задачи в обучении математике функции задач в обучении обучение учащихся поиску решения задач

Задачный подход к обучению. Обучение поиску решения задач.

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Задачный подход к обучению. Обучение поиску решения задач».

Корабль образования должен двигаться галсами, ибо движение в одном направлении либо приведёт его в тупик, либо посадит на мель. Наступило время сделать очередной галс. Речь, ни в коем случае, не должна идти об отказе от уже сделанного, о возврате назад, а лишь о некотором повороте, отражающем произошедшие за это время кардинальные изменения в обществе. Из чего исходить при выборе нового направления?

Сегодня мы живём в других социально-политических реалиях. Если раньше истина директивно задавалась с верху и была единственной, то сегодня одни и те же явления могут оцениваться с различных точек зрения – монополии на истину не существует.

Происходит глобализация восприятия мира. Мы начинаем острее воспринимать сложность и взаимосвязанность идущих в природе и обществе процессов, в том числе и явлений самоорганизации.

Резко изменилась и продолжает меняться информационная среда. Человеку, находящемуся в лавинах информационных потоков, необходимо научиться быстро, перерабатывать огромный объём зачастую противоречивой информации, адаптироваться в этих условиях.

Всё это показывает необходимость более решительно подходить к реформе математического образования, прекратить топтаться на месте, поскольку математическое образование наиболее способствует

изучению физики, химии, биологии, экономики, астрономии, информатики и др.;

развитию порядочности и самостоятельности в здоровой социальной среде;

успешному продолжению образования;

воспитанию профессиональных качеств при овладении любой профессией;

развитию эстетических чувств (красивый факт, красивая задача или решение, изящное доказательство.

Математика универсальна, всеобща, приобщает к мировой культуре, именно потому не существует национальной, ведомственной или государственной математики.

Всё это заставляет задуматься о возможности осторожных и продуманных изменениях как в содержании, так и в методических технологиях школьного математического образования. Одной из таких технологий является – система задач и задачный подход к обучению.

Самое главное найти у каждого ученика мотив к учению и самое трудное в работе учителя поиск необходимых инструментов прикосновения к личности. Как сформировать у учащихся интерес к предмету, научить самостоятельно и творчески добывать знания, активно участвовать в процессе обучения, уметь анализировать и оценивать свои знания – эти вопросы волновали меня как учителя. Помогла технология постановки целей (М.Е.Бершадский, В.В.Гузеев) – система задач и задачный подход к обучению.

Методы нахождения решений и психическая деятельность, связанная с поиском решения, во многом сходны как в жизненных или производственных задачах, так и в школьных (по математике, физике, химии). Поэтому ознакомление учащихся с методами поиска решений является средством не только улучшения учебных навыков, но и воспитания учащихся, подготовки их к будущей производственной деятельности, к жизни. От эффективности применения задач в обучении математике во многом зависит и степень подготовленности школьников к практической деятельности в любой сфере производства, народного хозяйства и культуры.

Решая математические задачи, представленные в продуманной системе, учащиеся не только активно овладевают содержанием курса математики, но и приобретают умения мыслить творчески. Это проявляется, например, в умении изменить условие задачи с целью применить тот или иной метод, приём в умении изобретать новые приёмы для решения задач; в умении выделять и накапливать потенциально полезную информацию; умение конструировать на базе данной задачи новые; в умении осуществлять самоконтроль, исследовать результат решения.

Поэтому можно утверждать, что педагогические основы использования задач в современном школьном обучении правомерно являются тем средством обучения, без применения которого невозможно активное и прочное усвоение учащимися программного материала, их всестороннее воспитание и развитие, приобщение к труду творческого характера.

В связи с этим уместно напомнить высказывание известного педагога- математика Д.Пойа: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причём не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности. Поэтому первая и самая главная обязанность курса математики средней школы состоит в подчёркивании методической стороны процесса решения задач». Этому способствует задачный подход к обучению.

