квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

Квадратные уравнения (8 класс)

Уравнение называют квадратным, если его можно записать в виде \(ax^2+bx+c=0\), где \(x\) неизвестная, \(a\), \(b\) и \(с\) коэффициенты (то есть, некоторые числа, причем \(a≠0\)).

В первом примере \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). В двух других \(a\),\(b\) и \(c\) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду \(ax^2+bx+c=0\), они обязательно появятся.

Коэффициент \(a\) называют первым или старшим коэффициентом, \(b\) – вторым коэффициентом, \(c\) – свободным членом уравнения.

Виды квадратных уравнений

Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.

Как решать квадратные уравнения

Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения:

    Преобразовать уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).

    Выписать значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
    Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения \(2x^2-3x+5=0\), коэффициент \(b=-3\), а не \(3\).

    Решите квадратное уравнение \(2x(1+x)=3(x+5)\)
    Решение:

    Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак.

    Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.

    Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

    Решите квадратное уравнение \(x^2+9=6x\)
    Решение:

    Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).

    Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

    В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.

    Решите квадратное уравнение \(3x^2+x+2=0\)
    Решение:

    Уравнение сразу дано в виде \(ax^2+bx+c=0\), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.

    Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

    Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут ).

    Пример. Решить уравнение \(x^2-7x+6=0\).
    Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
    Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).

    Источник

    Квадратное уравнение

    Что такое квадратное уравнение и как его решать?

    Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.

    Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.

    Например, следующие уравнения являются квадратными:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.

    Итак, в уравнении x 2 − 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.

    Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки, перед квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировкиследует поставить знак ±

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Затем найти арифметическое значение квадратного корня квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.

    Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (x + 2) 2 = 25

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Запишем полностью решение уравнения (x + 2) 2 = 25

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:

    Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.

    В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x 2 + 6x = 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6 ), но отсутствует свободный член c.

    Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.

    Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Получилось уравнение x(2x + 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2x + 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

    В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2x + 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Видим, что второй корень равен −3.

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Проще говоря, если в квадратном уравнении вида ax 2 + bx + c = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.

    Отметим, что когда употребляются словосочетания « b равно нулю » или « с равно нулю «, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Значит корнем уравнения x 2 − 2x + 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.

    В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.

    Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.

    Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Выделим полный квадрат из левой части:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Значит корнем уравнения x 2 − 6x + 9 = 0 является 3. Выполним проверку:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Выделим полный квадрат из левой части:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Воспользуемся квадратным корнем:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Получили два простых уравнения: 2x + 7 = 11 и 2x + 7 = −11. Решим их:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Пример 5. Решить уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0

    Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Выделим полный квадрат.

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    При представлении члена квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировкив виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировкисократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.

    Свернём полученный полный квадрат:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Приведём подобные члены:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Перенесём дробь квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировкив правую часть, изменив знак:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Воспользуемся квадратным корнем. Выражение квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировкипредставляет собой квадратный корень из числа квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Тогда наше уравнение примет вид:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Полýчим два уравнения:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Значит корнями уравнения 2x 2 + 3x − 27 = 0 являются числа 3 и квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки.

    Корень квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировкиудобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.

    Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0 решено верно.

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.

    Любое квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения ax 2 + bx + c = 0 нужно разделить на a

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x 2 + x + 2 = 0

    Сделаем данное уравнение приведённым:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Выделим полный квадрат:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Получили уравнение квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки, в котором квадрат выражения квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировкиравен отрицательному числу квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.

    Формулы корней квадратного уравнения

    Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.

    Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.

    Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения ax 2 + bx + c = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Перенесем члены квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировкии квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировкив правую часть, изменив знак:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    В числителе правой части вынесем за скобки a

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Сократим правую часть на a

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировкиимеет те же корни, что и исходное уравнение ax 2 + bx + c = 0.

    D = b 2 − 4ac = 1 2 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

    Видим, что D (оно же b 2 − 4ac ) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x 2 + x + 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки, окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.

    Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b 2 − 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Получили уравнение квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Из него полýчится два уравнения: квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировкии квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Выразим x в каждом из уравнений:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Очерёдность применения формул не важнá.

    Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.

    D = b 2 4ac = 2 2 − 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    D = b 2 4ac = (−6) 2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Значит корнем уравнения x 2 − 6x + 9 = 0 является число 3.

    Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировкии квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.

    Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки, а не формулы квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировкии квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Это позволяет сэкономить время и место.

    Пример 3. Решить уравнение 5x 2 − 6x + 1 = 0

    Найдём дискриминант квадратного уравнения:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Значит корнями уравнения 5x 2 − 6x + 1 = 0 являются числа 1 и квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки.

    Ответ: 1; квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки.

    Пример 4. Решить уравнение x 2 + 4x + 4 = 0

    Найдём дискриминант квадратного уравнения:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Пример 5. Решить уравнение 3x 2 + 2x + 4 = 0

    Найдём дискриминант квадратного уравнения:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.

    Ответ: корней нет.

    Пример 6. Решить уравнение (x + 4) 2 = 3x + 40

    Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Приведём подобные члены в левой части:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    В получившемся уравнении найдём дискриминант:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Ответ: 3 ; −8.

    Пример 7. Решить уравнение квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Приведём подобные члены в левой части:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    В получившемся уравнении найдём дискриминант:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Ответ: 23; −1.

    Пример 8. Решить уравнение квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Приведём подобные члены в левой части:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    В получившемся уравнении найдём дискриминант:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Значит корнями уравнения квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировкиявляются числа квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировкии 2.

    Примеры решения квадратных уравнений

    Пример 1. Решить уравнение x 2 = 81

    Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 9 и −9. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Пример 2. Решить уравнение x 2 − 9 = 0

    Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Ответ: 3, −3.

    Пример 3. Решить уравнение x 2 − 9x = 0

    Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.

    Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение x − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Пример 4. Решить уравнение x 2 + 4x − 5 = 0

    Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.

    Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:

    D = b 2 − 4ac = 4 2 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Пример 5. Решить уравнение квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Приведём подобные члены:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Решим получившееся уравнение с помощью формул:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Пример 6. Решить уравнение x 2 = 6

    В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Ответ: квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Пример 7. Решить уравнение (2x + 3) 2 + (x − 2) 2 = 13

    Раскроем скобки в левой части уравнения:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0

    Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

    Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Приведём подобные члены:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Примеры решения задач

    Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

    Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

    Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

    В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

    Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м 2

    Решение

    Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    Решим получившееся уравнение с помощью формул:

    квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Картинка про квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки. Фото квадратные уравнения 8 класс примеры с решениями и ответами для тренировки

    x + 10 = 30 + 10 = 40 м

    Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30 ) получится 1200 м 2

    Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.

    Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

    P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

    Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.

    Источник

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *