квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Квадратный корень

Основные сведения

Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести во вторую степень.

Найдём площадь квадрата, длина стороны которого 3 см

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

S = 3 2 = 9 см 2

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь решим обратную задачу. А именно, зная площадь квадрата определим длину его стороны. Для этого воспользуемся таким инструментом как кóрень. Корень бывает квадратный, кубический, а также n-й степени.

Сейчас наш интерес вызывает квадратный корень. По другому его называют кóрнем второй степени.

Для нахождения длины стороны нашего квадрата, нужно найти число, вторая степень которого равна 9. Таковым является число 3. Это число и является кóрнем.

Введём для работы с корнями новые обозначения.

Под корнем располагáют подкореннóе выражение. В нашем случае подкоренным выражением будет число 9 (площадь квадрата)

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Нас интересовал квадратный корень (он же корень второй степени), поэтому слева над корнем указываем число 2. Это число называют показателем корня (или степенью корня)

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Если число 3 возвести во вторую степень, то получится число 9. Поэтому число 3 и будет ответом:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Значит квадрат площадью 9 см 2 имеет сторону, длина которой 3 см. Приведённое действие называют извлечéнием квадрáтного кóрня.

Нетрудно догадаться, что квадратным корнем из числа 9 также является отрицательное число −3. При его возведении во вторую степень тоже получается число 9

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Получается, что выражение квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиимеет два значения: 3 и −3. Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому для нашей задачи ответ будет только один, а именно 3.

Вообще, квадратный корень имеет два противоположных значения: положительное и отрицательное.

Например, извлечём квадратный корень из числа 4

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Это выражение имеет два значения: 2 и −2, поскольку при возведении этих чисел во вторую степень, получится один и тот же результат 4

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Поэтому ответ к выражению вида квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамизаписывают с плюсом и минусом. Плюс с минусом означает, что квадратный корень имеет два противоположных значения.

Запишем ответ к выражению квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамис плюсом и минусом:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Определения

Дадим определение квадратному корню.

Например, квадратным корнем из числá 16 есть число 4, поскольку число 4 во второй степени равно 16

Корень 4 можно обозначить через радикал квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамитак, что квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами.

Также квадратным корнем из числá 16 есть число −4, поскольку число −4 во второй степени равно 16

Если при решении задачи интересует только положительное значение, то корень называют не просто квадратным, а арифметическим квадратным.

В нашем примере квадратными корнями из числá 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.

Чаще всего в квадратных корнях показатель кóрня вообще не указывается. Так, вместо записи квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиможно использовать записьквадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Если в учебнике по математике встретится корень без показателя, то нужно понимать, что это квадратный корень.

Квадратный корень из единицы равен единице. То есть справедливо следующее равенство:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Это по причине того, что единица во второй степени равна единице:

и квадрат, состоящий из одной квадратной единицы, имеет сторону, равную единице:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Выражение вида квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамисмысла не имеет. Например, не имеет смысла выражение квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами, поскольку вторая степень любого числа есть число положительное. Невозможно найти число, вторая степень которого будет равна −4.

Если выражение вида квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамивозвести во вторую степень, то есть если записать квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Например, выражение квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиравно 4

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Это потому что выражение квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиравно значению 2. Но это значение сразу возвóдится во вторую степень и получается результат 4.

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Корень из квадрата числá равен модулю этого числá:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Например, корень из числá 5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá 5

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Действительно, если не пользуясь правилом квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами, вычислять выражение квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиобычным методом — сначала возвести число −5 во вторую степень, затем извлечь полученный результат, то полýчим ответ 5

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Не следует путать правило квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамис правилом квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Правило квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиверно при любом a, тогда как правило квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиверно в том случае, если выражение квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиимеет смысл.

В некоторых учебниках знак корня может выглядеть без верхней линии. Выглядит это так:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Мéньшему числу соответствует мéньший корень, а бóльшему числу соответствует бóльший корень.

Например, рассмотрим числа 49 и 64. Число 49 меньше, чем число 64.

Примеры извлечения квадратных корней

Рассмотрим несколько простых примеров на извлечение квадратных корней.

