как считать логарифмы в уме

Красота чисел. Как быстро вычислять в уме

Старинная запись на квитанции в уплате подати («ясака»). Она означает сумму 1232 руб. 24 коп. Иллюстрация из книги: Яков Перельман «Занимательная арифметика»

Ещё Ричард Фейнман в книге «Вы конечно шутите, мистер Фейнман!» поведал несколько приёмов устного счёта. Хотя это очень простые трюки, они не всегда входят в школьную программу.

Например, чтобы быстро возвести в квадрат число X около 50 (50 2 = 2500), нужно вычитать/прибавлять по сотне на каждую единицы разницы между 50 и X, а потом добавить разницу в квадрате. Описание звучит гораздо сложнее, чем реальное вычисление.

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

Молодого Фейнмана научил этому трюку коллега-физик Ханс Бете, тоже работавший в то время в Лос-Аламосе над Манхэттенским проектом.

Ханс показал ещё несколько приёмов, которые использовал для быстрых вычислений. Например, для вычисления кубических корней и возведения в степень удобно помнить таблицу логарифмов. Это знание очень упрощает сложные арифметические операции. Например, вычислить в уме примерное значение кубического корня из 2,5. Фактически, при таких вычислениях в голове у вас работает своеобразная логарифмическая линейка, в которой умножение и деление чисел заменяется сложением и вычитанием их логарифмов. Удобнейшая вещь.

Логарифмическая линейка

До появления компьютеров и калькуляторов логарифмическую линейку использовали повсеместно. Это своеобразный аналоговый «компьютер», позволяющий выполнить несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в квадрат и куб, вычисление квадратных и кубических корней, вычисление логарифмов, потенцирование, вычисление тригонометрических и гиперболических функций и некоторые другие операции. Если разбить вычисление на три действия, то с помощью логарифмической линейки можно возводить числа в любую действительную степень и извлекать корень любой действительной степени. Точность расчётов — около 3 значащих цифр.

Чтобы быстро проводить в уме сложные расчёты даже без логарифмической линейки, неплохо запомнить квадраты всех чисел, хотя бы до 25, просто потому что они часто используются в расчётах. И таблицу степеней — самых распространённых. Проще запомнить, чем вычислять каждый раз заново, что 5 4 = 625, 3 5 = 243, 2 20 = 1 048 576, а √3 ≈ 1,732.

Ричард Фейнман совершенствовал свои навыки и постепенно замечал всё новые интересные закономерности и связи между числами. Он приводит такой пример: «Если кто-то начинал делить 1 на 1,73, можно было незамедлительно ответить, что это будет 0,577, потому что 1,73 — это число, близкое к квадратному корню из трёх. Таким образом, 1/1,73 — это около одной трети квадратного корня из 3».

Настолько продвинутый устный счёт мог бы удивить коллег в те времена, когда не было компьютеров и калькуляторов. В те времена абсолютно все учёные умели хорошо считать в уме, поэтому для достижения мастерства требовалось достаточно глубоко погрузиться в мир цифр.

В наше время люди достают калькулятор, чтобы просто поделить 76 на 3. Удивить окружающих стало гораздо проще. Во времена Фейнмана вместо калькулятора были деревянные счёты, на которых тоже можно было производить сложные операции, в том числе брать кубические корни. Великий физик уже тогда заметил, что использование таких инструментов, людям вообще не нужно запоминать множество арифметический комбинаций, а достаточно просто научиться правильно катать шарики. То есть люди с «расширителями» мозга не знают чисел. Они хуже справляются с задачами в «автономном» режиме.

Вот пять очень простых советов устного счёта, которые рекомендует Яков Перельман в методичке «Быстрый счёт» 1941 года издательства.

1. Если одно из умножаемых чисел разлагается на множители, удобно бывает последовательно умножать на них.

225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3
147 × 8 = 147 × 2 × 2 × 2, то есть трижды удвоить результат

2. При умножении на 4 достаточно дважды удвоить результат. Аналогично, при делении на 4 и 8, число делится пополам дважды или трижды.

3. При умножении на 5 или 25 число можно разделить на 2 или 4, а затем приписать к результату один или два нуля.

Здесь лучше сразу оценивать, как проще. Например, 31 × 25 удобнее умножать как 25 × 31 стандартным способом, то есть как 750+25, а не как 31 × 25, то есть 7,75 × 100.