По традиции в школьной практике в одних случаях осуществляется постепенный переход от метода шаблонных задач к методу нешаблонных, а в других такой постепенный переход не соблюдается. Когда не соблюдается постепенный переход от метода шаблонных задач к методу нешаблонных, нарушаются дидактические принципы последовательного преодоления трудностей, доступности, что приводит к плохим знаниям. Осуществляя постепенный переход от метода шаблонных задач к методу нешаблонных, ускоряя такой переход в случае работы с сильными классами, и, наоборот, переходя к простейшим, порой примитивнейшим упражнениям в слабых классах, отрабатывая в последних умения и навыки проведения тех преобразований, вычислений и рассуждений, которыми должны были обладать учащиеся, но, к сожалению, не обладают, мы всегда можем осуществить дидактические принципы последовательного преодоления трудностей, доступности, полноты, сравнения и т.д.

Ныне действующие программы по математике не предусматривают изучение каких-либо теоретических основ о задачах и их решении. Теоретические знания о задачах и их решении нужны учащимся для того, чтобы они могли производить решение разнообразных задач сознательно и целенаправленно, а не только лишь на основе подражания, по аналогии с ранее решёнными задачами. Конечно, такие аналогии нужны, но если ученик при встрече с незнакомой задачей ограничивается лишь поиском аналогий, то неминуемы ошибки, а в большинстве случаев решение вовсе не будет найдено. Поиск решения незнакомых задач должен вестись школьниками культурно и сознательно, с полным пониманием сущности самой задачи и её решения. Важнейшими элементами любого метода поиска решения являются анализ и синтез. При решении математических задач синтез может использоваться в двух формах рассуждения: 1) когда двигаются от данных к искомым фактам; 2) когда элементы объединяют в одно целое. Точно так же и анализ может выступать в двух формах: 1) когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи; 2) когда целое (фигуру, выражение и т.п.) расчленяют на части.

Остановимся ещё на одном моменте, который играет важную роль в процессе поиска решения. Во время раздумья над возможными путями решения задачи учащемуся пришёл в голову некоторый «шажок мысли». Правильным ли он является? Критерием в этом вопросе является прогнозирование, т. е. предвидение результата, получаемого в процессе анализа, синтеза, обобщения. Формирование умения прогнозировать, предвидеть результаты, к которым приведёт каждый отдельный шажок мысли, является важным компонентом развития мышления. С этой целью на уроках математики при обсуждении идеи решения, когда кто-либо из учащихся предлагает воспользоваться той или иной формулой, теоремой, тождественным преобразованием, целесообразно добиваться того, чтобы он обосновывал разумность своего предложения и хотя бы в общих чертах указывал, к чему оно приведёт. Тем самым перед всем классом раскрывается аналитико-синтетический ход рассуждений одного из учащихся, а остальные приучаются прогнозировать процесс поиска решения задачи.

Невозможно сказать, как возникает решение трудной задачи. Вспомним три из «десяти заповедей учителя» Д.Пойа:

6.Старайтесь научить своих учеников догадываться.

7.Старайтесь научить своих учеников доказывать.

10.Пользуйтесь наводящими указаниями, но не старайтесь навязывать своего мнения насильно.

В каждом способе решения задач какого-либо вида, в самом решении этих задач, в умениях, формируемых при этом, содержатся как чисто специфические черты, присущие лишь способу и умениям, соответствующим данному виду задачи, так и некоторые общие черты, присущие методам и умениям по решению любых математических задач. Поэтому при решении задач того или иного вида надо в первую очередь подчёркивать и выделять общие методы решения задач: разбиение на подзадачи, разбиение области задачи на части, сведение данной задачи к ранее решённым, модельные преобразования задачи…

Значит, задача учителя состоит в следующем: сформировать такой общий подход к решению задач, когда задача рассматривается как объект для анализа, для исследования, а её решение – как конструирование и изобретение способа решения. Естественно, что такой подход требует не бездумного решения огромного числа задач, а неторопливого, внимательного и обстоятельного решения значительно меньшего числа задач, но с серьёзным последующим анализом проведённого решения, выявления в нём общих методов и приёмов решения любых математических задач.

Главное при этом – разбудить дремлющие силы самого ученика, вызвать у него ненасыщаемую жажду знаний, желание самосовершенствования.

Задачный подход к обучению имеет свои закономерности, принципы, правила и требования. Они являются ориентиром в моей работе. К ним относятся: полнота, наличие ключевых задач, связность, возрастание трудности в каждом уровне, целевая ориентация, целевая достаточность, гибкость, психологическая комфортность.

1. Полнота. Наличие задач на все изучаемые понятия, факты, способы деятельности, включая мотивационные, подводящие под понятие, на аналогию, следствие из фактов.

2. Наличие ключевых задач. Группировка задач в узлы вокруг объединяющих центров – задач, в которых рассматриваются факты или способы деятельности, применяемые для решения других задач и имеющие принципиальное значение для усвоения предметного содержания.

3. Связность. Вся совокупность задач графически может быть представлена связным графом, в узлах которого – ключевые задачи, выше них – подготовительные и вспомогательные, ниже – следствия, обобщения и так далее.

4. Возрастание трудности на каждом уровне. Система задач состоит из трёх подсистем, соответствующих минимальному, общему и продвинутому уровням планируемых результатов обучения. В каждой из подсистем трудность задач непрерывно нарастает.

5. Целевая ориентация. Для каждой задачи определено её место и назначение в блоке уроков.

6. Целевая достаточность. Достаточно задач для тренажа в классе и дома, аналогичных задач для закрепления методов решения, задач для групповых и индивидуальных заданий разной направленности, задач для самостоятельной (в том числе и исследовательской) деятельности учащихся, задач для текущего итогового контроля с учётом запасных вариантов.

7.Гибкость. Гибкость задачного подхода выражается в обеспечении возможности приспособления содержания обучения и путей его усвоения к индивидуальным потребностям обучаемых. Надо обеспечить индивидуальный темп усвоения, индивидуальную технологию обучения.

8.Психологическая комфортность. Система задач учитывает наличие разных темпераментов, типов мышления, видов памяти. Есть задачи для устных упражнений, письменного выполнения, чтение чертежа, задачи-шутки и другие. Каждое задание, предлагаемое учителем (там, где это возможно), должно иметь словесное, графическое, предметно-иллюстративное решение. Ученик вправе выбрать какое-либо одно и может рассчитывать на успех, что будет усиливать его учебную мотивацию. Это особенно важно в старших классах, где дидактический материал разнообразен по содержанию, форме и объёму.

Рассмотрим всё выше сказанное на примерах.

«Метод интервалов при решении неравенств»

Предлагаю решить неравенство: (а+2)(а+3)≥0.

Решением его является объединение двух промежутков (-∞;- 3) (- 2; +∞).

Далее предлагаю решить методом интервалов другие неравенства. Но так, чтобы, видоизменяя неравенство можно было увидеть, и как изменяется его решение.

Например: а);

б) (.

Полезно также предложить учащимся неравенства, которые решаются по смыслу:

б)

в) .

Ранее рассмотренные неравенства можно использовать для решения уравнений.

Упражнения, которые составляются и решаются по аналогии.

Другими словами, мы находим общий способ решения различных по заданию задач.

Например, решаем уравнение с одной переменной (х 2 – 4х + 3) 2 + (х 2 – 1,5х + 0,5) 2 = 0. Равенство верно, если х 2 – 4х + 3 = 0;

х 2 – 1,5х + 0,5 = 0. Отсюда, х = 1.