Пример 1. Извлечь квадратный корень √36

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 36. Таковым является число 6, поскольку 6 2 = 36

Пример 2. Извлечь квадратный корень √49

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 49. Таковым является число 7, поскольку 7 2 = 49

В таких простых примерах достаточно знать таблицу умножения. Так, мы помним, что число 49 входит в таблицу умножения на семь. То есть:

Пример 3. Извлечь квадратный корень √100

Число 100 это последнее число, корень которого можно извлечь с помощью таблицы умножения. Для чисел, бóльших 100, квадратные корни можно находить с помощью таблицы квадратов.

Пример 3. Извлечь квадратный корень √256

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 256. Чтобы найти это число, воспользуемся таблицей квадратов.

Нахóдим в таблице квадратов число 256 и двигаясь от него влево и вверх определяем цифры, которые образуют число, квадрат которого равен 256.

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 4. Найти значение выражения 2√16

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 7. Решить уравнение квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

В данном примере нужно найти значение переменной x, при котором левая часть будет равна 4.

Значение переменной x равно 16, поскольку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Значит корень уравнения равен 16.

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Примечание. Не следует путать корень уравнения и квадратный корень. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. А квадратный корень это число, вторая степень которого равна выражению, находящемуся под радикалом квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами.

Подобные примеры решают, пользуясь определением квадратного корня. Давайте и мы поступим так же.

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Применим равенство b 2 = a к нашему примеру квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Роль переменной b у нас играет число 4, а роль переменной a — выражение, находящееся под корнем квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами, а именно переменная x

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 8. Решить уравнение квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Возведем правую часть во вторую степень и приравняем её к переменной x

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 9. Решить уравнение квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Воспользуемся определением квадратного корня:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Корень уравнения квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиравен квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 10. Найти значение выражения квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

В этом выражении число 2 умножается на квадратный корень из числа 49.

Сначала нужно извлечь квадратный корень и перемножить его с числом 2

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Приближённое значение квадратного корня

Не каждый квадратный корень можно извлечь. Извлечь квадратный корень можно только в том случае, если удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению.

А извлечь квадратный корень квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответаминельзя, потому что невозможно найти число, вторая степень которого равна 3. В таком случае говорят, что квадратный корень из числа 3 не извлекается.

Зато можно извлечь квадратный корень из числа 3 приближённо. Извлечь квадратный корень приближённо означает найти значение, которое при возведении во вторую степень будет максимально близко к подкореннóму выражению.

Приближённое значение ищут с определенной точностью: с точностью до целых, с точностью до десятых, с точностью до сотых и так далее.

Найдём значение корня квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиприближённо с точностью до десятых. Словосочетание «с точностью до десятых» говорит о том, что приближённое значение корня квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамибудет представлять собой десятичную дробь, у которой после запятой одна цифра.

Для начала найдём ближайшее меньшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 1. Корень из этого числа равен самому этому числу:

Аналогично находим ближайшее бóльшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 4. Корень из этого числа равен 2

А √3 больше, чем √1 но меньше, чем √4. Запишем это в виде двойного неравенства:

Точные значения корней √1 и √4 известны. Это числа 1 и 2

Тогда очевидно, что значение корня √3 будет представлять собой десятичную дробь, потому что между числами 1 и 2 нет целых чисел.

Для нахождения приближённого значения квадратного корня √3 будем проверять десятичные дроби, располагающиеся в интервале от 1 до 2, возводя их в квадрат. Делать это будем до тех пор пока не полýчим значение, максимально близкое к 3. Проверим к примеру дробь 1,1

Проверим тогда дробь 1,8

Проверим тогда дробь 1,7

В данном случае мы нашли приближенное значение корня √3 с точностью до десятых. Значение можно получить ещё более точно. Для этого его следует находить с точностью до сотых.

Чтобы найти значение с точностью до сотых проверим десятичные дроби в интервале от 1,7 до 1,8

Проверим дробь 1,74

Проверим тогда дробь 1,73

Процесс нахождения приближённого значения квадратного корня продолжается бесконечно. Так, корень √3 можно находить с точностью до тысячных, десятитысячных и так далее:

√3 = 1,732 (вычислено с точностью до тысячных)

√3 = 1,7320 (вычислено с точностью до десятитысячных)

√3 = 1,73205 (вычислено с точностью до ста тысячных).

Ещё квадратный корень можно извлечь с точностью до целых. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых равно единице:

Значение 2 будет слишком большим, поскольку при возведении этого числа во вторую степень получается число 4, которое больше подкоренного выражения. Нас же интересуют значения, которые при возведении во вторую степень равны подкореннóму выражению или максимально близки к нему, но не превосходят его.

В зависимости от решаемой задачи допускается находить значение, вторая степень которого больше подкоренного выражения. Это значение называют приближённым значением квадратного корня с избытком. Поговорим об этом подробнее.

Приближенное значение квадратного корня с недостатком или избытком

Иногда можно встретить задание, в котором требуется найти приближённое значение корня с недостатком или избытком.

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых тоже был найден с недостатком:

Это потому что при возведении единицы в квадрат получаем единицу. То есть до числа 3 недостаёт ещё 2.

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых можно найти и с избытком. Тогда этот корень приближённо будет равен 2

Это потому что при возведении числа 2 в квадрат получаем 4. Число 4 превосходит подкореннóе выражение 3 на единицу. Извлекая приближённо квадратный корень с избытком желательно уточнять, что корень извлечен именно с избытком:

Потому что приближённое значение чаще всего ищется с недостатком, чем с избытком.

Так, если в задании сказано извлечь квадратный корень из числа 5 с точностью до 0,01, то это значит что корень следует извлекать приближённо с точностью до сотых:

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 1

Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,1

Пример 4. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,01

Границы, в пределах которых располагаются корни

Если исходное число принадлежит промежутку [1; 100], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [1; 10].

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 49

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 1

Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 100

Квадраты чисел от 1 до 10 обязательно нужно знать наизусть. Ниже представлены эти квадраты:

1 2 = 1
2 2 = 4
3 2 = 9
4 2 = 16
5 2 = 25
6 2 = 36
7 2 = 49
8 2 = 64
9 2 = 81
10 2 = 100

И обратно, следует знать значения квадратных корней этих квадратов:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Если к любому числу от 1 до 10 в конце дописать ноль (или несколько нулей), и затем возвести это число во вторую степень, то в полученном числе будет в два раза больше нулей.

А если к числу 6 дописать два нуля, и возвести это число во вторую степень, то полýчим число, в котором четыре нуля. То есть в два раза больше нулей:

Тогда можно сделать следующий вывод:

Если исходное число содержит знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Для этого следует извлечь корень из знакомого нам квадрата и затем записать половину количества нулей из исходного числа.

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь из исходного числа записываем половину от количества нулей. В исходном числе 900 содержится два нуля. Половина этого количества нулей есть один ноль. Записываем его в ответе после цифры 3

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 2. Извлечём квадратный корень из числа 90000

Здесь опять же имеется знакомый нам квадрат 9 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 9 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе содержится четыре нуля. Половиной же этого количества нулей будет два нуля:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 3. Извлечем квадратный корень из числа 36000000

Здесь имеется знакомый нам квадрат 36 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 36 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе шесть нулей. Половиной же будет три нуля:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 4. Извлечем квадратный корень из числа 2500

Здесь имеется знакомый нам квадрат 25 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 25 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе два нуля. Половиной же будет один ноль:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Если подкореннóе число увеличить (или уменьшить) в 100, 10000 то корень увеличится (или уменьшится) в 10, 100 раз соответственно.

