квадратные уравнения задачи для тренировки

Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс

Квадратные уравнения 8 класс алгебра

Учитель: Федулкина Т.А.

Формула квадратного уравнения: ax 2 +bx+c=0,где a≠0, где x — переменная, a,b,c — числовые коэффициенты.

Пример полного квадратного уравнения:

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Если D=0, уравнение имеет один корень

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax 2 +bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.
ax 2 +bx=0 x(ax+b)=0 x1=0 x2=-b/a

№1 3x 2 +6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x1=0 3x+6=0 3x=-6 x2=-2

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax 2 +c=0, где числовой коэффициент b=0.

2) Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс алгебра.

Задания для устного решения:

Источник

Как решать квадратные уравнения

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Понятие квадратного уравнения

Уравнения — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значения неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать выражение 3 + x = 7, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Есть три вида квадратных уравнений:

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент может быть любым.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято назвать неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению ax 2 + c = 0, которое:

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Пифагора: x 2 − 6x + 8 = 0.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Выводим формулу корней квадратного уравнения

Продолжим изучать формулу корней квадратного уравнения.

Пусть перед нами есть задача решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Выполним ряд равносильных преобразований:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки,

после чего уравнение примет вид квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Так, мы пришли к уравнению квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки, которое полностью равносильно исходному ax 2 + bx + c = 0.

Отсюда выводы про корни уравнения квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки:

И еще один вывод: есть у уравнения корень или нет, зависит от знака выражения в правой части. При этом важно помнить, что знак этого выражения задается знаком числителя. Потому выражение принято называть дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

По значению и знаку дискриминанта можно сделать вывод, есть ли действительные корни у квадратного уравнения, и сколько.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки, где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

А еще найти корни квадратного уравнения можно с помощью онлайн-калькулятора. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

Источник

Квадратное уравнение

Что такое квадратное уравнение и как его решать?

Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.

Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Например, следующие уравнения являются квадратными:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.

Итак, в уравнении x 2 − 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.

Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки, перед квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировкиследует поставить знак ±

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Затем найти арифметическое значение квадратного корня квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.

Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (x + 2) 2 = 25

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Запишем полностью решение уравнения (x + 2) 2 = 25

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:

Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.

В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x 2 + 6x = 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6 ), но отсутствует свободный член c.

Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.

Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Получилось уравнение x(2x + 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2x + 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2x + 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Видим, что второй корень равен −3.

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Проще говоря, если в квадратном уравнении вида ax 2 + bx + c = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.

Отметим, что когда употребляются словосочетания « b равно нулю » или « с равно нулю «, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Значит корнем уравнения x 2 − 2x + 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.

В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Выделим полный квадрат из левой части:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Значит корнем уравнения x 2 − 6x + 9 = 0 является 3. Выполним проверку:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Выделим полный квадрат из левой части:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Воспользуемся квадратным корнем:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Получили два простых уравнения: 2x + 7 = 11 и 2x + 7 = −11. Решим их:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Пример 5. Решить уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0

Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Выделим полный квадрат.

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

При представлении члена квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировкив виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировкисократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки. При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.

Свернём полученный полный квадрат:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Приведём подобные члены:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Перенесём дробь квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировкив правую часть, изменив знак:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Воспользуемся квадратным корнем. Выражение квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировкипредставляет собой квадратный корень из числа квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Тогда наше уравнение примет вид:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Полýчим два уравнения:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Значит корнями уравнения 2x 2 + 3x − 27 = 0 являются числа 3 и квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки.

Корень квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировкиудобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.

Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0 решено верно.

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.

Любое квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения ax 2 + bx + c = 0 нужно разделить на a

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x 2 + x + 2 = 0

Сделаем данное уравнение приведённым:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Выделим полный квадрат:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Получили уравнение квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки, в котором квадрат выражения квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировкиравен отрицательному числу квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.

Формулы корней квадратного уравнения

Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.

Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.

Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения ax 2 + bx + c = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Перенесем члены квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировкии квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировкив правую часть, изменив знак:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

В числителе правой части вынесем за скобки a

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Сократим правую часть на a

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировкиимеет те же корни, что и исходное уравнение ax 2 + bx + c = 0.

D = b 2 − 4ac = 1 2 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

Видим, что D (оно же b 2 − 4ac ) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x 2 + x + 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки, окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.

Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b 2 − 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Получили уравнение квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Из него полýчится два уравнения: квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировкии квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Выразим x в каждом из уравнений:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Очерёдность применения формул не важнá.

Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.

D = b 2 4ac = 2 2 − 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

D = b 2 4ac = (−6) 2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Значит корнем уравнения x 2 − 6x + 9 = 0 является число 3.

Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировкии квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.

Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки, а не формулы квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировкии квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Это позволяет сэкономить время и место.

Пример 3. Решить уравнение 5x 2 − 6x + 1 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Значит корнями уравнения 5x 2 − 6x + 1 = 0 являются числа 1 и квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки.

Ответ: 1; квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки.

Пример 4. Решить уравнение x 2 + 4x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 + 2x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Пример 6. Решить уравнение (x + 4) 2 = 3x + 40

Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Приведём подобные члены в левой части:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Ответ: 3 ; −8.

Пример 7. Решить уравнение квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Приведём подобные члены в левой части:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Ответ: 23; −1.

Пример 8. Решить уравнение квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Приведём подобные члены в левой части:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Значит корнями уравнения квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировкиявляются числа квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировкии 2.

Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1. Решить уравнение x 2 = 81

Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 9 и −9. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Пример 2. Решить уравнение x 2 − 9 = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Ответ: 3, −3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 − 9x = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.

Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение x − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Пример 4. Решить уравнение x 2 + 4x − 5 = 0

Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.

Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:

D = b 2 − 4ac = 4 2 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Пример 5. Решить уравнение квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Приведём подобные члены:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Пример 6. Решить уравнение x 2 = 6

В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Ответ: квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Пример 7. Решить уравнение (2x + 3) 2 + (x − 2) 2 = 13

Раскроем скобки в левой части уравнения:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0

Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Приведём подобные члены:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Примеры решения задач

Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м 2

Решение

Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть фото квадратные уравнения задачи для тренировки. Смотреть картинку квадратные уравнения задачи для тренировки. Картинка про квадратные уравнения задачи для тренировки. Фото квадратные уравнения задачи для тренировки

x + 10 = 30 + 10 = 40 м

Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30 ) получится 1200 м 2

Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.

Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *