уже при n = 5 число 225+ 1 не является простым (оно делится на 641).
Однако возможность получения с помощью индукции ложного заключения не является основанием для отрицания роли индукции в школьном обучении математике. Во-первых, применение индукции в обучении корректируется и направляется учителем к открытию истин. Во-вторых, нужно добиваться понимания учащимися правдоподобного характера индуктивного заключения. Поэтому, применяя индукцию, необходимо всячески подчеркивать, что заключение является лишь предположением, гипотезой, которое может быть доказано (если оно истинно) или опровергнуто (если оно ложно).
Например, когда учащиеся открывают свойство суммы углов треугольника с помощью измерений, необходимо разъяснить им, что мы можем высказать лишь предположение гипотезу) о том, что во всяком треугольнике сумма углов равна 180°. Во-первых, результаты опыта лишь близки к 180°; во-вторых, даже предполагая, что все отклонения в одну или другую сторону вызваны неизбежными погрешностями измерений и для каждого из 30 треугольников, в которых мы производили измерения углов, сумма углов действительно равна 180°, мы не можем на этом основании заключить, что она равна 180° в любом треугольнике.
Такими разъяснениями мы и добиваемся понимания учащимися правдоподобного характера индуктивного заключения.
Совершенно очевидно, что на вопрос, сколько надо рассматривать частных посылок и какие, чтобы подвести учащихся к открытию общей закономерности, нельзя дать ответ, пригодный на все случаи применения индукции и для всех учащихся; Мы должны заботиться, чтобы частное содержание, которое выражается в посылках и не должно входить в общее заключение, варьировалось, т. е. видоизменялось от посылки к посылке, чтобы облегчить учащимся выявление того общего, неизменного, содержащегося во всех посылках, что и должно составлять содержание заключения. В приведенном выше примере частное содержание, которое должно варьироваться в посылках, это число десятичных знаков во множимом и множителе.
На отдельных этапах обучения, в частности в IV-V классах, обучение математике ведется преимущественно индуктивными методами. Здесь индуктивные заключения достаточно убедительны психологически и в большинстве остаются пока (на этом этапе обучения) недоказанными. Можно обнаружить лишь изолированные дедуктивные островки, состоящие в применении несложных дедуктивных рассуждений в качестве доказательств отдельных предложений.
В дальнейшем обучении индукция уступает первенство дедукции. Однако она не исключается, меняется лишь ее роль. Если в IV-V классах она служит основным методом обучения, в дальнейшем она становится вспомогательным. С помощью индукции (или аналогии) мы открываем то, что подлежит доказательству дедуктивным путем.
Можно поступить иначе. Определение перпендикулярности прямой к плоскости неэффективно: мы не можем проверить перпендикулярность данной прямой к любой прямой плоскости, таких прямых бесконечно много. Возникает задача: нельзя ли указать некоторое достаточное условие перпендикулярности прямой к любой прямой плоскости?
Возникает гипотеза: перпендикулярность к одной прямой плоскости. Но она быстро опровергается, можно построить модель прямой, перпендикулярной к одной прямой плоскости, но не перпендикулярной к другой.
Возникает другая гипотеза: перпендикулярность к двум прямым плоскости. Это уже кажется более правдоподобно (пока все учащиеся берут две пересекающиеся прямые плоскости). Однако и здесь обнаруживается противоречащий случай (если взять параллельные прямые плоскости, можно указать прямую, перпендикулярную им, но не перпендикулярную некоторой третьей прямой плоскости).
Наконец, формулируется уточненная гипотеза: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна любой прямой плоскости, т. е. и самой плоскости.
Таким путем мы открываем то, что подлежит дедуктивному доказательству.
Приведенный пример относится к курсу X класса. Он подтверждает, что и на этом этапе обучения индуктивные методы не теряют своего значения.
Как в любых процессах познания (научного или обыденного), так и в процессе обучения дедукция и индукция взаимосвязаны. Ф. Энгельс писал: “Индукция и дедукция связаны между собой столь же необходимым образом, как синтез и анализ. Вместо того чтобы односторонне превозносить одну из них до небес за счет другой, надо стараться применять каждую на своем месте, а этого можно добиться лишь в том случае, если не упускать из виду их связь между собой, их взаимное дополнение друг друга”’.
