в каком случае можно определить обратную функцию
Обратная функция
Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?
Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.
Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.
Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо :
1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:
2) Из полученного равенства выразить y через x:
Найти функцию, обратную функции y=2x-6.
Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).
y=2x-6 и y=0,5x+3 — линейные функции. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой берём две точки.
Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой).
Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)
Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.
Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.
Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.
Классический пример — функция y=x². На промежутке [0;∞) функция возрастает. Условие обратимости выполнено, следовательно, можем искать обратную функцию.
Так как область определения функции y=x² — промежуток [0;∞), область значений на этом промежутке — также [0;∞), то область определения и область значений обратной функции — также [0;∞).
то есть на промежутке [0;∞) y=√x — функция, обратная к функции y=x². Их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей:
В алгебре наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
1 комментарий
Для физических задач говорить об обратной функции, думаю, можно лишь для безразмерных у и х. При различии их размерностей, значит, и осей их графиков, надо для обратной функции поворачивать и оси.
Тогда лучше говорить о выражении аргумента х в явном виде, не упоминая об обратной функции. Значит, надо функцию у=ах/С+в, где х и С имеют, например, одинаковую размерность (например, кг), представить в виде уравнения ах/С+в-у=0. Из него можно выразить в явном виде у или х. Тогда либо у, либо х надо будет считать функцией с собственной координатной осью с собственной размерностью. При этом ось функции обычно является вертикальной.
Вопрос: можно ли считать выраженные в явном виде функции у и х обратными?
Обратная функция
Функция — это действие над переменной. Но что будет, если сделать действие — и обратное действие? Открыть дверь и закрыть дверь. Включить свет и выключить свет. Будет то же, что и было раньше, верно? Так и с функциями.
Функции f(x) и g(x) называются взаимно-обратными, если f(g(x)) = x.
Еще один пример взаимно-обратных функций:
Вспомним определение функции. Числовая функция y = f(x) — это такое соответствие между двумя числовыми множествами A и B, при котором каждому числу x ∈ A отвечает одно-единственное число y ∈ B. Множество A называется при этом областью определения функции, множество B — областью значений.
Пусть соответствие f является взаимно-однозначным:
Тогда существует функция g, которая действует в обратную сторону: каждому числу y ∈ B она ставит в соответствие одно-единственное число x ∈ A, такое, что f(x) = y:
Функция g называется обратной к функции f. Точно так же и функция f будет обратной к функции g.
Если мы возьмём какое-либо число x ∈ A и подействуем на него функцией f, то получим число y = f(x) ∈ B. Теперь на полученное число y подействуем функцией g. Куда попадём? Правильно, вернёмся к исходному числу x. Это можно записать так:
 | (1) |
Последовательное применение двух взаимно-обратных действий возвращает нас в исходную точку. Как и в жизни: сначала открыли дверь, а потом совершили обратное действие — закрыли дверь; в итоге вернулись к начальной ситуации.
Так, если возвести число 3 в степень x, а затем совершить обратное действие — взять от полученного числа 3 x логарифм по основанию 3 — мы вернёмся к исходному числу x:
Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой у = x.
То, что для функции является областью определения, для обратной функции будет областью значений.
Как вывести формулу обратной функции?
Если вы учитесь в математическом классе или на первом курсе вуза, вам может встретиться такое задание.
Например, у вас есть линейная функция Какая же функция будет к ней обратной?
Действуем следующим образом:
1) Выражаем из формулы функции x через у.
2) В формуле меняем x и у местами. Получаем формулу обратной функции:
1) Выражаем из формулы функции x через у. Получаем:
2) В формуле меняем x и у местами. Получаем формулу обратной функции:
Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики
Понятие обратной функции
Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?
Нахождение взаимно обратных функций
Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.
Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.
Решение
Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:
Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.
Решение
В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.
На графике обе функции будут выглядеть так:
Основные свойства взаимно обратных функций
a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = п о ф о р м у л е п р и в и д е н и я = a r c sin sin π 3 = π 3
Графики взаимно обратных функций
На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):
Графики для функций с a > 1 и a 1 будут выглядеть так:
Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):
График главной ветви косинуса и арккосинуса выглядит так:
График главной ветви арктангенса и тангенса:
График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:
Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.
Обратная функция
Оглавление
определение
Оказывается, все представленные концепции обратимости эквивалентны концепции биективности. Все определения обратной функции также приводят к одному и тому же результату.
обозначение
Простые примеры
характеристики
то из каждого из следующих трех свойств уже можно сделать вывод, что обе функции взаимно однозначны и их взаимно обратные функции:
Обратная функция для небиективных функций
Во многих случаях существует потребность в обратной функции для небиективной функции. Для этого можно использовать следующие инструменты:
Примеры
расчет
Эффективное определение обратной функции часто бывает затруднительным. Методы асимметричного шифрования основаны на том факте, что обратная функция функции шифрования может быть эффективно определена только в том случае, если известен секретный ключ. Правило расчета самой функции шифрования широко известно.
Обратные функции и морфизмы
Если теперь взглянуть на функции между двумя наборами, имеющими структуру одного и того же типа (то есть два упорядоченных набора), то особенно заинтересуются функции между этими наборами, которые «совместимы» с соответствующими структурами. Эта совместимость должна быть определена отдельно. Однако в большинстве случаев определение очевидно.
Если морфизм биективен, возникает вопрос, является ли обратная функция также морфизмом.
Это автоматически происходит во многих областях математики. Например, обратные функции биективных гомоморфизмов также автоматически являются гомоморфизмами.
В других подобластях дело обстоит иначе. В случае упорядоченных множеств это зависит, например, от того, ограничивается ли один полными порядками (тогда обратные функции монотонных функций снова являются монотонными) или допускаются ли также частичные порядки (тогда это не всегда так).
Обратные функции линейных отображений
Особенно важным примером концепции морфизма является концепция линейного отображения (гомоморфизм векторного пространства). Биективное линейное отображение всегда является изоморфизмом. Часто возникает вопрос, как эффективно определить их обратную функцию.
Обобщения
Представленное выше понятие обратной функции как обратной биекции слишком узко для более общих приложений. Соответственно, существуют обобщения для таких ситуаций, два из которых представлены ниже.
Левый обратный
Инъективная функция может иметь несколько обратных слева. Это как раз тот случай, когда функция не является сюръективной и в области более одного элемента.
Правый обратный
Однако во многих случаях неоднозначность можно разрешить с помощью глобального определения. Так обстоит дело, например, с определением квадратного корня, где неоднозначность всегда разрешается в пользу положительного решения. В таких случаях аксиома выбора не нужна.
Сюръективная функция имеет несколько обратных справа тогда и только тогда, когда она не инъективна.
Правые инверсии часто выступают как функции, определяющие представителей множества.
Левая и правая обратные морфизмы
Взаимно обратные функции
Функция, обратная данной
По определению (см. §34 справочника для 7 класса)
Функция – это соответствие, при котором каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.
Пусть некоторое соответствие задано таблицей:
Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной
Шаг 2. Из полученной формулы выразить y(x). Искомое выражение для обратной функции найдено.
Шаг 3. Учесть ограничения для области определения и области значений исходной и/или обратной функций.
Шаг 3. Ограничений на x и y нет
Шаг 3. Ограничений на x и y нет
Шаг 3. На исходную функцию накладываются ограничения
Шаг 3. На обратную функцию накладываются ограничения
Исходная функция — парабола получает ограничения из-за обратной функции; только в этом случаи функции будут взаимно обратными.
Свойства взаимно обратных функций
1. Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений функции f является областью определения функции g.
2. Функции f и g либо одновременно возрастающие, либо одновременно убывающие.
4. Графики f и g симметричны относительно биссектрисы 1-й четверти y = x.
5. Справедливы тождества f(g(x) ) = x и g(f(x) ) = x.
Графики пар взаимно обратных функций, найденных выше:
 |  |
 |  |
Примеры
Пример 1. Задайте формулой функцию, обратную данной.
Меняем аргумент и значение: x = 5y-4
Меняем аргумент и значение: x = 4y+1
$6 \ge x \ge 2,5 \Rightarrow 2,5 \le x \le 6$
Пример 2. Найдите функцию, обратную данной.
Постройте график исходной и обратной функции в одной системе координат.
$x = y^2 \Rightarrow y = \pm \sqrt
$x = y-3 \Rightarrow y = x+3$
$x = \frac<1>
$x = 1+ \sqrt