Например, квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Если увеличим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень увеличится в 10 раз:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

И наоборот, если в равенстве квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиуменьшим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень уменьшится в 10 раз:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 2. Увеличим в равенстве квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиподкореннóе число в 10000, тогда квадратный корень 70 увеличиться в 100 раз

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 3. Уменьшим в равенстве квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиподкореннóе число в 100 раз, тогда квадратный корень 70 уменьшится в 10 раз

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Умнóжим десятичную дробь 0,25 на 100, полýчим 25. А из числа 25 квадратный корень извлекается легко:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,25, а не из 25. Чтобы исправить ситуацию, вернём нашу десятичную дробь. Если в равенстве квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиподкореннóе число уменьшить в 100 раз, то полýчим под корнем 0,25 и соответственно ответ уменьшится в 10 раз:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

В предыдущем примере в подкоренном числе 0,25 можно было сдвинуть запятую вправо на две цифры, а в полученном ответе сдвинуть её влево на одну цифру.

Например, извлечем корень из числа 0,81. Мысленно передвинем запятую вправо на две цифры, полýчим 81. Теперь извлечём квадратный корень из числа 81, полýчим ответ 9. В ответе 9 передвинем запятую влево на одну цифру, полýчим 0,9. Значит, квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами.

Это правило работает и в ситуации, когда после запятой содержатся четыре цифры и эти цифры образуют знакомый нам квадрат.

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Если исходное число принадлежит промежутку [100; 10000], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [10; 100].

В этом случае применяется таблица квадратов:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Видим, что это число 24. Значит квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами.

Извлечем квадратный корень из числа 432 с точностью до десятых.

В таблице квадратов ближайшее меньшее число к 432 это число 400. Квадратный корень из него равен 20. Отталкиваясь от числа 20, будем проверять различные десятичные дроби, целая часть которых равна 20.

Проверим, например, число 20,8. Для этого возведём его в квадрат:

Необязательно запоминать промежутки чтобы узнать в каких границах располагается корень. Можно воспользоваться методом нахождения ближайших квадратов с чётным количеством нулей на конце.

Извлечём квадратные корни из чисел 3600 и 4900. Это числа 60 и 70 соответственно:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Корень 64 не годится. Проверим корень 65

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Получается 4225. Значит 65 является корнем числа 4225

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Тождественные преобразования с квадратными корнями

Над квадратными корнями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым облегчая их вычисление. Рассмотрим некоторые из этих преобразований.

Квадратный корень из произведения

Квадратный корень из произведения это выражение вида квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами, где a и b некоторые числа.

Например, выражение квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиявляется квадратным корнем из произведения чисел 4 и 9.

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Но при извлечении квадратных корней из больших чисел это правило может оказаться весьма полезным.

Допустим, потребовалось извлечь квадратный корень из числа 144. Этот корень легко определяется с помощью таблицы квадратов — он равен 12

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Но предстáвим, что таблицы квадратов под рукой не оказалось. В этом случае число 144 можно разложить на простые множители. Затем из этих простых множителей составить числа, квадратные корни из которых извлекаются.

Итак, разлóжим число 144 на простые множители:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Получили следующее разложение:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

В разложéнии содержатся четыре двойки и две тройки. При этом все числа, входящие в разложение, перемнóжены. Это позволяет предстáвить произведения одинаковых сомножителей в виде степени с показателем 2.

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

В результате будем иметь следующее разложение:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь можно извлекáть квадратный корень из разложения числа 144

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Применим правило извлечения квадратного корня из произведения:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Ранее было сказано, что если подкореннóе выражение возведенó во вторую степень, то такой квадратный корень равен модулю из подкореннóго выражения.

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Простые множители представляют в виде степени для удобства и короткой записи. Допускается также записывать их под кóрнем как есть, чтобы впоследствии перемнóжив их, получить новые сомножители.

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

затем перемнóжить некоторые сомножители так, чтобы получились числа, квадратные корни из которых извлекаются. В данном случае можно дважды перемнóжить две двойки и один раз перемнóжить две тройки:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Затем применить правило извлечения квадратного корня из произведения и получить окончательный ответ:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

С помощью правила извлечения квадратного корня из произведения можно извлекать корень и из других больших чисел. В том числе, из тех чисел, которых нет в таблице квадратов.

Итак, разложим число 13456 на простые множители:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь будем извлекать квадратный корень из разложения числа 13456

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Докажем равенство квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Для этого воспользуемся определением квадратного корня.