Дедуктивный метод состоит в том, что учитель сам формулирует общее суждение, выражающее какое-то правило, закон, теорему и т. д., а затем применяет его, т. е. иллюстрирует частными примерами, случаями, фактами, событиями и т. д. Соединение дедукции и индукции в процессе обучения приводит к двум способам объяснения материала:
1) индуктивно-дедуктивному способу, когда объяснение “начинается с индукции и переходит затем в дедукцию (возможно, при значительном перевесе индукции)”,
2) дедуктивно-индуктивному способу, когда “сообщение учащимся нового осуществляется самим учителем в виде готового, сформулированного им правила или положения с последующими комментариями”.
В математике имеется много приверженцев как индуктивного, так и дедуктивного метода. На первых этапах обучения надо отдавать предпочтение индуктивному методу, постепенно подготавливая и используя дедуктивный подход, ибо индуктивные методы изложения материала, при которых происходит последовательное обобщение понятий, способствуют более активному усвоению материала. Л. Д. Кудрявцев констатирует: “В последние годы наблюдается стремление заменять по возможности индуктивный подход дедуктивным, целесообразность этого часто представляется сомнительной”.
Однако как при индуктивном, так и при дедуктивном методах необходимо при изложении новых понятий или новых общих теорий значительное время отводить на конкретные иллюстрации, на разбор примеров, анализ частных ситуаций. В методике преподавания каждое высказывание в категорической форме легко можно довести до абсурда. От самого учителя зависит оптимальный выбор метода, позволяющего на высоком уровне самостоятельности организовать познавательную деятельность учащихся.
В математике используются различные виды индукции: полная, неполная и математическая. Применение математической индукции покажем на следующем примере. Надо определить сумму п первых нечетных чисел:
Обозначив эту сумму через S(n), положим п == 1, 2, 3. 4, 5; тогда будем иметь:
S (5) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.
Но по предположению, сумма п первых слагаемых равна п2, следовательно,
Этим же методом доказывается, что сумма первых n натуральных чисел, т.е. 1+2+3+4+5+. +n, обозначенная S1, (n), равна n× (n+1) / 2.
Умозаключения делятся на логически необходимые и вероятностные (правдоподобные). Некоторые виды неполной индукции дают лишь вероятностные (или правдоподобные) заключения.
Если проанализировать знания, умения и навыки учащихся, относящиеся к использованию дедукции и индукции, то можно выделить наряду с положительными моментами и ряд недостатков. Положительными моментами правильного сочетания дедуктивных и индуктивных умозаключений в мышлении, а также рационального использования либо дедуктивного, либо индуктивного, либо дедуктивно-индуктивного, либо индуктивно-дедуктивного методов (способов) работы на уроке являются следующие:
1) учащиеся 8 и 9 классов при написании сочинения в подавляющем большинстве умеют подобрать материал (публицистический, литературный, по личным впечатлениям) в соответствии с темой (84% обследованных учащихся), развернуть и доказательно раскрыть основную мысль сочинения, определить границы темы, обобщать материал и делать из него выводы;
2) положительные сдвиги в знаниях учащихся по истории во многом обусловлены дедуктивным введением ряда понятий.
Но вместе с тем проявляет себя недостаточно развитое умение использовать дедуктивный ход рассуждений: дав верное определение, учащийся не всегда справляется с анализом конкретного произведения под углом зрения этого определения.
У некоторых учащихся отсутствуют выводы по теме сочинения, иногда имеет место разрыв между фактологическими и теоретическими знаниями, отмечается неумение делать выводы и обобщения и т. д.
Указанные положительные моменты и недостатки в знаниях учащихся свидетельствуют о важном значении умелого сочетания индукции и дедукции в ходе изложения, закрепления и проверки усвоения школьного материала. Общих рецептов, как, в какой мере использовать дедуктивный или индуктивный методы в обучении, дать нельзя. Как пишет Л. Д. Кудрявцев (о методических принципах преподавания математики): “К сожалению, не существует точных рецептов, как надо преподавать различные разделы математики. Методика преподавания математики не наука, а искусство. Правда, это вовсе не означает, что методике преподавания математики не надо учить. Всякому искусству можно и должно учить: учатся и художники, и музыканты, и артисты, и писатели”’.
На основе разбора ошибок, допускаемых в педагогическом процессе, можно еще раз сделать вывод о творческом характере применения различных методов обучения и воспитания, о недопустимости шаблонного подхода в процессе обучения.
1.2. Индукция и дедукция, анализ и синтез в обучении математике.
Переход от частного к общему, от единичных фактов, установленных с помощью наблюдения и опыта к обобщениям является закономерностью познания. Неотъемлемой логической, формой такого перехода, является индукция представляющая, собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок.
Виды индукции: 1. неполная (вывод графика линейной ф-ии основан на рассмотрении конечного числа частных случаев). 2. полная (базируется на рассмотрении частных случаев) основан на переборе всех возможных частных случаев. Пример: док-во теоремы синусов для 3-х видов треугольников (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный.
Дедукция (выведение) в широком смысле представляет собой форму мышления, состоящую в том, что новое предложение выводится чисто логическим путем, т. е. по определенным правилам логического вывода (следования) из некоторых известных предложений (мыслей) (от общего к частному, результат – теоретические знания, дедуктивный вывод – достоверный). Впервые теория дедукции (логического вывода) была разработана Аристотелем. Эта теория развивалась, совершенствовалась с развитием науки логики. Дедуктивное рассуждение отличается от индуктивного или рассуждения по аналогии достоверностью заключения, т. е. в дедуктивном рассуждении заключение истинно, по крайней мере когда истинны все посылки. Именно поэтому дедуктивные рассуждения используются в математических доказательствах. Широкое применение дедукции в математике обусловлено аксиоматическим методом построения математических теорий.
Аксиоматический метод: некоторые предложения, выражающие основные свойства первоначальных понятий или отношения между ними, принимаются за истинные.
Анализ – логический прием, метод иссл-я, состоящий в том, что изучаемый объект мысленно расчленяется на составные элем-ты (признаки, св-ва, отн-я), каждый из кот-х исслед-ся в отдельности как часть расчлененного целого (ребенок разбирает игрушку).
Синтез – логический приём, с пом-ю которого отд-е элем-ты соед-ся в целое (ребенок разбирает игрушку).
Методы решения задач: аналитический (от вопроса к условию) и синтетический (от условия к вопросу).
Два вида анализа: восходящий (арифметический метод) и нисходящий (несовершенный)-задачи на построение, предполагаем, что фигура построена, алгебраический метод.
А 
А достаточно для В, В необходимое условие для А.
Восх. ан.: поиск достаточных условий для В: В 
Нисх. ан. : поиск необходимых условий, предполагаем, что В истина
В 
В мат-ке под анализом понимают рассуждение в «обр-м направл-ии», т. е. от неизвестного к известному или от того, что необх-мо док-ть к тому, что уже доказано.Анализ яв-ся средством поиска решения, док-ва, хотя сам по себе решением не яв-ся. Синтез, опираясь на данные, получ-е в ходе анализа, даёт решение задачи или док-во теоремы. Анализ лежит в основе общего подхода к решению задач (для нестандартных задач, для кот-х нет алгоритма), изв-го под названием сведения задачи к совокупности подзадач. Идея подхода состоит в свойственном для анализа «размышлении в обр-м направ-ии» от задачи, кот-ю надо решить к подзадачам. Получим набор элементарных задач (т. е. задачи, реш-е за один шаг поиска или
Разработка по математике для учителей начальных классов «Формирование познавательных УУД методами дедуктивного и индуктивного рассуждений»
Описание разработки
Для организации познавательной деятельности большую роль играют такие методы математической науки как дедуктивные и индуктивные рассуждения (умозаключения).
Слово индукция в переводе на русский язык означает наведение. Выводы, получаемые индуктивным путем, связаны с наблюдениями, анализом, сравнением, с выявлением общих закономерностей и их последующим обобщением.
При использовании индуктивных методов обучения необходимо руководствоваться следующими принципами:
2. Рассматриваемые частные примеры полезно давать, используя различные приемы и формы работы для активизации познавательной деятельности обучающихся.
3. Для самостоятельного «открытия» обучающимися той или иной закономерности следует использовать действия с предметами, рисунки, схемы, таблицы.
4. Полезно как можно большему числу обучающихся давать возможность словесно выразить наблюдаемые закономерности, зависимости,свя
6. В случае затруднения при формулировке вывода учитель помогает наводящими вопросами, содержание которых связано с содержанием обобщенной формулировки, или сам уточняет сделанный обучающимися вывод.
Для осуществления преемственности между обучением в начальных классах и в средней школе очень важно проводить определенную работу по формированию умения правильно строить дедуктивные умозаключения, т. к. именно они воспитывают строгость, четкость и логичность мышления.
1. Пианино-это музыкальный инструмент. У Лены дома музыкальный инструмент. Значит у нее дома пианино?
Таким образом,использование индуктивного и дедуктивного методов обучения способствует активному и сознательному усвоению знаний и положительно влияет на формирование познавательных УУД.
Содержимое разработки
Формирование познавательных УУД методами дедуктивного и индуктивного рассуждений.
Для организации познавательной деятельности большую роль играют такие методы математической науки как дедуктивные и индуктивные расссуждения (умозаключения).
Дедукция –способ рассуждения,при котором новое положение выводится чисто логическим путем от общего положения к частным выводам.
Индукция-способ рассуждения от частных фактов положений к общим выводам.
При использовании индуктивных методов обучения необходимо руководствоваться следующими принципами:
2.Рассматриваемые частные примеры полезно давать, используя различные приемы и формы работы для активизации познавательной деятельности обучающихся.
Индуктивные и дедуктивные методы обучения.
· Индуктивный метод обучения.
· При использовании индуктивного метода обучения деятельность преподавателя и обучаемых протекает следующим образом: При использовании индуктивного метода обучения деятельность преподавателя и обучаемых протекает следующим образом:
| Преподаватель | Учащийся |
| 1 вариант | 2 вариант |
| Излагает вначале факты, демонстрирует опыты, наглядные пособия, организует выполнения упражнений, постепенно подводя учащихся к обобщениям, определению понятий, формулированию законов. | Усваивают вначале частные факты, затем делают выводы и обобщения частного характера. |
 | |
| 2 варианты | 2 вариант |
| Ставит перед учащимися проблемные задания, требующие самостоятельных рассуждений от частных положений к более общим, к выводам и обобщения. | Самостоятельно размышляют над фактами и делают доступные выводы и обобщения. |
· Индуктивное изучение темы особенно полезно в тех случаях, когда материал носит, преимущественно, фактический характер или связан с формированием понятий, смысл которых может стать ясным лишь в ходе индуктивных рассуждений. Широко применимы индуктивные методы для изучении технических устройств и выполнении практических заданий. Индуктивным методом решаются многие математические задачи, особенно когда преподаватель считает необходимым самостоятельно подвести обучаемых к усвоению некоторой более обобщенной формулы.
· Слабость индуктивного метода обучения состоит в том, что они требуют большего времени на изучение нового материала, чем дедуктивные. Они в меньшей мере способствуют развитию абстрактного мышления, так как опираются на конкретные факты, опыты и другие данные.
Дедуктивный метод обучения.
· При использовании дедуктивного метода обучения, деятельность преподавателя и учеников носит следующий характер:
| Преподаватель | Ученик |
| Вначале сообщает общее положение, формулу, закон, а затем постепенно начинает выводить частные случаи, более конкретные задачи. | Воспринимают общие положения, формулы, законы, а затем усваивают следствия вытекающие из них. |
· Дедуктивный метод способствует быстрому прохождению учебного материала, активнее развивает абстрактное мышление. Применение его особенно полезно при изучении теоретического материала, при решении задач, требующих выявления следствий из некоторых более общих положений.
· Так для математических понятий всеобщей основой выступают общие отношения величины, для грамматики роль такой всеобщей основы выполняют отношения формы и значения слова. Поскольку эти общие основы связи можно выразить в форме моделей (схем, формул, законов, правил), то учащихся учат использовать эти модели. Такой подход позволяет учащимся раньше усваивать знания общего и абстрактного характера и уже из них выводить более частные и конкретные знания. Но это не означает, что необходимо перейти к дедуктивному изучению всего материала. Должно быть найдено его рациональное сочетание с индуктивным подходом, так как без индуктивного подхода, нельзя успешно подготовить учащихся к решению более сложных задач.
· К этой подгруппе методов организации учения относятся и методы учебного анализа, следственного синтеза, учебной аналогии, выявление причинно-следственных связей.