в каком случае полученные векторы равны
Равные векторы
В различных школьных учебниках определение равных векторов даётся по-разному.
В классическом учебнике Погорелова А. В. понятие равных векторов вводится с помощью параллельного переноса.
Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом.
(то есть существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого).
Например, изображенные на рисунке
Равенство векторов обозначают так:
(Свойства равных векторов)
1) Равные векторы сонаправлены и имеют равные длины.
2) Равные векторы имеют равные координаты.
3) От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
1) 1-е свойство вытекает непосредственно из определения равных векторов и свойств параллельного переноса.
2) Пусть дан вектор
с началом в точке A(x1; y1) и концом в точке B(x2; y2).
По определению равных векторов, вектор
равный данному, получен из
Если этот параллельный перенос задан формулами
Найдём координаты каждого из векторов:
То есть координаты равных векторов
Что и требовалось доказать.
Таким образом, координаты задают длину и направление вектора, но не фиксируют его.
3) Пусть даны вектор
и точка C.
Существует и притом единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку C — параллельный перенос на вектор
При таком параллельном переносе вектор
переходит в вектор
По определению равных векторов,
Что и требовалось доказать.
На практике, если требуется отложить от некоторой точки вектор, равный данному, удобно это делать с помощью параллелограмма (если точка, от которой откладывается вектор, не лежит на прямой, содержащей этот вектор).
Например,
отложенный от точки C, равен вектору
(Признаки равенства векторов)
1) Если векторы сонаправлены и имеют одинаковые длины, то они равны.
2) Если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.
1) 
Пусть векторы
сонаправлены и имеют одинаковые длины.
Параллельный перенос, который переводит точку A в точку C, совмещает луч CD с лучом AB (поскольку векторы одинаково направлены). А так как длины отрезков CD и AB равны, то точка D при этом совместится с точкой B. Таким образом, этот параллельный перенос вектор
переводит в вектор
По определению равных векторов,
Что и требовалось доказать.
Параллельный перенос, заданный формулами
переводит точку A в точку A′, точку B — в точку B′, то есть совмещает векторы
А это означает, что
Что и требовалось доказать.
В учебнике Атанасяна Л. С. и др. дано другое определение равных векторов.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.
Векторы, имеющие равные длины
Рассмотрим векторы, имеющие равные длины. Если такие векторы сонаправлены, их называют равными.
У равных векторов совпадает и длина и направление.
Векторы, направленные в противоположные стороны, даже, если у них будут равные длины, равными назвать не получится.
Если совпадает только одна характеристика — длина, то векторы называют равными по модулю.
Равные векторы
Если два вектора равны (т. е. одинаковые), то у них одинаковые:
Рассмотрим рисунок 1. На рисунке представлены векторы, обозначенные красным и зеленым цветом. Видно, что векторы имеют равные координаты — проекции на оси. Длины проекций для этих векторов: на ось Ox = 2, на ось Oy = 3. Если векторы имеют равные соответственные проекции (координаты), то эти векторы равны.
Примечание:
Когда векторы равны, вместо одного из них мы можем использовать второй вектор. Если нам будет удобнее работать со вторым вектором.
Противоположно направленные векторы
Вектор можно развернуть в противоположную сторону. С точки зрения математики, для этого достаточно перед вектором дописать знак минус.
Пример 1:
Когда векторы обозначают двумя буквами, то:
Вектор \( \left(-\overrightarrow
На языке математики это записывают так: \( \left(-\overrightarrow
Для вектора \( \overrightarrow
А для вектора \(\overrightarrow
Когда даны координаты вектора, то, чтобы его развернуть в противоположную сторону, нужно изменить знак каждой его координаты на противоположный.
Пример 2:
Примечание:
Если равны только длины векторов, а направлены они в противоположные стороны, знак равенства между ними записать не получится. Такие векторы не равны!
Физика, равные по модулю противоположно направленне векторы
В физике, в третьем законе Ньютона, идет речь о равных по модулю и противоположно направленных векторах.
Чтобы приравнять такие векторы, необходимо перед одним из них записать знак минус:
В каком случае полученные векторы равны
1. Основные определения
Вектор представляет собой направленный отрезок прямой, для которого определены правила (законы) сложения с другими векторами, правило вычитания векторов, правило умножения вектора на число, скалярное произведение двух векторов и некоторые другие операции.
Число, выражающее длину направленного отрезка, называют модулем вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки наверху, например: модулем вектора `vec v` является число `v`. Часто для обозначения модуля вектора прибегают к помощи знака абсолютной величины и пишут, например, `|vec v|` или `|vec F|`.
Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления и его длина (модуль) равна нулю.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Так, например, на рис. 3 векторы `vec a`, `vec b` и `vec c` коллинеарны.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
В физике точка приложения вектора иногда имеет принципиальное значение. Достаточно вспомнить рычаг: две равные по модулю силы, направленные в одну и ту же сторону, производят на рычаг разное действие, если плечи сил не равны друг другу. И всё же сами силы равны друг другу! Бывают и случаи, когда вектору трудно приписать конкретную точку приложения. Например, если одна система отсчёта движется относительно другой со скоростью `vec v`, то какой точке приписать эту скорость? Всем точкам движущейся системы!
2. Сложение двух векторов.
Пусть даны два произвольных вектора `vec a` и `vec b` (рис. 5а).
Описанное правило есть просто определение суммы векторов. Как и в случае с числами, сумма векторов не зависит от порядка слагаемых, и поэтому можно записать
Оба способа сложения дают идентичный результат и одинаково часто применяются на практике. Когда речь идёт о нахождении суммы трёх и более векторов, часто последовательно используют правило треугольника. Поясним сказанное.
3. Сложение трёх и более векторов.
Пусть нужно сложить три вектора `vec a`, `vec b` и `vec d` (рис. 6).
Для этого по правилу треугольника сначала находится сумма любых двух векторов, например `vec a` и `vec b`, потом полученный вектор `vec c = vec a + vec b` по тому же правилу складывается с третьим вектором `vec d`. Тогда полученный вектор `vec f = vec c + vec d` и будет представлять собой сумму трёх векторов `vec a`, `vec b` и `vec d`: `vec f = vec a + vec b + vec d`. Как и в случае с двумя векторами, порядок слагаемых не влияет на конечный результат.
Так, на рис. 7 вектор `vec g` представляет собой сумму векторов `vec a`, `vec b`, `vec d`, `vec e`, найденную по правилу многоугольника: `vec g = vec a + vec b + vec d + vec e`.
Не всякая векторная сумма может иметь физический смысл. Не всякие величины вообще имеет смысл складывать. Так, например, бессмысленно говорить, что, если у меня температура `36,6^@` и у вас тоже `36,6^@`, то вместе у нас температура `73,2^@`, хотя складывать температуры (числа) никто не запрещает. Всё же чаще всего сумма температур представляет собой никому не нужную величину; она редко входит в какие-либо уравнения (входит почти случайно).
Иное дело – с массой. Если система состоит из тел с массами `m_1`, `m_2`, `m_3` и т. д., то масса всей системы равна `m = m_1 + m_2 + m_3 + ` и т. д. (Если на лифте написано, что максимальный груз, перевозимый лифтом, равен `500` кг, то перед входом в лифт нужно убедиться, что сумма масс вносимых в лифт грузов не превышает `500` кг.) Говорят, что масса – есть аддитивная величина (от английского слова add – добавлять, прибавлять, складывать). А вот температура – не аддитивная величина.
В последнем равенстве мы встречаемся с умножением вектора на скаляр. Поясним эту процедуру.
4. Умножение вектора на скаляр.
Произведением вектора `vec a` на число `k` называют новый вектор `vec b = k vec a`, коллинеарный вектору `vec a`, направленный в ту же сторону, что и вектор `vec a`, если `k > 0`, и в противоположную сторону, если `k
Вектор. Виды векторов.
Вектор — в самом элементарном случае это математический объект, который характеризуется
величиной и направлением.
В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая
из его граничных точек является началом, а какая — концом.
У вектора есть длина и определенное направление. Графически вектора изображаются как
направленные отрезки прямой конкретной длины. Длина вектора – это и есть длина этого отрезка.
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.
Как видно на рисунке, начало отрезка – это точка А, концом отрезка является
точка В, а непосредственно вектор обозначен через 
. У направления
вектора существенное значение, если переместить стрелку на другую
сторону отрезка, то получим вектор, но абсолютно другой. Понятие вектора
удобно сравнивать с движением физического тела: подумайте, ехать на
рыбалку и с рыбалки – разница огромная.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не имеет значения — так как направления их могут быть
разными. Сравнивают лишь длины векторов. Зато есть понятие равенства для векторов.
Виды векторов.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1.
Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором.
У такого вектора конец и начало совпадают.
Нулевой вектор обычно обозначается как 
. Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.
Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой
или которые лежат на одной прямой.
Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора a и b называются
сонаправленными векторами только тогда, когда их направления
соответствуют друг другу: a↑↑b
Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора
a и b называются противоположно направленными векторами, только
когда они направлены в разные стороны: a↑↓b.
Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной
плоскости или те, которые лежат на общей плоскости.
В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельную
двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются
Равные вектора. Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на
одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые.
То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место
Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые
и имеют одинаковые длины:
Для координатного представления векторов огромное значение
оказывает понятие проекции вектора на ось (направленную
прямую).
проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую,
при этом проекции добавляется знак “+”, но когда направление
проекции соответственно направлению оси, иначе — знак “–”.
Проекция – это длина заданного вектора, умноженная на cos угла исходного вектора и оси; проекция
вектора на ось, которая перпендикулярна ему = 0.
Когда работают с векторами, зачастую вводят так называемую
декартову систему координат и уже в этой системе находят
координаты вектора по базисным векторам.
Разложение по базису геометрически можно показать проекцией
вектора на координатные оси. Когда известны координаты начала и
конца вектора, то координаты данного вектора получают вычитая
из координат конца вектора координат начала вектора.
За базис зачастую выбираются координатные орты, которые обозначаются как 
, соответственно
осям x, y, z. Исходя из этого, вектор 
можно записать в таком виде:
Каждое геометрическое свойство есть возможность записать в координатах, и далее исследование
из геометрического переходит в алгебраическое и на этом этапе в основном упрощается. Обратное,
кстати, неверно: не у любого соотношения в координатах есть геометрическое толкование, но только
те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные).
Лекция на тему: «Векторы».
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Если начало вектора совпадает с его концом, получим нулевой вектор.
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.
Определение. Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.
Нулевой вектор обычно обозначается как 0.
Длина нулевого вектора равна нулю.
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
Противоположно направленные вектора
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.
Условия компланарности векторов
Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.
Определение. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).
То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:
Примеры задач на равенство векторов
Примеры плоских задач на равенство векторов
Пример 1. Определить какие из векторов равны a = <1; 2>, b = <1; 2>, c = <3; 2>.
Пример 2. При каком значении параметра n вектора a = <1; 8;>и b = <1; 2 n >равны.
Проверим равенство компонентов векторов
a x = b x = 1
a y = b y => 8 = 2 n => n = 8/2 = 4
Ответ: при n = 4 вектора a и b равны.
Примеры пространственных задач на равенство векторов
Пример 3. Определить какие из векторов равны a = <1; 2; 4>, b = <1; 2; 2>, c = <1; 2; 4>.
Пример 4. При каком значении параметра n вектора a = <1; 2; 4>и b = <1; 2; 2 n >равны.
Проверим равенство компонентов векторов
a x = b x = 1
a y = b y = 2
a z = b z => 4 = 2 n => n = 4/2 = 2
Ответ: при n = 2 вектора a и b равны.
Основное соотношение. Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.
Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).
Формулы определения координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки
Формула определения координат вектора для плоских задач
В случае плоской задачи вектор AB заданный координатами точек A(A x ; A y ) и B(B x ; B y ) можно найти воспользовавшись следующей формулой
Формула определения координат вектора для пространственных задач
В случае пространственной задачи вектор AB заданный координатами точек A(A x ; A y ; A z ) и B(B x ; B y ; B z ) можно найти воспользовавшись следующей формулой
Формула определения координат вектора для n -мерного пространства
Примеры для плоских задач
Пример 1. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4), B(3; 1).
Примеры для пространственных задач
Пример 4. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5), B(3; 1; 1).
Примеры для n -мерного пространства
Определение длины вектора
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.
Основное соотношение. Длина вектора | a | в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
Формулы длины вектора
Формула длины вектора для плоских задач
В случае плоской задачи модуль вектора a = < a x ; a y > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Формула длины вектора для пространственных задач
В случае пространственной задачи модуль вектора a = < a x ; a y ; a z > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи
Пример 1. Найти длину вектора a = <2; 4>.
Решение: | a | = √ 3 2 + (-4) 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5.
Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи
Пример 3. Найти длину вектора a = <2; 4; 4>.
Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 = √ 4 + 16 + 16 = √ 36 = 6.
Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3
Решение: | a | = √ 1 2 + (-3) 2 + 3 2 + (-1) 2 = √ 1 + 9 + 9 + 1 = √ 20 = 2√ 5
Пример 6. Найти длину вектора a = <2; 4; 4; 6 ; 2>.
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = < a x ; a y > и b = < b x ; b y > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = < a x ; a y ; a z > и b = < b x ; b y ; b z > можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Формула скалярного произведения n -мерных векторов
Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:
Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Формула вычисления проекции вектора на вектор
Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:
Примеры задач на проекцию вектора
Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач
Пример 1. Найти проекцию вектора a = <1; 2>на вектор b = <3; 4>.
Найдем скалярное произведение этих векторов
a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11
Найдем модуль вектора b
| b | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
Найдем проекцию вектора a на вектор b
Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи
Пример 2. Найти проекцию вектора a = <1; 4; 0>на вектор b = <4; 2; 4>.
Найдем скалярное произведение этих векторов
a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12
Найдем модуль вектора b
| b | = √ 4 2 + 2 2 + 4 2 = √ 16 + 4 + 16 = √ 36 = 6
Найдем проекцию вектора a на вектор b
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-626631
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Школьников не планируют переводить на удаленку после каникул
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
ВШЭ перейдет на удаленку до конца года
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения намерено включить проверку иллюстраций в критерии экспертизы учебников
Время чтения: 1 минута
Московские школьники могут уйти на каникулы с 25 октября
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки утвердило перечень олимпиад для школьников на 2021-2022 учебный год
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.