Итак, выпишем правую часть равенства квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамии возведём ее во вторую степень:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь воспользуемся правилом возведения в степень произведения. Согласно этому правилу, каждый множитель данного произведения нужно возвести в указанную степень:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Значит равенство квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамисправедливо, поскольку при возведéнии правой части во вторую степень, получается подкореннóе выражение левой части.

Правило извлечения квадратного корня из произведения работает и в случае, если под кóрнем располагается более двух множителей. То есть справедливым будет следующее равенство:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами, при a ≥ 0 и b ≥ 0, c ≥ 0.

Пример 1. Найти значение квадратного корня квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Запишем корень квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамив виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 2. Найти значение квадратного корня квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь под кóрнем образовалось два одинаковых множителя 10 и 10. Перемнóжим их, полýчим 100

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Далее применяем правило извлечения квадратного кóрня из произведения и получáем окончательный ответ:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 3. Найти значение квадратного корня квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Далее возводим число 11 во вторую степень и получаем окончательный ответ:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 4. Найти значение квадратного корня квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из произведения:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Вычислим произведение получившихся степеней и полýчим окончательный ответ:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Сомножители, находящиеся под корнем, могут быть десятичными дробями. Например, извлечём квадратный корень из произведения квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Запишем корень квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамив виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 6. Найти значение квадратного корня квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 7. Найти значение квадратного корня квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Например, произведение 8 × 4 равно 32

Это свойство полезно при решении некоторых задач на извлечение квадратных корней. Сомножители подкореннóго выражения можно умнóжить и разделить так, чтобы корни из них извлекались.

Например, извлечём квадратный корень из произведения квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Если сразу воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из произведения, то не полýчится извлечь корни √1,6 и √90, потому что они не извлекаются.

Запишем полное решение данного примера:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Процесс умножения и деления можно выполнять в уме. Также можно пропустить подробную запись извлечения квадратного корня из каждого сомножителя. Тогда решение станóвится короче:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 9. Найти значение квадратного корня квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Если в равенстве квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамипоменять местами левую и правую часть, то полýчим равенство квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Это преобразовáние позволяет упрощáть вычисление некоторых корней.

Например, узнáем чему равно значение выражения квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами.

Квадратные корни из чисел 10 и 40 не извлекаются. Воспользуемся правилом квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами, то есть заменим выражение из двух корней квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамина выражение с одним корнем, под которым будет произведение из чисел 10 и 40

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь найдём значение произведения, находящегося под корнем:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

А квадратный корень из числа 400 извлекается. Он равен 20

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Сомножители, располагáющиеся под корнем, можно расклáдывать на множители, группировáть, представлять в виде степени, а также перемножáть для получения новых сомножителей, корни из которых извлекаются.

Например, найдём значение выражения квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами.

Воспользуемся правилом квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Перемнóжим сомножители 2 и 2, полýчим 4. А сомножитель 2 4 предстáвим в виде степени с показателем 2

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь воспóльзуемся правилом квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамии вычислим окончательный ответ:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 12. Найти значение выражения квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Воспользуемся правилом квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь воспользуемся правилом квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамии вычислим окончательный ответ:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Квадратный корень из дроби

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Вычислим квадратные корни в числителе и знаменателе:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Докáжем, что равенство квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиявляется верным.

Возведём правую часть во вторую степень. Если в результате полýчим дробь квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами, то это будет означать, что равенство квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиверно:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 1. Извлечь квадратный корень квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 2. Извлечь квадратный корень квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Переведём подкореннóе выражение в неправильную дробь, затем воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 3. Извлечь квадратный корень квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Предстáвим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби. 0,09 это девять сотых:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Пример 4. Найти значение выражения квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Извлечём корни из 0,09 и 0,25, затем сложим полученные результаты:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Также можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

В данном примере первый способ оказался проще и удобнее.