Затем можно дать уравнение с двумя переменными, которые решаются аналогично первому: 1) (х 2 – 4х + 3) 2 + (у 2 – 5у +6) 2 = 0;

Если предложить учащимся решить квадратное уравнение с двумя переменными типа

3) х 2 + у 2 + 6х – 2у + 10 = 0 после решения квадратных уравнений с одной переменной, то обычно они испытывают трудность в поиске его решения, но если им предложить это уравнение после решения уравнений 1) и 2), то ученики легко находят способ решения, рассуждая по аналогии. Действительно, для этого достаточно привести уравнение (3) к виду: (х 2 + 6х + 9) + (у 2 – 2у + 1) = 0, (х + 3) 2 + (у – 1) 2 = 0.

(х + у) 2 ≥0 и (4у 2 + х 2 + 1)>0 при всех значениях переменных. Следовательно, 2х 2 + 5у 2 + 2ху + 1 >0.

Подобный подход к осмыслению материала уроков позволяет найти не только общие методы решения задач, но и способы уплотнения урока.

Задачный подход к обучению можно использовать в каждом классе, каждым учителем. Этот подход позволяет поверить ученику в свои силы, совместная работа учителя и ученика даёт эффект сотрудничества, позволяет видеть своё продвижение по мере нарастания трудности задач. При этом способе работы возможно разноуровневое (дифференцированное) обучение: для сильных учащихся задачи продвинутого уровня, больший объём теоретического материала, работа с дополнительными учебниками, задачниками; для слабых – задачи минимального уровня, больше помощи со стороны учителя.

Здесь, мне кажется, уместным сформулировать один из принципов обучения школьников, который Хазанкин Р.Г. называет принципом «четырёх СО»

Источник

ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ ПОИСКУ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

Вопрос качественного обучения школьников поиску решения математических задач всегда привлекала внимание и известных математиков, и учёных–методистов, и учителей математики средней школы. Данной проблеме посвятили свои труды, ставшие классическими, многие ученые, в первую очередь это всемирно известный методист–математик Д. Пойа. Среди отечественных исследователей подробно изучали данную проблему такие известные авторы, как С.И. Туманов, М.Б. Балк, Г.Д. Балк, Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий, Е.Ф. Данилова, А.Б. Василевский, А.К. Артёмов и др., в разные годы опубликовавшие книги для учителей математики и учащихся средних школ.

Решение математических задач является очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики. Задачи выполняют важные функции в развитии математического мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практическом применении математики.

По характеру мыслительной деятельности различают стандартные и нестандартные задачи.

Функции решаемой стандартной задачи зависят от того, какой базой теоретических знаний обладают учащиеся на момент ее решения. Если им знаком алгоритм решения данной задачи, то ее можно считать стандартной или шаблонной. Напротив, если общий метод решения задачи не известен, то такая задача является нестандартной или нешаблонной (для ее решения необходимо выявить общий метод решения или применить какой-либо искусственный прием, чтобы свести задачу к стандартной) [1].

Анализ затруднений учеников при решении нестандартных задач показывает, что, как и в любой мыслительной работе при решении задач ученик должен иметь умственные ориентиры.

Хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются вспомогательные задачи. Умение находить родственные (вспомогательные) задачи подтверждает то, что учащиеся уже владеют определенными навыками решения нестандартных задач. Если этот опыт несущественен, то следует предложить учащимся вспомогательные аналогичные задачи. Правильно поставленные вопросы и подобранные вспомогательные задачи помогут понять идею и принцип решения.

По терминологии Р.Г. Хазанкина, для того, чтобы научиться решать нестандартные задачи, необходимо, во-первых, уметь решать «ключевые», по задачи, во-вторых, иметь навыки получения из имеющейся новые задачи [3].

Как правило, на уроках рассматриваются и отрабатываются частные способы и методы обучения решению задач, и как следствие при встрече с нестандартными задачами учащиеся не знают, как приступить и искать ее решение. Если последовательно обучать общим методам решения задач, то указанный недостаток будет устранен [2].

Общая идея, лежащая в основе всех методов и способов решения задач: чтобы решить новую задачу, нужно свести ее к одной или нескольким ранее решенным задачам. При этом могут использоваться различные методы:

Введение дополнительных элементов;

Замена по эквивалентности;

Вывод логических следствий.

Таким образом, при специальной работе с достаточно большим набором задач из различных разделов математики, в которых определенные методы решения позволяют нестандартные задачи свести к знакомым (стандартным), удается сформировать у учащихся умения, необходимые для поиска решения нестандартных задач.

Список использованной литературы

Столяр А.А. Педагогика математики: Учебное пособие для физико-математических факультетов пед. ин-ов. – Минск.: Высшая школа, 1986. 414 с.

Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: Пособие для учителей, методистов и педагогических высших учебных заведений. – М.: Флинта, 1998. 224 с.

Хазанкин Р.Г. Как увлечь учеников математикой // Народное образование. 1987. C. 55-59.

Источник

Статья на тему: «Роль задач в обучении математики»

РОЛЬ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

При обучении математике задачи играют большое значение. Велика роль задач в развитии логического мышления учащихся, формирования практических навыков применения математики, формирования диалектико-материалистического мировоззрения. При обучении математике задачи имеют большое и многостороннее значение: образовательное, практическое, воспитательное. Они являются основным средством развития пространственного воображения, алгоритмического мышления, эвристического и творческого начала.

Задачи играют большую роль в изучении теоретических знаний. Задачи способствуют мотивации введения понятия, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают взаимосвязи понятия с другими понятиями.

Задачи, используемые в процессе изучения теоремы, выполняют следующие функции: способствуют мотивации введения теоремы; выявляют закономерности, отраженные в теореме; способствуют усвоению содержания теоремы; обеспечивают восприятие идеи доказательства, раскрывать приемы доказательства; обучают применению теоремы; раскрывают взаимосвязи изучаемой теоремы с другими теоремами.

Задачи являются основным средством развития пространственного мышления, творческой деятельности школьников.

С изменением роли и места задач в обучении обновляются и видоизменяются и сами задачи. Раньше задачи формулировались с использованием слов: «найти», «построить», «вычислить», «доказать». В современной школе задачи формулируются: «обосновать», «выбрать из различных способов решения наиболее рациональный», «исследовать», «спрогнозировать различные способы решения» и т. д.

Решение задач является наиболее эффективной формой развития математической деятельности. Деятельность по решению задач достаточно сложна для ученика. Она включает в себя ряд действий учебного характера, которыми каждый ученик должен владеть.

6. 2. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ

Проблеме классификации задач в современной методической и психологической литературе посвящено немало работ.

По характеру требования:
— задачи на доказательство;
— задачи на построение;
— задачи на вычисление.

По функциональному назначению (К.И. Нешков, А.Д. Семушин):
— задачи с дидактическими функциями;
— задачи с познавательными функциями;
— задачи с развивающими функциями.

По величине пробемности (У. Рейтман, Ю.М. Колягин):
— стандартные (известны все компоненты задачи);
— обучающие (неизвестен один из четырех компонентов задачи);
— поисковые (неизвестны два из четырех компонентов задачи);
— проблемные (неизвестны три из четырех компонентов задачи).

а) …СКВ; б) А …В; в) АС…В; г) АСК….

IV тип — неизвестны три компонента:

а) … … … В; б) А… … …; в) …С… …; т) … … К….

По методам решения задач:
задачи на геометрические преобразования,
задачи на векторы и др.

По числу объектов в условии задачи и связей между ними:
простые;
сложные.

По компонентам учебной деятельности:
организационно-действенные;
стимулирующие;
контрольно-оценочные.

Кроме того, различают задачи: стандартные и нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, двушаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т.д.

6. 3. ВИДЫ ЗАДАЧ И ИХ ФУНКЦИИ

Задачи являются основным средством, которое используется при обучении математике для формирования знаний, умений и навыков учащихся. Посредством решения задач реализуются все цели обучения математике: образовательные, развивающие, воспитательные. По своему функциональному назначению задачи, как средство обучения, могут быть или направлены на формирование знаний, умений и навыков учащихся ( обучающие задачи ) или на осуществление контроля со стороны учителя или учащихся уровня сформированности знаний, умений и навыков ( контролирующие задачи ) (рис. 19).

Рис. 19. Классификация задач по функциональному назначению

Обучающие задачи, прежде всего, связаны с формированием элементов теоретических знаний и связанных с ними умений.

В системе задач, связанных с усвоением понятия и его определений, выделяются следующие задачи:

1. Задачи, связанные с показом практической значимости нового понятия или с его значимостью для дальнейшего продвижения в изучении математики.
2. Задачи на актуализацию знаний и умений, необходимых при формировании данного понятия.
3. Задачи на выделение существенных признаков понятия.
4. Задачи на распознавание формулируемого понятия.
5. Задачи на усвоение текста определения понятия.
6. Задачи на использование математической символики.
7. Задачи на установление свойств понятия.
8. Задачи на применение понятия.
9. Задачи на усвоение математических понятий.
10. Задачи на овладение математической символикой.

6. 4. ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ЗАДАЧИ

В задаче выделяются следующие основные компоненты:

Математическими задачами считаются все задачи, в которых переход от состояния (а) к состоянию (б) осуществляется математическими средствами, т. е. математическим характером компонентов (в) и (г) .

На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее основных компонентов можно построить дидактически направленную модель типологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опытом обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д.

Будем считать, что проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из ее основных компонентов (условие, заключение, решение, обоснование) неизвестны школьнику в момент предъявления ему данной задачи.

Стандартной называется такая задача, в которой четко определено условие, известен способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного.

Часто в литературе встречается деление задач на вычисление, на доказательство, на построение, на исследование и изучается каждый вид. Однако такое деление не может быть инструментом в обучении школьников решению задач, потому что задачи этих видов не отличаются друг от друга уровнем сложности, характером деятельности человека по их решению. Например, в задачах на вычисление, построение приходится много доказывать, а в задачах на построение, доказательство приходится много исследовать и т.д. Поэтому такая классификация задач ничего не дает. Кроме того, задачи делят на правильные, с противоречивыми данными, с лишними данными, теоретические и практические, стандартные и нестандартные и т.д.

Интересна классификация задач (А.Я. Цукарь), учитывающая характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников:

— алгоритмические задачи;
— полуалгоритмические задачи;
— эвристические задачи.

Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится сворачивать знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он учится применять усвоенные алгоритмы в разных ситуациях.

При решении эвристических задач ученик должен использовать эвристические приемы и методы.

6. 5. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Решение задачи осуществляется в несколько этапов.

I. Ознакомление с содержанием задачи.

На первом этапе процесса решения задачи имеют место осознание условия и требования задачи, усвоение и разработка элементов условия (или элементов цели), поиск необходимой информации в сложной системе памяти, соотнесение условия и заключения задачи с имеющимися знаниями и опытом и т.д.

На втором этапе происходят целенаправленные пробы различных сочетаний из данных и искомых, попытки подвести задачу под известный тип, выбор наиболее приемлемого в данных условиях метода решения (из известных), выбор стратегии решения, поиск плана решения и его корректировка на основе предварительной апробации, соотнесения с условием задачи и интуитивных соображений, фиксирование определенного плана решения задачи и т.д.

На третьем этапе проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения, запись результата и т.д.

IV. Проверка решения задачи.

На четвертом этапе фиксируется конечный результат решения, проводится критический анализ результата, поиск путей рационализации решения, исследование особых и частных случаев, выявление существенного (потенциально полезного), систематизация новых знаний и опыта и т.д.

1) вычленить условие и требование задачи;
2) установить зависимость между данными и искомыми;
3) выявить способ составления уравнения и т. д.

Учебными действиями, посредством которых решается учебная задача, являются следующие:

1) преобразование условий предметной задачи с целью выявления в ней основного отношения;
2) моделирование выделенного отношения в предметной, графической или буквенной форме;
3) преобразование модели отношения для изучения его свойств;
4) построение системы частных задач, решаемых общим способом.

Источник