При умножении на число, близкое к круглому (98, 103), удобно сразу умножить на круглое число (100), а затем вычесть/прибавить произведение разницы.

37 × 98 = 3700 – 74
37 × 104 = 3700 + 148

4. Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (9), и приписывают 25.

8 × 9 = 72, приписываем 25, так что 85 2 = 7225

Почему действует это правило, видно из формулы:

(10Х + 5) 2 = 100Х 2 + 100Х + 25 = 100Х (X+1) + 25

Приём применяется и к десятичным дробям, которые оканчиваются на 5:

5. При возведении в квадрат не забываем об удобной формуле

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320

Источник

Введение в анализ сложности алгоритмов (часть 3)

От переводчика: данный текст даётся с незначительными сокращениями по причине местами излишней «разжёванности» материала. Автор абсолютно справедливо предупреждает, что отдельные темы могут показаться читателю чересчур простыми или общеизвестными. Тем не менее, лично мне этот текст помог упорядочить имеющиеся знания по анализу сложности алгоритмов. Надеюсь, что он окажется полезен и кому-то ещё.
Из-за большого объёма оригинальной статьи я разбила её на части, которых в общей сложности будет четыре.
Я (как всегда) буду крайне признательна за любые замечания в личку по улучшению качества перевода.

Логарифмы

Практическая рекомендация: на соревнованиях алгоритмы часто реализуются на С++. Как только вы проанализировали сложность вашего алгоритма, так сразу можете получить и грубую оценку того, как быстро он будет работать, приняв, что в секунду выполняется 1 000 000 команд. Их количество считается из полученной вами функции асимптотической оценки, описывающей алгоритм. Например, вычисление по алгоритму с Θ( n ) займёт около секунды при n = 1 000 000.

Рекурсивная сложность

Если вы всё же не уверены в этом, то вы всегда можете найти точную сложность путём подсчёта количества инструкций. Примените этот метод к данной функции, чтобы найти её f( n ), и убедитесь, что она линейная (напомню, что линейность означает Θ( n ) ).

Логарифмическая сложность

Одной из известнейших задач в информатике является поиск значения в массиве. Мы уже решали её ранее для общего случая. Задача становится интереснее, если у нас есть отсортированный массив, в котором мы хотим найти заданное значение. Одним из способов сделать это является бинарный поиск. Мы берём средний элемент из нашего массива: если он совпадает с тем, что мы искали, то задача решена. В противном случае, если заданное значение больше этого элемента, то мы знаем, что оно должно лежать в правой части массива. А если меньше — то в левой. Мы будем разбивать эти подмассивы до тех пор, пока не получим искомое.

Вот реализация такого метода в псевдокоде:

Если вы не уверены, что метод работает в принципе, то отвлекитесь и решите вручную какой-нибудь простой пример.

Если вы прочли раздел о логарифмах выше, то такое выражение будет для вас знакомым. Решив его, мы получим:

Практическая рекомендация: улучшение асимптотического времени выполнения программы часто чрезвычайно повышает её производительность. Намного сильнее, чем небольшая «техническая» оптимизация в виде использования более быстрого языка программирования.

Источник

Один способ вычисления логарифма по основанию 2

Вычисление логарифмов довольно распространённая операция в цифровой обработке сигналов. Чаще пожалуй приходится считать только свёртки (умножение с накоплением) и амплитуды с фазами. Как правило для вычисления логарифмов на FPGA применяется алгоритм CORDIC в гиперболическом варианте, требующий только таблицы и простых арифметических операций. Однако это не всегда бывает удобно, особенно если проект большой, кристалл маленький и начинаются танцы с оптимизацией. Именно с такой ситуацией и пришлось мне однажды столкнуться. Оба порта блока RAM (Cyclone IV) уже плотненько были в работе, не оставляя свободных окон. Использовать ещё один блок под гиперболический CORDIC не хотелось. Зато был умножитель, для которого во временной диаграмме получалось приличное свободное окно. Денёк подумав, я сочинил следующий алгоритм, в котором не используется таблиц, но есть умножение, точнее возведение в квадрат. И поскольку схемотехнически возведение в квадрат проще общего случая умножения, возможно этот алгоритм представляет интерес для специализированных микросхем, хотя для FPGA разницы конечно нет. Подробнее под катом.

Объяснять что к чему, тут проще для действительных чисел. С них и начнём. К целочисленной реализации перейдём потом.

Пусть есть число X. Требуется найти число Y такое, чтобы .
Положим так же что X лежит в интервале от 1 до 2. Это не слишком ограничивает общность, поскольку X всегда можно перевести в этот интервал умножением или делением на степень двойки. Для Y это будет означать добавление или вычитание целого числа, что делается легко. Итак X лежит в интервале от 1 до 2. Тогда Y будет лежать в интервале от 0 до 1. Запишем Y как бесконечную двоичную дробь:

Коэффициенты в этой записи есть ни что иное, как просто биты двоичного представления числа Y. Причём поскольку Y меньше 1, очевидно что =0.

Возведём наше первое уравнение в квадрат: и как и ранее, запишем двоичное представление числа 2Y. Очевидно, что

Т.е. биты остались теми же, просто сдвинулись степени двойки. Бита в представлении нет, потому что он равен нулю.

Возможны два случая:

1) 2$» data-tex=»inline»/>, 2Y > 1,

2) , 2Y Вот полный код модуля и теста

Запустим тест вот таким скриптом:

Запустив тест, видим окончательный вывод симулятора — value=27819, result=9ba5. Верилог выдал то же самое что С. Временная диаграмма тут довольно тривиальна и особого интереса не представляет. Поэтому её не привожу.

Убеждаемся, что они совпадают бит в бит. Итого, реализация на верилоге повторяет с точностью до бита модель на С. Это и есть тот результат, которого следует достигать, реализуя алгоритмы в железе.

На этом пожалуй всё. Надеюсь кому-то этот мой опыт окажется полезен.

Источник

Применение логарифмов для расчетов со сложным процентом

Когда плотнику нужно что-то сделать, он применяет инструменты — молоток, пилу, плоскогубцы и т.д. Когда нужно что-то посчитать математику или трейдеру, он тоже применяет инструменты. Один из таких инструментов — логарифмы.

Их используют, чтобы избавиться от проблем с линейной доходностью. Например, в процентах рост нефти от 32 до 35, не одно и то же, что падения от 35 до 32. Но в этом посте я буду их применять для решения задач со сложным процентом.

Иногда нужно посчитать эффект от сложного процента, чтобы понять свои цели по доходностям и деньгам. Чтобы не пытаться выжимать слишком много от микро-счета или наоборот, не довольствоваться слишком маленькими результатами на пути к своим конечным целям. Для этого можно использовать веб-сервисы, которые предоставляют такую возможность. Там компьютерная программа считает путем многократного умножения и выдает таблицу результатов. Но зачем заставлять машину потеть лишний раз, если можно на кончике пера с использованием калькулятора посчитать то же самое и даже решить более интересные задачи.

Решим несколько практических задач, которые могут возникнуть у любого трейдера.

1. Пусть у нас есть 1000 рублей и пусть мы хотим сделать из них миллион. Пусть мы делаем стабильно в неделю 10 процентов. Сколько недель уйдет, пока мы достигнем цели?

По сути 10 процентов за неделю — это умножение счета на 1.1.

Значит, нам надо решить уравнение 1 000*(1.1)^x = 1 000 000, и найти x.

Здесь 1.1 — это множитель, который эквивалентен приросту 10% к счету. 1000 — начальный капитал. 1000000 — целевая сумма.

Возьмем десятичный логарифм с обеих сторон уравнения.

x*lg(1.1)=lg(1 000)=3
x = 3/0.04139 = 72.4

То есть нужно 73 недели, чтобы сделать из 1000 рублей миллион. Аналогично можно получить, что при счете 10000 понадобится 49 недель. При счете 100 000 25 недель. При счете 10 000, если мы делаем лишь 2% в неделю, нам понадобится 232 недели или примерно 4.5 года.

2. Пусть ты хочешь заработать на квартиру в Москве 5 миллионов. Сколько у тебя должно быть денег, чтобы делая по 10 процентов в неделю у тебя ушел 1 год?

Уравнение в этом случае: y*(1.1)^52 = 5 000 000.

Здесь y — начальный капитал, который нужно найти. 52 — число недель в году.

y=35196,5 или примерно 35 тыс

Таким образом, достаточно 35 000 рублей начального капитала, чтобы сделать за год квартиру в Москве.

Здесь еще не учтен налог 13%, поэтому реально надо сделать больше немного ).

3. Пусть у нас есть 100 000 рублей. Мы хотим сделать квартиру в Москве за 1 год. Сколько процентов в неделю мы должны делать на бирже?

100 000 * z ^ 52 = 5 000 000

Здесь z — множитель, на который должен умножаться счет каждую неделю.

Сократим на 1 000 000:

То есть при счете 100 000 рублей, достаточно стабильно делать 7.8% в неделю, чтобы за год накопить на квартиру.

Источник

Как посчитать логарифм без калькулятора?

Если под руками нет таблиц, калькулятора или другой вычислительной техники, то для вычисления логарифма можно воспользоваться известной формулой разложения логарифма в ряд (ряд Тейлора)

Если же надо посчитать десятичный логарифм или логарифм с другим основанием, то надо воспользоваться свойством (формулой) логарифмов

и перейти от натуральных логарифмов к логарифмам с другим основанием.

Я где-то читал, что посчитать логарифм можно и без таблицы, но для этого надо пройти очень длинную процедуру предварительных рассуждений. А в них очень легко запутаться. Следует идти более легким путем!

Приблизительно можно посчитать любой логарифм, и ошибка будет не такой же уж и большой.

Возьмем десятичный логарифм lg. Известно, что lg 10 = 1, а lg 1 = 0. Допустим вам надо найти логарифм числа, лежащего между 1 и 10. Например, 5. Любому человеку ясно, что это где-то посередине между 1 и 10. Значит и логарифм его будет приблизительно посередине. Берем складываем 0+1=1. Делим пополам, будет 0,5. Смотрим в таблицу десятичных логарифмов. Получаем 0,69897000433601880478626110527551 (эт я на калькуляторе вычислил в Виндовсе). Ну разница должен сказать небольшая. Всего-то 0,19. Для нормальной жизни пойдет. Нам же не ракету в космос запускать!

1) Взять таблицу. Например с авторством Брадис А.М. (точность 4 знака)

2) Воспользоваться логарифмической линейкой (точность до 3 знаков)

3) Воспользоваться небольшим набором формул для упрощения выражения (правда процесс может основательно затянуться)

Вместо калькулятора можно пользоваться интернет браузером (действует даже на мобильнике и без связи с сетью интернет), можно выполнять вычисления формул и даже программы.

Чтобы посчитать натуральный логарифм числа надо просто написать в адресной строке браузера строчку:

javascript: alert( Math.log( число ))

например чтобы рассчитать натуральный логарифм 100 надо набрать

javascript: alert( Math.log(100) )

десятичный логарифм 100 найдется по формуле

javascript: alert( Math.log(100)/ Math.log(10))

Для тех, кто не понимает, что общественный транспорт это не общественная столовая, иногда вывешивают предупреждения, что с нельзя входить в общественный транспорт с открытыми бутылками, мороженым, бутербродами и т.п. Во-первых, это неприлично. Во-вторых, велика вероятность испачкать других пассажиров во время движения транспорта.

Ну и в четвертых, кому порядки не писаны, предлагаю представить, что кто-то, глядя на жующих пассажиров, решит закурить в автобусе.

Я бы назвал- хорошая игрушка. Я в него загрузил и навигацию с пробками и скинул почтой себя на ящик нужные документы, жаль, что нет входа usb на моём iPad 3, а на планшетнике другого производителя есть. Игры принципиально на него не загружаю.

Везучесть мне на голову не падает. У меня четкое ощущение, что каждый маленький успех я добываю трудом, усилиями или просто нормальным контролем надо своим умом. Помогает разум, без него было бы тяжко. Но иногда приходят маленькие премии от судьбы, за которые я премного благодарю её, точнее, Бога.

Но даже когда мы жили небогато, я пренебрегала этой приметой намеренно. Как я не помогу деньгами брату, застрявшему к ночи в другом населённом пункте? Посчитала деньги (чего мне на жизнь останется) и дала нужную сумму его жене, а та поехала его выручать. Да мало ли таких случаев!

Уверена, что нужно данную примету игнорировать, а решение принимать из серьёзности сложившейся обстановки. Потому что деньги всё равно будут идти в руки к человеку, у которого щедрая душа, а скупердяй и жмот всегда будет считать копейки, даже если он никому ни за что не поможет деньгами вечером или побоится собственные деньги пересчитать.

Источник