Пример 5. Найти значение выражения квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Сначала вычислим квадратный корень, затем перемнóжим его с 10. Получившийся результат вычтем из 4

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 6. Найти значение выражения квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Сначала найдём значение квадратного корня квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Он равен 0,6 поскольку 0,6 2 = 0,36

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь вычислим получившееся выражение. Согласно порядку действий, сначала надо выполнить умножение, затем сложение:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Вынесение множителя из-под знака корня

В некоторых задачах может быть полезным вынесение множителя из-под знака корня.

Рассмотрим квадратный корень из произведения квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Согласно правилу извлечения квадратного корня из произведения, нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя данного произведения:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

В нашем примере квадратный корень извлекается только из множителя 4. Его мы извлечём, а выражение квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиоставим без изменений:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Это и есть вынесение множителя из-под знака корня.

На практике подкореннóе выражение чаще всего требуется разложить на множители.

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 9 и 2. Тогда полýчим:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь воспользуемся правило извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 9. Множитель 2 остáвим под кóрнем:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 121 и 3. Тогда полýчим:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 121. Выражение √3 остáвим под корнем:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 4. Вынести множитель из-под знака корня в выражении квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Квадратный корень извлекается только из числа 121. Извлечём его, а выражение √15 оставим без изменений:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Получается, что множитель 11 вынесен из-под знака корня. Вынесенный множитель принято записывать до выражения с корнем. Поменяем выражения √ 15 и 11 местами:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 5. Вынести множитель из-под знака корня в выражении квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 4 и 3

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Извлечём корень из числа 4, а выражение √3 остáвим без изменений:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 6. Упростить выражение квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Предстáвим второе слагаемое квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамив виде квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. А третье слагаемое квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамипредстáвим в виде квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь в выражениях квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамии квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамивынесем множитель из-под знака корня:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Замечáем, что получившемся выражении квадратный корень √3 является общим множителем. Вынесем его за скобки:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Вычислим содержимое скобок, полýчим −1

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Если множителем является −1, то записывают только минус. Единица опускается. Тогда полýчим окончательный ответ −√3

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим следующее выражение:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

В этом выражении число 5 умнóжено на квадратный корень из числа 9. Найдём значение этого выражения.

Сначала извлечём квадратный корень, затем перемнóжим его с числом 5.

Квадратный корень из 9 равен 3. Перемнóжим его с числом 5. Тогда полýчим 15

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Число 5 в данном случае было множителем. Внесём этот множитель под знак корня. Но сделать это нужно таким образом, чтобы в результате наших действий значение исходного выражения не изменилось. Проще говоря, после внесения множителя 5 под знак корня, получившееся выражение по-прежнему должно быть равно 15.

Значение выражения не изменится, если число 5 возвести во вторую степень и только тогда внести его под корень:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Итак, если данó выражение квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами, и нужно внести множитель a под знак корня, то надо возвести во вторую степень множитель a и внести его под корень:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Возведём число 7 во вторую степень и внесём его под знак корня:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 2. Внести множитель под знак корня в выражении квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Возведём число 10 во вторую степень и внесем его под знак корня:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 3. Внести множитель под знак корня в выражении квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Вносить под знак корня можно только положительный множитель. Ранее было сказано, что выражение вида квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамине имеет смысла.

Однако, если перед знаком кóрня располагается отрицательный множитель, то минус можно оставить за знáком корня, а самó число внести под знак корня.

Пример 4. Внести множитель по знак корня в выражении квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

В этом примере под знак корня внóсится только 3. Минус остаётся за знáком корня:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Пример 5. Выполнить возведéние в степень в следующем выражении:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Теперь необходимо упростить получившееся выражение.

Для выражений квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамии квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиприменим правило квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Ранее мы говорили, что если выражение вида квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамивозвести во вторую степень, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a.

А в выражении квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамидля множителей квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамии квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамиприменим правило квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. То есть заменим произведение корней на один общий корень:

квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами

Приведём подобные слагаемые. В данном случае можно сложить слагаемые 3 и 2. А в слагаемом квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть фото квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Смотреть картинку квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Картинка про квадратные корни примеры для тренировки с ответами. Фото квадратные корни примеры для тренировки с ответамивычислить произведение, которое под кóрнем:

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *